第八章-矩阵特征值计算ppt课件

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1、病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程1 1 引引 言言第第8 8章章 矩阵特征值问题计算矩阵特征值问题计算物理、力学和工程技术中很多问题在数学上都归结为求矩阵的特征值问题。例如，振动问题(大型桥梁或建筑物的振动、机械的振动、电磁震荡等)，物理学中的某些临界值的确定。它们都归结为下述数学问题。nnnnnnnnijaaaaaaaaaa212222111211)det()(,)(AIA则称已知定定义义1 1病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程.|)1()

2、(12211特特征征多多项项式式的为AAaaannnnn.)(.(1.1)0)det()(的所有特征值的集合表示的的根称为的特征方程AAAAIA特征值特征值.(1.2)0)(,特征值特征向量特征向量的的对应于称为的非零解相应的齐次方程组的为设AxxAIA病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程.210131012 的特征值及其特征向量求A例例1 1.1 ,10 )4(,)3()()(,)2()0(1),11xxAAAxxAAxxIAIAAxA即的特征值为且非奇异，则设；即的特征值是；即的特征值为；常数的特征值是向量，则是对应

3、的非零特征的特征值是矩阵设kkkknnppppcccR定定理理1 1病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程.)det()2(,1)(tr1 (1),),1(1niiiinianiniAAA则的特征值是矩阵若定定理理2 2).()(,3AAATnnR则设定定理理病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程.)()(,122211211miiiiimmmmAAAAAAAAAAA则均为方阵其中每个对角块为分块上三角阵设定理4定理4.,)2(;)1(,1的特征向量是

4、则的特征向量是若有相同的特征值与则使非奇异即为相似矩阵与若APyByBAPPPBABA定定理理5 5病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程.,亏损矩阵亏损矩阵定义2定义2为，则称个数少于线性无关的特征向量的且其对应的重特征值有一个如果设AAAkkRnn.,)()2(.1 2121211线性无关对应的特征向量则个不同的特征值有若个线性无关的特征向量具有的充要条件是使非奇异矩阵即可对角化，）（mmnnnnnxxxnmmRnRAAAPPPA定定理理6 6病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生

5、长繁殖，引起不同程度的病理生理过程则为对称矩阵设对称矩阵的正交约化,)7(nnRA定理定理；个线性无关的特征向量有的特征值均为实数；nAA )2(1).)(,),2,1()3(21211的特征向量为对应于向量的列而的特征值为且，使得存在正交矩阵jjnin,niuuuuPAAPPP病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程.),1(,|)2(|1,)(圆盘为半径的为圆心以为复平面上以称，）（令设nGerschgoriraDnizrazzDnijaraiiiiiiiiijinnijCA定义3定义3.),1(|,|,)(1)(nij

6、niaaanGerschgoriijiinnij某个圆盘之中一个特征值必属于下列的每则设圆盘定理AA定定理理8 8.S,S,个特征值的中恰有则个圆盘分离与其余且个圆盘构成一个连通域个圆盘中有如果上述的mmnSmnA(2)(2)病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程.),2,1(.),(diag11结果质获得特征值的进一步改变，根据相似矩阵性和连通性有时可使某些圆盘半径适当选取，得到选取非奇异对角矩阵niainnijijnADDD.411101014 的特征值的范围估计A例2例2.49.09.001014,119101910

7、ADDD2|4|2|1|4|2.28.553391929191病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程.),2,1(,)(922211211的特征值为其中使则存在酉矩阵，设定理AnirrrrrrrRSchuriinnnnTnnRAUUUA定理定理.),2,1(,)(1022211211的两个共轭复特征值的两个特征值是二阶时为的实特征值，当是为一阶时其中当使则存在正交矩阵，设分解实ARRARRRRRRRRAQQQAiiiiiiiimmmmTnnmiRSchur定理定理病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性

8、，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程.)()(),()(,商商瑞瑞雷雷定定义义4 4RayleighRRnn的为关于向量称对于任一非零向量阶实对称阵是设xxx,xAxxxA.)(),(min 3,)(),(max 2,)(),(1 .,11111xx,xAxxx,xAxxxx,xAxAAxxxx00nnRnRnnnRn）（）（对于任何非零向量）（则的特征值为阶实对称阵为设定理定理病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程2 2 幂法及反幂法幂法及反幂法一、一、幂法幂法幂法是一种求实矩阵A的按模最大的特征值1及其对

9、应的特征向量x1的方法。特别适合于大型稀疏矩阵。.,)(2121nnnnnnijRaxxxA对应的特征向量为为其特征值有一个完全特征向量组设(2.1),21n满足的主特征值是实根，且并设A.11的基本方法及现在讨论求x病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程)0(,122110aaaann设xxxv,22211101nnnaaaxxxAvv.121221111nknnkkkkaaaxxxAvv.lim ,111111111xvvAvvvxvaakkkkkkkkkk，很大时，当.1的近似的特征向量是即kv .1)()(1 ,)

10、()(1111njnjkjkjkjkvvvv或而主特征值病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程，则对任何非零初始向量其特征值个线性无关的特征向量有设)0(,121021anRnnnvA定理定理.)()(lim lim 11111jkjkkkkkavvxv，上述结果仍成立线性无关的特征向量时个有且，当nRnnnrrrA ,121.)()(lim ,lim 1111jkjkkriiikkkavvxv病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程就有得值最大的分量，

11、规范化的绝对为向量记做改进为了避免“溢出”下面).()max()max(.0 0vvvuvv(2.9)1,2,(./),max(,)0(,131001021kanRkkkkkkknnnvuvAuvvuvA计算，对任何非零初始向量其特征值个线性无关的特征向量有设定理定理.lim ,)max(lim 111kkkkxxu则病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 ,)max()max(,对于任0011100100AvAvvvuAvAuvvu，给非零向量事实上，,)max()max(,)max(020222200212vAvAvv

12、uAvvAAuv.)max()max(,)max(,00010vAvAvvuvAvAvkkkkkkkk病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程,121221110nknnkkkaaaxxxvA)()max(max)max(111212211121221100kaaaaaanknnknknnkkkkxxxxxxxxvAvAu病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程)(maxmax )max(max)max(111211221112122111010kaaaa

13、aanknnknknnkkkkxxxxxxvAvAv.12确定收敛速度由比值r病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程.225.05.025.0115.011 特征向量的按模最大特征值及其用幂法求A例3例3A=1 1 0.5;1 1.25;.5.25 2u=1,1,1v=A*u,v1=max(v),u=v/v1病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程二、二、加速方法加速方法 原点位移法原点位移法1.1.IABp.5,3,1A)(量的收敛速度最大特征值及其特

14、征向的按模法求，考察带原点平移的幂设A例例4 4，若n21 .2*2np则.225.05.025.0115.011 特征向量的按模最大特征值及其用带原点平移的幂法求A例5例5.75.0p取病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 瑞雷商加速法瑞雷商加速法2.2.),(),()9.2(,142121121kkkkkknnnORuuuAuuA的较好近似的瑞利商给出，则应用幂法其特征值满足为对称矩阵设定理定理病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程三、反幂三、反

15、幂法法反幂法可求非奇异实矩阵的按模最小特征值及特征向量。.)max(),max(,2,1 ,)max(,11100kkknknkkkkknkRvvuxvvvuuAvuv计算任取非零向量.,11kkkkkkkyUvuLyLUuAvv求解即分解求得利用经常来求得求解可通过主元高斯消去法病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 ).1,2,(,)max(,)0(,0 ,151100121kanRkkkkknnnnnvvuuAvvuA计算，对任何非零初始向量其特征值满足向量个线性无关的特征为非奇异矩阵且有设定理定理.1)max(li

16、m ,)max(lim nkknnkkvxxu则病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程特征值.移来加速迭代或求其他在反幂法中可用原点位.,1,1,1 )(21211nnppppxxxIA对应的特征向量仍然为存在，则特征值为若(2.12).1,2,(,)max(,)(1100kpkkkkkvvuuIAvvu，计算对任何非零初始向量)(,0 ijpppijj的近似，并且满足的特征值是如果A病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程.)()()(111及其对应的

17、特征向量特征值法可求的主特征值，用上述算是则pppjjIA).(,0 ,),2,1(,16ijpppninRijjiinn且的近似是而和值和特征向量记为的特征个线性无关的特征向量有设xAA定定理理(2.12).1,2,(,)max(,)(),0(110kpakkkkkjvvuuIAvu计算对任何非零初始向量.)max(1,1)max(,)max(jkjkjjkppvvxxu则病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程.min确定收敛速度由比值pprijij.算迭代一两次就可完成计很小，离较好，一般的较好近似且特征值分是只要rp

18、j.)1,1,1(:10110vPuLUvu，即得使得实际选取T.)(:.)(11kkkkkkppyUvPuLyLUIAPLUuvIA，组：，需解两个三角形方程分解借助反幂法需要解方程组：病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程反幂法计算公式反幂法计算公式:.)max()(1kkkkkpvvuuvIA.,3,2 ,/),max(,(2);/),max(,)1,1,1(1 .2.,)(:.111111111kpkkkkkkkkkTvuvyUvPuLyvuvvUvULPLUIAPLU得）解（反幂法迭代，保存分解.2679.133

19、410131012 3的特征向量的特征值求A例例6 6format long;A=2 1 0;1 3 1;0 1 4,p=1.2679,B=A-p*eye(3);L U P=lu(B);L,U,P,v=U1 1 1,mu=max(v);u=v/mu,v=U(L(P*u),mu=max(v);u=v/mu,lamda=p+1/mu病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程3 Householder3 Householder方法方法一、引言一、引言本节讨论两个问题:.)1(伯格矩阵海森似变换约化实矩阵为上用初等反射阵作正交相.)2

20、(对角矩阵的问题对称似变换约化对称矩阵为用初等反射阵作正交相.值问题或对称对角矩阵的特征格矩阵题就转化为求上海森伯于是，原矩阵特征值问已经学过的知识：病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程阶矩阵则且设nRTn ,1 ,www定定义义TwwIH2 .rHouseholde,)(矩阵也称矩阵或镜面反射称为初等反射都有初等反射阵对于因此 ,0u ,.2)(22uuuIuHT ,)0,0,1(0),(11121，使得则总存在初等反射阵，设约化定理eHxuuIHexTTTnxxx)定定理理(其中 .)(,),(,)sgn(12221

21、21121xxxxxTnuexux病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 般矩阵为上海森伯格阵用正交相似变换约化一二二、.),(,1131211)1(221)1(12112122221112111TnnnnnnnaaaaaaaaaaaaacAcAAA其中步约化：设第 ),1否则这步不需做不妨0(c ,111111111，使得取初等反射阵ecRuuIRT其中 .)(,),(,)sgn(2111221211131121111121211aaaaaTnuecuc病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一

22、定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程,00 )2(222)2(12)2(11)2()2(3)2(2)2(3)2(33)2(32)2(2)2(23)2(221)2(1)2(13)2(12111)1(221111)1(12111112AcAARARcRRAUAUA 0nnnnnnnaaaaaaaaaaaaaa，则令111RU.),()2(2)2(322Tnaac其中病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程)()(1,)(,)(,1)(1,1)(,1)(,1)1(1,12)(2)(1,2)(2)1(1,2)2(221)(1)

23、(1,1)(1)1(1,1)2(12)1(1111111111121 ,1,1knnkknkknknkkkkkkkkkkkkkkknkkkkkkknkkkkkkkkkkkkkaaaaaaaaaaaaaaaaaaakkUUAUUUAUAUUU使得步，即有步约化：假定已完成第第,)(22)(12)(11knkkkkkAcAA 0.)(11阶上海森伯格矩阵是其中kkA病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 ,11，使取初等反射阵不妨ecRuuIRckkkTkkkkk0其中 .)(,),(,)sgn()(,12221)(,)(,2

24、)(,112)(,1kkkkkkkTkknkkkkkkkkkkkkkkkaaaaauecuc.)1(221)1(12)1(11)(22)(12)(111kkkkkkkkkkkkkkkkkkkAcAARARcRRAAUAUARIU0000，则令.1)1(11阶上海森伯格矩阵是其中kkA.)(22)(22)(12）为对称阵时只需计算（当及步约化只需计算第RARARARRAkkkkkkk病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程.*2)1(1)2(1,1)3(332)2(221)1(1121121nnnnnnnnnnaaaaanUA

25、UUUA步约化：第).(,002112221上海森伯格矩阵使得，则存在初等反射阵设HAUUUAUUUUUUATnnnnnR定定理理1 17 7病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程.32 12,1,.2;.10010kkkkkkkkkknkIUUURIUAUUAecRRU）（；，其中）约化计算（；，使）计算初等反射阵（对：00算法1.724232734 1约化为上海森伯格矩阵用豪斯霍尔德方法将 AA例例7 7 ,)4,2(111111，使得，求初等反射阵解：ecRRcT病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对

26、稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程.0.4472 0.8944-0.8944-0.4472-16)522(4)522(4)522()522(52111 )522(52)(,)4,522(,5220)sgn(21111121111111121211TTaauuIRecuc，.2.2000 0.4000-0.0000 0.4000-7.8000 4.4721-0.4472-7.6026 4.0000-1112HUAUA，111RU病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 称阵为对称三对角阵用正交相似变换约化

27、对三、.,81112221112112221CUAUUUUUUAnnnnnnnnncbbcbbcbbcR使得反射阵为对称阵，则存在初等设定定理理1 1.17知：由定理证明病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程,.11)1(221)1(12)1(11)(22)(12)(111knkkkkkknkkkkkkkkkkkkkkAcAARARcRRAAUAUA00步约化中，在第下面考虑实现过程).()(22即可实际上对角线以下元素和对称，故只需计算因kkkkRARRA,)(21,1)(221knkkTkkkkknkkkkRRurur

28、tuAr记)()(221)(221)(22TkkkkkTkkkkkkuuAAuuIRAR则TkkTkkkTkkkTkkkTkkTkkkkkTkkTkkkTkkTkkkTkkTkkkkTkkkTkkkuttuAuururururuAuruuruurAuruuAuuurA)(2211)(221)(221)(221)(22 )(2)(2 )(病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程)算法2(略病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程4 QR4 QR方法方法Rut

29、ishauser(1958)利用矩阵的三角分解提出计算矩阵特征值的LR算法，Francis(1961,1962)利用矩阵的QR分解建立计算矩阵特征值的QR方法.QR方法是一种变换方法，是计算一般(中小型)矩阵全部特征值问题的最有效方法之一.目前QR方法主要用来计算：（1）上海森伯格阵全部特征值问题；（2）对称三对角阵全部特征值问题.下面先介绍求非奇异矩阵的全部特征值的基本QR方法，再讨论上海森伯格阵和对称三对角阵的全部特征值问题.病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程一、基本一、基本QR方法方法,30 ,111RQAAA知

30、存在正交三角分解由第五章定理对非奇异矩阵).2(30,222.,ThRQQRAApnRnn为上三角阵交阵阶正为其中交三角分解则存在正为非奇异矩阵设交换乘法次序得,111112QQQRAAT,2222RQAA作正交三角分解得再对,222223QAQQRAT再交换乘法次序得,kkkkRQAA作正交三角分解得对一般地,1kkTkkkkQAQQRA交换乘法次序得病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程并且有如下结果：相似，有相同的特征值与可见,1AAk.111111kTkkTTkkkkTkTkkkTkkkkQAQQAQQQQQAQQ

31、QAQQRA分解：进行设方法基本QRRnn,)QR19(1 AA定定理理(4.1)1,2,(,1，kkkkkkkQRARQA则有记,1221RRRRQQQQkkkk.3)()(2 111111kkkkkTkkTkkkkTkkkkQRRQAAQAQQQAQQAQAQAAA分解式为的）（；）（；，即相似于）（病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程,),diag(,)2(0 1,)20(QR1121LUXDDXXAAAA且设有标准型；的特征值满足）（并且设方法的收敛性nnnnR定定理理)(*,21时当即本质收敛于上三角矩阵算法产

32、生的则由本质上kQRnkkRAA病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程.(4.3)0lim2(4.2)lim 1),()()()()(的极限不一定存在时，当；时，）当（；）（则记kijkijkikijkkijkajiajiaaA).,diag(,20 211nkQRDAA收敛于对角矩阵产生的算法则由的条件满足定理设对称矩阵定定理理.410131012QR 的全部特征值方法求利用A例例8 8Q R=qr(A),A=R*Q,病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生

33、理过程二二*、带原点位移的、带原点位移的QR方法方法三三*、用单步、用单步QR方法计算上海森伯格阵特征值方法计算上海森伯格阵特征值.,0 ,22(2)(2)1,211nnnnnnhhQR中，算法则由的一个特征值为阵，为不可约上海森伯格矩设IRQHQRIHHRHH定定理理.,.,.,(k)(2)1,21(2)1就可得到全部特征值继续应用上述算法矩阵降阶再将充分小当伯格矩阵算法，产生上海森反复应用如果对于nnnnnknnknnhhQRhsas HHH病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程.410131012 的全部特征值方法求利用带位移的AQR*例例9 9四四*、双步、双步QR方法方法(隐式隐式QR方法方法,略略)