保险精算第二讲课件

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1、第三章人寿保险趸缴纯保费的厘定本章结构n人寿保险趸缴纯保费厘定原理n死亡年末赔付保险趸缴纯保费的厘定n死亡即刻赔付保险趸缴纯保费的厘定n递归方程n计算基数第一节人寿保险趸缴纯保费厘定的原理 2 死亡年末给付 1.4 保费的厘定 1.5 厘定的原则 1.2人寿保险的分类 1.3人寿保险的性质1 保费厘定原则 1.1 人寿保险简介人寿保险简介n什么是人寿保险n狭义的人寿保险是以被保险人在保障期是否死亡作为保险标的的一种保险。n 广义的人寿保险是以被保险人的寿命作为保险标的的一种保险。它包括以保障期内被保险人死亡为标的的狭义寿险，也包括以保障期内被保险人生存为标底的生存保险和两全保险。2 死亡年末给

2、付 1.4 保费的厘定 1.5 厘定的原则 1.2人寿保险的分类 1.3人寿保险的性质1 保费厘定原则 1.1 人寿保险简介人寿保险的分类n受益金额是否恒定定额受益保险 变额受益保险n保单签约日和保障期期始日是否同时进行n非延期保险n延期保险 n保障标的的不同n人寿保险（狭义）n生存保险n两全保险 n保障期是否有限n 定期寿险 n 终身寿险2 死亡年末给付 1.4 保费的厘定 1.5 厘定的原则 1.2人寿保险的分类 1.3人寿保险的性质1 保费厘定原则 1.1 人寿保险简介人寿保险的性质n保障的长期性n这使得从投保到赔付期间的投资受益（利息）成为不容忽视的因素。n保险赔付金额和赔付时间的不确

3、定性n人寿保险的赔付金额和赔付时间依赖于被保险人的生命状况。被保险人的死亡时间是一个随机变量。这就意味着保险公司的赔付额也是一个随机变量，它依赖于被保险人剩余寿命分布。n被保障人群的大数性n这就意味着，保险公司可以依靠概率统计的原理计算出平均赔付并可预测将来的风险。2 死亡年末给付 1.4 保费的厘定 1.5 厘定的原则 1.2人寿保险的分类 1.3人寿保险的性质1 保费厘定原则 1.1 人寿保险简介趸缴纯保费的厘定n假定条件:n假定一：同性别、同年龄、同时参保的被保险人的剩余寿命是独立同分布的。n假定二：被保险人的剩余寿命分布可以用经验生命表进行拟合。n假定三：保险公司可以预测将来的投资受益

4、（即预定利率）。2 死亡年末给付 1.4 保费的厘定 1.5 厘定的原则 1.2人寿保险的分类 1.3人寿保险的性质1 保费厘定原则 1.1 人寿保险简介纯保费厘定原理n原则n保费净均衡原则n解释n所谓净均衡原则，即保费收入的期望现时值正好等于将来的保险赔付金的期望现时值。它的实质是在统计意义上的收支平衡。是在大数场合下，收费期望现时值等于支出期望现时值 2 死亡年末给付 1.4 保费的厘定 1.5 厘定的原则 1.2人寿保险的分类 1.3人寿保险的性质1 保费厘定原则 1.1 人寿保险简介第三节死亡年末赔付趸缴纯保费的厘定2 死亡年末给付1 保费厘定原则死亡年末赔付死亡年末赔付的含义n 死亡

5、年末陪付是指如果被保险人在保障期内发生保险责任范围内的死亡，保险公司将在死亡事件发生的当年年末给予保险赔付。2 死亡年末给付1 保费厘定原则主要险种的趸缴纯保费的厘定nn年期定期寿险n终身寿险n延期m年的终身寿险nn年期生存保险nn年期两全保险n延期m年的n年期的两全保险n递增终身寿险n递减n年定期寿险基本符号n 岁投保的人整值剩余寿命n 保险金在死亡年末给付函数n 贴现函数。n 保险赔付金在签单时的现时值。n 趸缴纯保费。kxK)(kbkvkzkkkzb v()kE zxN年期定期寿险n基本函数关系n记k为被保险人整值剩余寿命，则11 ,0,1,11 ,0,1,10 ,0,1,10 ,kkk

6、kkk kvvknknbknvknzb vkn趸缴纯保费的厘定n符号：n厘定：111:0111:0()nkkkxx kx nknkxx kx nkAE zvpql Avd1:xnA现值随机变量的方差n公式n记n等价方差为2212220()()()()kkknkkxx kkkVar zE zE zvpqE z12122:0nkkxx kx nkAvpq2112:()()kxnxnVar zAA例3.2n张某在50岁时投保了一份保额为100000元的30年定期寿险。假设 ，预定利率为0.08，求该保单的趸缴净保费。)1051(1000 xlx例3.2答案70.2046808.111)08.11(1

7、08.1155100000551555508.11000010000055155)54(55115555501055010508.110000010000055010530290)1(130:50501)50(50505050502905050)1(13050ttttttttttttttAttttllpqttllpqpAt费是：故，该保单的趸缴净保岁。所求的赔付现值为到的取值范围是岁，所以龄时解：该生命表的最大年：二 终身寿险最大年龄。是按生命表能够存活的是生命表的极限年龄，其中，上式求和上限实际为值之和。在各年死亡赔付期望现正是精算现值上死亡，因此终身寿险可能在表示。由于对投保人值以的终身寿

8、险，其精算现单位元死亡年年末赔付）的对（11)(,.2,1,0)(101xqvAxAkxAxkxkkxxx例3.3。求该保单的趸缴净保费，预定利率为终身寿险，已知元的岁时购买的是保额为中张某假设例08.0)1051(1000100000502.3xlx例3.3答案54(1)505050054(1)0551000001000001.085511000001.08555511()10000011.081551.0811.0822421.91()ttttttApqtt元例3.4值。，求这一保单的精算现在死亡年年末，死亡赔付表示为假设他的生存函数可以元的终身寿险，岁时买了保险额为某人在%101051)

9、(2000040ixxs例3.4答案014040404020000200006511054011054111)40()140(116565105401105)40(1)40()40(1051)(ttxxtttttqpvAttttstspqttstspxxs保单精算现值为：得解：由元）因此由生存函数可以看出：(65.30701.1111.1111.16520000)1.11(65200006516565)1.11(200002000065 065164016404040ttttttAtp两全保险（续）xnnnkxkknxnxnxnxnkpvqvAAAnnnkvnkvZnnA101:1:11,.2

10、,1,1.,2,1,0,表示其精算现值以为：两全保险现值随机变量起，年纯生存保险组合在一年定期寿险与把例3.5保费。元，求该保单的趸缴净保额为末给付，的两全保险，死亡年年年岁的张某购买的是一份中，假设在例10000030502.3例3.5答案AAnxxnxAApAA11:1:3050303030:50130:5030:505.33.3,2.3)(85.249855525)08.1(10000070.20468)08.1(10000070.20468100000100000100000可以看出：和由例元例3.5n（x）岁的人投保5年期的定期寿险，保险金额为1万元，保险金死亡年末给付，按附录2示例

11、生命表计算（1）20岁的人按实质利率为2.5%计算的趸缴纯保费。（2）60岁的人按实质利率为2.5%计算的趸缴纯保费。（3）20岁的人按实质利率为6%计算的趸缴纯保费。（4）60岁的人按实质利率为6%计算的趸缴纯保费。例3.5答案4411120:52.5%00120:56%160:52.5%160:56%(1)100001000050.912 1000048.363 10000739.664 10000703.37kkx kkxx kkkxdAvp qvlAAA同理可得（）（）（）四、延期m年终身寿险mkxkkxmxmkqvAAmmmkvmkZmxmx11,.2,1,1,.,2,1,0 ,01

12、1表示：其精算现值用机变量为：单位元保险，其现值随的岁起到被保险人终身止是从年延期终身寿险，单位元）的对（延期m年终身寿险（续）xnnxxxmxkxkmxkxxxkmxkmmkxkkxmAAAnnDMDCvvldvqvA1:0011年的终身寿险的组合一个延期年定期寿险与成是由一个显然，终身寿险可以看：用转换函数可以表示为五、延期m年的n年定期寿险表示：其精算现值用变量为：随机年的定期寿险，其现值岁到年定期寿险，是从年单位元延期的对xnmkAnmmmkvmkZnmxmxnmx1,.,1,1,.,2,1,0 ,01)(1五、延期m 年n年定期寿险xmmxmxnmmkxkkxnmmxnmxnmmkx

13、kkxnmDMMqvAAAqvA111:1:11：用转换函数可以表示为六、变额保险现值随机变量为：表示，其险，其精算现值以对于标准递增的终身寿准递增的变额寿险。这时的变额寿险称为标存活的整数年数，是从投保开始到死亡时，额为变额寿险。如果赔付而不同，这时的寿险称动付额随着死亡时间的变如果保险契约规定的赔（一）标准变额保险xkIAkkb11变额寿险（续）101011:1:0011)1()()()1()()(,.2,1,0 )1(nkxknknkxkknxnxkxkkxkkxkAqvkIAIAnAqvkZEIAkvkZ表示，则值以年定期寿险，若精算现对于标准递增的10110000111:011111

14、10000()()(1)()(1)kxxkkkkkxxxkkjkjjkjjnkxkx nknknnnkkxxxkkj njkjjkjjIAE ZkvqvqvqAIAkvqvqvqA变额寿险（续）1:1:111:1:1:101:)()()()()(nxnxnxnxnkknxnxnxxnnkxknxAnIAIAnnnIAnAAnIAAnAIA现值之和。单位元纯生存保险年值与年定期递增寿险精算现它是表示，其精算现值以年标准递增的两全保险对不同的公式：外两个意义出发，可以得出另从标准递增定期寿险的11001111:00nnxxxj njnkjknnxkx nx n kkkAAAAAA变额寿险（续）10

15、1:1011:1:1)()()(nkknxnkxkknxnxkAqvknDADAknb表示其精算现值，则以递减的定期寿险，时，变额寿险称为标准但变额寿险（续）.)()()()(,.2,1,0,223112101111xxxKxkkkkkAbbAbbAbZEqvbZEkvbZ的组合：定保额的延期人寿保险它可以表示为一系列固值为：对终身寿险，其精算现机变量为：一般变额寿险的现值随（二）一般变额寿险变额寿险（续）.)()()()(12:1211:11:1011nxnnnxnnnxnnkxkkkAbbAbbAbZEqvbZEn年定期寿险，有对死亡年末给付趸缴纯保费公式归纳终身寿险延期m年的n年定期寿险

16、延期m年的终身寿险n年期两全保险延期m年的n年期两全保险递增终身寿险递减n年定期寿险11:xx nx nnAAA1:xxmx mAAA111:xxmmmx nx nnmx m nAAAAA111:mx nx mnx mAAA111:10()kxkxx kjxjkjIAkvpqA1111:10()(1)nnkkxx kx nx njkjDAnkvpqA01kkxxkkxqpvA第四节递归公式趸缴纯保费递推公式n公式一：n理解(x)的单位金额终身寿险在第一年末的价值等于(x)在第一年死亡的情况下1单位的赔付额,或生存满一年的情况下净趸缴保费 。1xxxxAvpvqA1xA趸缴纯保费递推公式n公式二

17、：n解释：n 个x岁的被保险人所缴的趸缴保费之和经过一年的积累，当年年末可为所有的被保险人提供次年的净趸缴保费 ，还可以为所有在当年去世的被保险人提供额外的 。)1()1(11xxxxxxAdAlAilxl1xA11xA趸缴纯保费递推公式n公式三：n解释：n年龄为x的被保险人在活到x+1岁时的净趸缴保费与当初岁时的净趸缴保费之差等于保费的一年利息减去提供一年的保险成本。1(1)xxxxxAAiAqA证明：1:1:xnxx nx ntxx nx tx t n tAAE AAAE A趸缴纯保费递推公式n公式四：n解释n(y)的趸缴纯保费等于其未来所有年份的保险成本的现时值之和。)1(11xyxxyxyAqvA