单位冲击函数卷积

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1、0-2 单位冲击函数单位冲击函数 d d-Function 一、定义一、定义 fn(x)可以是Nrect(Nx),Nsinc(Nx),NGaus(Nx),二维圆域函数等等.物理系统已无法分辨更窄的函数-dxxx x1)(0 ,0)(dd定义1.定义2.基于函数系列的极限)()(lim 1)(0 ,0)(lim :nnnxxfdxxfx xfn-nd则若存在函数系列满足:练习:画出rect(x),10rect(10 x),sinc(x),10sinc(10 x)的示意图.可描述:单位质量质点的密度,单位电量点电荷的电荷密度,单位光通量点光源的发光度,单位能量无限窄电脉冲的瞬时功率等等.0-2单位

2、冲击函数单位冲击函数 d d-Function 一、定义一、定义(续续)0 xd(x)110 xd(x,y)yd-函数的图示:定义3:设任意函数f(x)在x=0点连续,则-dxxxx x)0()()(0 ,0)(ffddf(x)称为检验函数.0-2 d d-函数函数 二、性质二、性质1.筛选性质 sifting(由定义3直接可证)设f(x)在x0点连续,则)()()(00 xdxxxxfdf证明思路:二者对检验函数在积分中的作用相同.(练习)(1)(xaaxdd推论:d(x)是偶函数2.缩放性质 scaling与普通函数缩放性质的区别:普通函数:因子a不影响函数的高度,但影响其宽度d-函数:因

3、子a不影响函数的宽度,但影响其高度通过此积分,可从f(x)中筛选出单一的f(x0)值.0-2 d d-函数函数 二、性质二、性质(续续)3.乘积性质设f(x)在x0点连续,则:f(x)d(x-x0)=f(x0)d(x-x0)任意函数与d-函数的乘积,是幅度变化了的d-函数练习：计算sinc(x)d(x)2.sinc(x)d(x-0.5)3.sinc(x)d(x-1)4.(3x+5)d(x+3)0-2 d d-函数函数 三、三、d d-函数函数 的阵列的阵列-梳状函数梳状函数 comb(x)(comb1)(1)(ddxnxnxnn表示沿 x 轴分布、间隔为1的无穷多脉冲的系列.例如：不考虑缝宽度

4、和总尺寸的线光栅.间隔为 的脉冲系列:)()(combnnxxd定义:n为整数0-2 d d-函数函数 三、三、d d-函数函数 的阵列的阵列-梳状函数梳状函数 comb(x)梳状函数与普通函数的乘积:)-()()()()(comb1)(nnnxnfnxxfxxfddf(x)0 x=x0 xcomb(x).0利用comb(x)可以对函数f(x)进行等间距抽样.xy二维梳状函数:comb(x,y)=comb(x)comb(y)练习练习0-4：已知连续函数f(x)，若x0b0,利用d 函数可筛选出函数在x=x0+b的值，试写出运算式。0-5:f(x)为任意连续函数，a0,求函数g(x)=f(x)d

5、(x+a)d(x-a)并作出示意图。0-6：已知连续函数f(x)，a0和b0。求出下列函数：(1)h(x)=f(x)d(ax-x0)(2)g(x)=f(x)comb(x-x0)/b0-2 d d-函数函数 练习练习0-4:0-5:0-6:g(x)=f(x)d(x+a)-d(x-a)()()(00bxfdxbxxxfd=f(x)d(x+a)-f(x)d(x-a)=f(-a)d(x+a)-f(a)d(x-a)h(x)=f(x)d(ax-x0)axxaaxxa001ddaxxaxfa001d作图0-2 梳状函数梳状函数 练习练习 0-6(2)bx-xcomb)()(0 xfxgbx-xbb0comb

6、1)(0nnbxxbd)()(00nnbxxnbxfbd练习练习 0-7 画函数图形画函数图形(1)axaxaxf5rectcomb1)(1aaxaxaxf5rectcomb1)(2(2)0-3 卷积卷积 convolution一、概念的引入一、概念的引入例题例题用宽度为 a 的狭缝，对平面上光强分布f(x)=2+cos(2pf0 x)扫描，在狭缝后用光电探测器记录。求输出光强分布。卷积卷积 概念的引入概念的引入探测器输出的光功率分布axf(x)1/f0 x22)()(axaxdfxgxxxxxdaxrectf)()(xxxdaxrectf)()(卷积运算0-3 卷积卷积 convolutio

7、n一、概念的引入一、概念的引入(II)设：物平面光轴上的单位脉冲在像平面产生的分布为h(x)物体分布成像系统像平面分布像平面上的分布是物平面上各点产生的分布叠加以后的结果.需用卷积运算来描述f(x)成像xx 0 x1f(x 1)h(x-x 1)x2f(x 2)h(x-x 2)f(0)h(x)0-3 卷积卷积 convolution一、概念的引入一、概念的引入物平面光轴上的单位脉冲在像平面产生的分布为h(x)像平面上的分布是物平面上各点产生的分布叠加以后的结果.需用卷积运算来描述f(x)成像xx 0 x1f(x 1)h(x-x 1)x2f(x 2)h(x-x 2)f(0)h(x)x)()()()

8、()(xhxfdxhfxgxxx0-3 卷积卷积 convolution二、定义二、定义若f(x)与h(x)有界且可积,定义xxxdxhfxhxfxg)()()()()(*:卷积符号 g(x)是f(x)与h(xx,第一个函数的贡献是f(x),则第二个函数的贡献是h(x-x).需要对任何可能的x求和.xxxddyxhfyxhyxfyxg),(),(),(),(),(g(x)称为函数f(x)与h(x)的卷积.二维函数的卷积:0-3 卷积卷积 convolution三、计算方法三、计算方法-借助几何作图借助几何作图h()1/5 5 90f()1/3 4 60f()1/3 4 60h(-)1/5 -9

9、 -50 xh(x-)x-9 x-5 4 60练习:计算rect(x)*rect(x)9 11 13 15 g(x)x 0 2/15 画出函数f()和h();h()折叠成h(-);h(-)移位至给定的x,h-(-x)=h(x-);4.二者相乘;5.乘积函数曲线下面积 的值即为g(x).步骤:0-3 卷积卷积 convolution三、计算方法三、计算方法-几何作图法几何作图法练习:计算rect(x)*rect(x)-1 0 1 g(x)x 1画出 二个 rect()2.将rect()折叠后不变;3.将一个rect(-)移位至给定的x0,rect-(-x0)=rect(x0-);4.二者相乘;乘

10、积曲线下面积的值 即为g(x0).rect()1 -1/20 1/2|x|1;g(x)=0-1 x 0;g(x)=1x+1/2-(-1/2)=1+x0 x 1;g(x)=11/2-(x-1/2)=1-xrect()1 -1/20 1/2 x0-1/2x0 x0+1/2rect()1 -1/20 1/2rect(x)*rect(x)=tri(x)卷积卷积 概念的引入：概念的引入：回到前面的例题回到前面的例题探测器输出的光功率分布:af(x)1/f0 xx)()()()()()(22axrectxfdaxrectfdfxgaxaxxxxxx计算这个卷积计算这个卷积:22)()()(axaxdfax

11、rectxfxgxx讨论这个结果0002202)2(2sin)2(2sin2)2cos(2faxfaxfadfaxaxpppxxp)2cos()(csin2)sin()2cos(200000 xfafafafxfappppf(x)=2+cos(2pf0 x)练习练习)()()(xgxhxf)()()(xgxfxh若证明：)()()()()()()()(xgdxxxhxfdxxxhxfxdxxhxf令 x-x=xxxxxxxdhxfdxfhxfxh)()()()()()(证:作业作业 0-8)()()(xgxhxf若)()()(00 xxgxhxxf证明：0-3 卷积 convolution四、

12、性质1.卷积满足交换律 Commutative Propertyf(x)*h(x)=h(x)*f(x)推论:卷积是线性运算 Linearity av(x)+bw(x)*h(x)=av(x)*h(x)+bw(x)*f(x)2.卷积满足分配律 Distributive Propertyv(x)+w(x)*h(x)=v(x)*h(x)+w(x)*f(x)3.卷积满足结合律 Associative Property v(x)*w(x)*h(x)=v(x)*h(x)*w(x)=v(x)*w(x)*h(x)0-3 卷积卷积 convolution四、性质四、性质(续续)4.卷积的位移不变性 Shift i

13、nvariance 若f(x)*h(x)=g(x),则 f(x-x0)*h(x)=g(x-x0)或 f(x)*h(x-x0)=g(x-x0)5.卷积的缩放性质 Scaling 若f(x)*h(x)=g(x),则 bxgbbxhbxf0-3 卷积卷积 convolution五、包含脉冲函数的卷积五、包含脉冲函数的卷积即任意函数与d(x)卷积后不变)()()()()(xfdxfxxfxxdxd根据 1.d-函数是偶函数,2.d-函数的筛选性质,有:任意函数与脉冲函数卷积的结果,是将该函数平移到脉冲所在的位置.f(x)*d(x-x0)=f(x-x0)f(x)与脉冲阵列的卷积可在每个脉冲位置产生f(x

14、)的函数波形,用于描述各种重复性的结构.=*bbaaa利用卷积的位移不变性可得:作业作业0-9.利用梳函数与矩形函数的卷积表示线光栅的利用梳函数与矩形函数的卷积表示线光栅的透过率。假定缝宽为透过率。假定缝宽为a，光栅常数为，光栅常数为d，缝数，缝数为为N.0-10.利用包含脉冲函数的卷积表示下图所示双圆利用包含脉冲函数的卷积表示下图所示双圆孔屏的透过率。若在其中任一圆孔上嵌入孔屏的透过率。若在其中任一圆孔上嵌入p p位位相板，透过率怎样变化？相板，透过率怎样变化？ldxy(透透 过率过率=输出输出/输入输入)利用卷积性质求卷积的例子利用卷积性质求卷积的例子作业作业 0-11：用图解法求图示两个函数的卷积：用图解法求图示两个函数的卷积f(x)*h(x)若要求写出解析运算式:f(x)=?+?写成 tri(x)的平移式h(x)=?+?写成d(x)的平移式利用卷积的线性性质利用d函数的卷积性质利用卷积的平移性质*=f(x)xAa-a0h(x)ka-ax0？作业作业:0-10（解）（解）*=ldxyt(x,y)2/circ22lyxd(x+d/2)+d(x-d/2)=*p 位相板:输出=输入 exp(jp),即:透过率=exp(jp)=-1d(x+d/2-d(x-d/2)t(x,y)2/circ22lyx=*若右边园孔上加p 位相板,则x0dlxyy