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1、第一节第一节 微分方程的普通概念微分方程的普通概念一、引例一、引例二、微分方程的普通概念二、微分方程的普通概念例1 一曲线经过点(1,2),且该曲线上恣意点P(x,y)处的切线斜率等于该点的横坐标平方,求此曲线的方程.一、引例(2).2)1(2|)()2,1(1yyxyyx或记作应满足条件：，故又因曲线通过点2 dd (1)yxx即231d (3)3yxxxC2d,dyxx由导数的几何意义得设所求曲线的方程为.)(xyy 解把(1)式两端求不定积分,得其中C为恣意常数把条件(2)代入(3)式,得12,3C即5.3C 315.(4)33yx于是,所求曲线方程为例2 设有一质量为m的物体，从空中某
2、处由静止形状自在降落，不计空气阻力而只受重力作用.试求物体的运动规律(即物体在自在降落过程中，所经过的路程s与时间t的函数关系).速度的乘积，于是得加与应等于物体的质量重力物体上的外力第二定律可知，作用在根据牛顿路程为所经过的设物体在时刻 )(),(mmgtsst解.(5)dd dd 2222是重力加速度其中，即ggtsmgtsm，将上式改写为gtstdddd ，因此可得tgtsdddd (6).0dd 0 :)(00tttsstss，满足条件还应由降落，所以由于物体由静止状态自(7)ddd )5(1，式两端积分一次，得对Cgttgts，式，可得式和入式中的两个条件分别代把00 )7()8()
3、6(21CC.,(8)21d)(212121是两个任意常数其中，再对上式两端积分，得CCCtCgttCgts(9).21 2gts 的运动规律为于是，所求的自由落体二、微分方程的普通概念1.微分方程及微分方程的阶含未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程；未知函数是一元函数的微分方程，称为常微分方程;未知函数是多元函数的微分方程，称为偏微分方程；(5)dd22gts，(1)d3d2xxy(1)和(5)式均是微分方程.微分方程中未知函数的导数的最高阶数，称为微分方程的阶.微分方程(1)是一阶的，微分方程(5)是二阶的.能使微分方程成为恒等式的函数，称为微分方程的解.2.微分方程的解、通解与特解
4、 3Cxy例如 1 3 xy和.d3d2的解都是xxy.dd22的解都是gts 21212CtCgts又如221gts 和不包含恣意常数的解为微分方程特解.假设微分方程的解中含恣意常数,且独立的(即不可合并而使个数减少的)恣意常数的个数与微分方程的阶数一样，这样的解为微分方程的通解.dd22的通解是gts 21212CtCgts又如 3Cxy例如.d3d2的通解是xxy 13 xy例如.d3d2的特解是xxy 221gts 又如.dd22的特解是gts3.微分方程的初值条件及其提法 当自变量取定某个特定值时,给出未知函数及其导数的知值,这种特定条件称为,称为微分方程的初值条件(或初始条件).初
5、值条件的提法：当x=x0时y=y0,其中 都是知值000,xyy记作 或00()y xy，00|,x xyy其中x0,y0都是知值.同理可知，二阶微分方城需给出的 初值条件是当x=x0时y=y0,00|,x xyy记作0000|,|,x xx xyyyy0000(),(),y xyy xy或.)(,)()()1(00)1(0000nnyxyyxyyxynn，个初值条件：阶微分方程需给出一般地，对于其中 都是知值。(1)0000,nx yyy，微分方程的解的图形称为微分方程的积分曲线.通解的图形是一族积分曲线，称为微分方程的积分曲线族.微分方程的某个特解的图形就是积分曲线族中满足给定初值条件的某
6、一特定的积分曲线.4.微分方程的解的几何意义.)11(1 ,0 )10(04 )(ee 00212221的特解程满足初值条件：的通解，并求此微分方二阶微分方程是为任意常数，验证函数xxxxyyyyCCCCy，xxCCy2221e4e4例3，得，分别求一阶及二阶导数将函数xxxxCCyCCy22212221e2e2 ee解0e4e4e4e44 )10(22212221xxxxCCCCyy的左端，得把它们代入微分方程.)10(.)10(ee2221程的通解该方的阶数相同，所以它是的个数与微分方程常数独立的任意常数，任意又因这个解中含有两个的解是所给微分方程所以函数xxCCy中，得及代入”分别”及“式中的条件把xxxxxxCCyCCyyy2221222100e2e2 ee 10:)11(.41411220 212121CCCCCC，解得，).ee(41 22xxy初值条件的特解为于是所求微分方程满足
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