等差数列的性质以及常见题型

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1、等差数列的性质以及常见题型上课时间:上课教师:上课重点：掌握等差数列的常见题型，准确的运用等差数列的性质上课规划：掌握等差数列的解题技巧和方法一等差数列的定义及应用1. 已知数列an的通项公式为an 3n 2 ,试问该数列是否为等差数列2. 已知：-,-,-成等差数列，求证：y z JLJL也成等差数列x y zx y z思考题型；已知数列an的通项公式为an pn2 qn （ P2 R，且p,q为常数）（1）当P和q满足什么条件时，数列an是等差数列（2）求证：对于任意实数p和q，数列am an是等差数列。二等差数列的性质考察（一）熟用 an ai （n l）d am （n m）d , da

2、m 问题n m（注意：知道等差数列中的任意项和公差就可以求通项公式）1、 等差数列 an 中，a3 50，as 30，则 a? .2、 等差数列 an中，a3 as 24， a? 3，贝卩a6 .3、 已知等差数列an中，a?与a6的等差中项为5 , a3与a?的等差中项为7 ,贝 y an _.4、 一个等差数列中 ai5= 33 , a?s= 66，则 a35=:5、 已知等差数列an中，ap q , aq p，则ap q .（二）公差d的巧用（注意：等差数列的项数）1、已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差等于2、等差数列印包丄耳的公差为d，则数列5a1

3、,5a2,5a3,L ,5an是（ ）A.公差为d的等差数列B.公差为5d的等差数列C.非等差数列D.以上都不对3、等差数列an中，已知公差d12，且 a1 aa L a99 60，贝卩 a1 a： L 印。A. 170B. 150C. 145D. 1204.已知x y ,且两个数列x,a1,a2,am,y与x,b1, b2, bn, y各自都成等差数列，则a2 a1等于()b2b|A m Bm 1C-Dn 1nn 1mm 15. 一个首项为23,公差为整数的等差数列中，前6项均为正数，从第7项起为负数，则公差d为（）A -2 B -3 C -4 D -5注意：角标的数字）1.等差数列an 中

4、,若 a3a4a5a6a7450 ,则 a2 a82. 等差数列 an中,若 a4a5a6a7450 ,则 S10 。3. 等差数列 an中,若 S1320 。则 a7_ 。4. 等差数列 an中,若 a1110 ,则 S21_ 。5. 在等差数列an 中a3a1140 ,则 a4a5a6a7a8a9a106. 等差数列 an中,a1 a2a324, a18a19a20 78, 则 S20_7. 在等差数列an中，a4 a5 12，那么它的前8项和S8等于。8. 如果等差数列an中，a3a4a512 ，那么 a1a2La7。9. 在等差数列an中，已知q a2 a3 a。a 20，那么a3等于

5、。10. 等差数列 an 中,它的前 5项和为34,最后5项和146,所有项和为 234,则a7 .11. 已知数列 an的前 n项和 Sn=n2+3n+1，则 ai+a3+a5+a2i=。12. an为等差数列，ai+a2+q=15, an+a*i+a*2 =78, S=155,则n=。（四）方程思想的运用（注意：联立方程解方程的思想）1. 已知等差数列an中，S=21, S=24,求数列an的前n项和Sn2.已知等差数列an中， a3a716, a4 ae 0,求数列an的前n项和Sn（五）Sn,S2n Sn,S3n S?n也成等差数列的应用1、等差数列前m项和是30，前2m项和是100，

6、则它的前3m项和。2、等差数列an的前n项的和为40,前2n项的和为120,求它的前3n项的和为。3. 已知等差数列an中，S3 4,S9 12,求Si5的值.4. 已知等差数列an中，印a2 a3 2,a4a6 4,则的值,a2 , a3, a2n+1为等差数列，奇数项和为60,偶数项的和为45,求该数列的项数.6. 若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列有。7. 在等差数列an中，S= 1, Sb= 3,则a17 + a18 + aw +阪的值是。（六）an乩的运用2n 11.设Sn和Tn分别为两个等差数列an , bn的前n项和，若对任意n

7、 N* ,都有Tn7n 14n 27,则业二b112.设Sn和Tn分别为两个等差数列an , *的前n项和，若对任意n N* ,都有Sn = 3n 1TT = 4n 33.有两个等差数列an , bn，其前n项和分别为Sn ,人，若对n N有邑 2T n 2 n 3 成立，求亜=（）。b5（七）an与Sn的关系问题；1. 数列an的前n项和Sn=3n n2，则an =2. 数列an的前n项和Sn= n2 n 1，则a. =3. 数列an的前n项和Sn= n 2n2，则=4. 数列an的前n项和&= 3n2 4n ,则an =5. 数列an的前n项和&= 2n 1,则an =6. 数列4n 2的

8、前n项和Sn=.7. 数列 4n 8的前n项和Sn=.8. 数列an的前n项和 看8n2-10.则a.（八）巧设问题；一般情况 , 三个数成等差数列可设 : a d,a,a d ; 四个数成等差数列可 设: a 3d,a d,a d, a 3d .1. 三个数成等差数列 ,和为 18,积为 66,求这三个数 .2. 三个数成等差数列 ,和为 18,平方和为 126,求这三个数 .3. 四个数成等差数列 , 和为 26,第二个数和第三个数的积为40, 求这四个数.4. 四个数成等差数列 , 中间两个数的和为 13,首末两个数的积为 22,求这四 个数.5. 一个等差数列的前 12项之和为 354

9、，前 12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差（ 九）最值问题 : ；1.在等差数列an中，ai80,d6,求Sn的最大值.2.在等差数列an中，ai80,d5,求Sn的最大值.3.在等差数列an中，ai80,d6 ,求Sn的最小值.4.在等差数列an中，ai80,d5,求Sn的最小值.5.等差数列an中，ai 0,S4 S9，贝y n的取值为多少时Sn最大6. 在等差数列an中，34 = - 14,公差d= 3,求数列an的前n项和Sn 的最小值7. 已知等差数列an中ai=13且&二亦，那么n取何值时，&取最大值.a9 ,公差dv 0,那么使其前n项和Sn为最大值8. 在等差数列an

10、中，若a3 的自然数n的值是.（十）累加法的应用裂项相消1. 已知数列an满足:anan 12n1,ai1 ,求an.2. 已知数列an满足:an 1 an4n1,a11 ,求 a“.3.已知数列an满足：an1 an 2n 1a 4,求a?。.4.在数列a n中，a12,an 1 an ln（1 丄），求 an.n（十一）由an求an的前n项和1.数列 an 的前 n 项和 Sn n2 4n，则 | a | |a2 | L |a10| 2.数列an的前n项和5 n2 4n，bna，则数列g的前n项和3.数列 an 中，ai 8 2，满足 an 2 2a. 1 a. 0, n N .(1)求通

11、项 an ; (2)设 Sn q a2 L &，求 5 ；(3)设bn-, n N*,Tn bi b2 L 0,n N*，是否存在最大的整数m ,n 12 an使得对于任意n N*，均有Tn -成立，若有求之，若无说明理由.32(十二)由Sn得a的题型、直接法1.已知正项数列an的前n项和为Sn ,a1，且满足 2Sn 1 2Sn 3an3(n N )。(1) 求数列an通项公式a(2) 求证：当n 2时，1a212a312a412an倒数法1. 已知数列 an 中，an 工0, ai =丄，an 1 = an (n N ),求 a21 2an12. 已知数列an的前n项和为Sn，且满足a1

12、2，an 2SnSn 1 0(n 2)1(I )判断是否为等差数列并证明你的结论；(II )求Sn和an ；(III )求证:S12 S22Sn2 -2 1。3.已知函数f(x)(a,b为常数，a 0)满足f(2) 1且f(x) x有唯ax b解。(1) 求 f(x)的解析式(2) 如记 xnf(xn 1)， 且 X1 1， n N，且 Xn。数列与函数1.已知二次函数y f(x) f(x) 3x2 2x，数列an的前n项和为Sn，点 (n,Sn)(n N )均在函数y f(x)的图像上。(I )求数列an的通项公式；(II )设bnTn是数列bn的前n项和，求使得Tn -对所有n N都anan120成立的最小正整数m倒序相加2.设函数f x4x 2(1)证明：对一切x R, f(x)+f(1-x) 是常数;、 12，求an,并记an f 0 ffnn求出数列a n的前n项和。思维扩展题型数列an满足印 1,an 1 (n2 n )a. (n 1,2,3 )， 是常数。(1) 当a21时，求及as的值。若不可能，(2) 数列an是否可能为等差数列若可能，求出它的通项公式: 说明理由