简单的超静力问题

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1、材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题1第第 6 章章 简单的超静定问题简单的超静定问题6-1 超静定问题及其解法超静定问题及其解法6-2 拉压超静定问题拉压超静定问题6-3 扭转超静定问题扭转超静定问题6-4 简单超静定梁简单超静定梁材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题26-1 超静定问题及其解法超静定问题及其解法.关于超静定问题的概述关于超静定问题的概述(b)材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题3 图图a所示静定杆系为减小杆所示静定杆系为减小杆1,2中的内力或节点中的内力或节点A的位移的位移(如图

2、如图b)而增加了杆而增加了杆3。此时有三个未知内力。此时有三个未知内力FN1,FN2,FN3，但只有二个独立的平衡方程，但只有二个独立的平衡方程 一一次超静定问题次超静定问题。(b)材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题4 图图a所示简支梁为减小内力和位移而如图所示简支梁为减小内力和位移而如图b增增加了中间支座加了中间支座C成为连续梁。此时有四个未知成为连续梁。此时有四个未知约束约束力力FAx,FA,FB,FC，但只有三个独立的静力平衡，但只有三个独立的静力平衡方程方程 一次超静定问题。一次超静定问题。超静定问题超静定问题(statically indetermi

3、nate problem)：单凭静力平衡方程不能求解约束力或构件内力的问单凭静力平衡方程不能求解约束力或构件内力的问题。题。FAFBl(a)FAxABq q(b)l/2l/2CFCFAxABFBFA材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题5.解超静定问题的基本思路解超静定问题的基本思路基本静定系基本静定系(primary statically determinate system)解除解除“多余多余”约束约束(例如杆例如杆3与与接点接点A的连接的连接)例例1材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题6在基本静定系上加在基本静定系上加上原有荷

4、载及上原有荷载及“多多余余”未知力未知力并使并使“多余多余”约束约束处满足变形处满足变形(位移位移)相容条件相容条件相当系统相当系统 (equivalent system)12BCAF AFN3AA FN3ADA 材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题7 331N32111N3coscos2AElFAElFF 于是可求出多余未知力于是可求出多余未知力FN3。由位移相容由位移相容条件条件 ，利用物理关系利用物理关系(位位移或变形计算公移或变形计算公式式)可得补充方程：可得补充方程：AA 12BCAF AFN3AA FN3ADA 材料力学材料力学()电子教案电子教案简

5、单的超静定问题简单的超静定问题8基本静定系统基本静定系统ABl补充方程为补充方程为048384534 EIlFEIqlC于是可求出多余未知力于是可求出多余未知力FC。FC位移相容条件位移相容条件Cq+CFc=0 相相当系统当系统ABl/2ql例例2超静定梁超静定梁yxl/2l/2CABq材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题9.注意事项注意事项 (1)超静定次数超静定次数=“多余多余”约束数约束数=“多余多余”未知未知力力=位移相容条件数位移相容条件数=补充方程数，因而任何超静补充方程数，因而任何超静定问题都是可以求解的。定问题都是可以求解的。(2)求出求出“多余

6、多余”未知力后，超静定结构的内力未知力后，超静定结构的内力和位移等均可利用相当系统进行计算。和位移等均可利用相当系统进行计算。(3)无论怎样选择无论怎样选择“多余多余”约束，只要相当系约束，只要相当系统的受力情况和约束条件确实与原超静定系统相统的受力情况和约束条件确实与原超静定系统相同，则所得最终结果是一样的。同，则所得最终结果是一样的。材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题10 (4)“多余多余”约束的选择虽然是任意的，但应以约束的选择虽然是任意的，但应以计算方便为原则。计算方便为原则。如上所示连续梁若取如上所示连续梁若取B处铰支座为处铰支座为“多余多余”约约束

7、，则求解比较复杂。束，则求解比较复杂。xl/2l/2CABqFByxl/2l/2CABq材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题116-2 拉压超静定问题拉压超静定问题.拉压超静定基本问题拉压超静定基本问题举例说明拉压超静定问题的解法。举例说明拉压超静定问题的解法。材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题12 求图求图a所示等直杆所示等直杆AB的约束力，的约束力，并求并求C截面的位移。杆的拉压刚截面的位移。杆的拉压刚度为度为EA。例题例题 6-1材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题131.有两个未知约束力有

8、两个未知约束力FA,FB（图（图a），但只有一个独立的平衡方程），但只有一个独立的平衡方程 FAFBF=0故为一次静不定问题。故为一次静不定问题。例题例题 6-1材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题14 2.取固定端取固定端B为为“多余多余”约束，约束，FB为多余未知力。为多余未知力。相当系统如图相当系统如图b所示，它应所示，它应满足相容条件为满足相容条件为D DB0，利，利用叠加法得用叠加法得D DBF+D DBB=0，参见图参见图c，d。例题例题 6-1材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题15 3.利用胡克定律后可利用胡克定律

9、后可得补充方程为得补充方程为 0 EAlFEAFaBlFaFB 由此求得由此求得所得所得FB为正值，表示为正值，表示FB的的指向与假设的指向相符，指向与假设的指向相符，即向上。即向上。例题例题 6-1材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题16得得 FA=F-Fa/l=Fb/l。4.由平衡方程由平衡方程 FA+FB-F=0例题例题 6-15.利用相当系统（图利用相当系统（图b）求得）求得D DC。lEAFabEAalFbEAaFAC材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题17 拉压超静定问题的相当系统应满足变形的相容拉压超静定问题的相当系

10、统应满足变形的相容条件，本例的相容条件为条件，本例的相容条件为D DlAC+D DlBC0。因为变。因为变形和位移在数值上密切相关，可用已知的位移形和位移在数值上密切相关，可用已知的位移条件条件D DB0代替相容条件。代替相容条件。2.小变形的情况下，利用叠加法求位移时，均是小变形的情况下，利用叠加法求位移时，均是利用构件的原始尺寸进行计算的，所以利用构件的原始尺寸进行计算的，所以D DBBFBl/EA，而不用，而不用D DBBFB(l+D DBF)/EA，A为在为在F力作用下变形后横截面的面积。力作用下变形后横截面的面积。例题例题 6-1材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简

11、单的超静定问题18 求图求图a所示结构中所示结构中1,2,3杆的内力杆的内力FN1,FN2,FN3。AB杆为刚性杆，杆为刚性杆，1,2,3杆的拉压刚度均为杆的拉压刚度均为EA。aaaACDB132EFF(a)a例题例题 6-2材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题191.共有五个未知力，如图共有五个未知力，如图b所示，但只有三个独立所示，但只有三个独立的静力平衡方程，故为二次静不定问题。的静力平衡方程，故为二次静不定问题。FN245oFFAyFAxFN1FN3(b)aaaACBD例题例题 6-2解：解：材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静

12、定问题20 2.取取1杆和杆和2杆为杆为AB杆的多余约束，杆的多余约束，FN1和和FN2为多余未知力。得基本静定系如图为多余未知力。得基本静定系如图c。CF3(c)AB例题例题 6-2材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题213.由变形图（图由变形图（图d）可得变形相容条件为）可得变形相容条件为FN2DD Dl2F(d)FN1CD Dl1EFCAD Dl1D Dl3D Dl2FBFN2DFN13CD45oC1123122llll (2)(1)例题例题 6-2材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题224.利用胡克定律，由利用胡克定律，由

13、(1)(2)式可得式可得补充方程：补充方程：EAaFEAaFEAaFEAaFN12NN31N2 22 ，解得解得 FN1=2FN3,(3)FN2=2FN1=4FN3 (4)例题例题 6-2FN2DD Dl2F(d)FN1CD Dl1EFCAD Dl1D Dl3D Dl2FBFN2DFN13CD45oC1材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题23 5.AB杆受力如图杆受力如图b所示，所示，MA=0得得)5(0)3()2(212N3N1N aFaFaFaF联立求解得联立求解得)(12.121012124)(56.02101262)(28.02101233N2N3N1N

14、N3拉拉拉拉拉拉FFFFFFFFFFF FN245oFFAyFAxFN1FN3(b)aaaACBD例题例题 6-2材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题24II.装配应力和温度应力装配应力和温度应力(1)装配应力装配应力 超静定杆系超静定杆系(结构结构)由由于存在于存在“多余多余”约束，约束，因此如果各杆件在制造因此如果各杆件在制造时长度不相匹配，则组时长度不相匹配，则组装后各杆中将产生附加装后各杆中将产生附加内力内力装配内力装配内力，以，以及相应的及相应的装配应力装配应力。材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题25 图图a中所示杆系

15、中所示杆系(E1A1=E2A2)中杆中杆3的长度较的长度较应有长度短了应有长度短了D De，装配后各杆的位置将如图中虚，装配后各杆的位置将如图中虚线所示。此时，杆线所示。此时，杆3在结点在结点 A 处受到装配力处受到装配力FN3作用作用(图图b)，而杆，而杆1,2在汇交点在汇交点A 处共同承受与处共同承受与杆杆3相同的装配力相同的装配力FN3作用作用(图图b)。(a)材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题26求算求算FN3需利用位移需利用位移(变形变形)相容相容条件条件(图图a)列出补充方程列出补充方程由此可得装配力由此可得装配力FN3，亦即杆，亦即杆3中的装配内

16、力为中的装配内力为eAAAAD D eAElFAElFD D 21113N333N3cos2 D D21113333Ncos2AElAEleF (拉力）拉力）(a)材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题27 至于各杆横截面上的装配应力只需将装配内至于各杆横截面上的装配应力只需将装配内力力(轴力轴力)除以杆的横截面面积即得。除以杆的横截面面积即得。由此可见，计算超静定杆系由此可见，计算超静定杆系(结构结构)中的装配中的装配力和装配应力的关键力和装配应力的关键,仍在于根据位移仍在于根据位移(变形变形)相容相容条件并利用物理关系列出补充方程。条件并利用物理关系列出补充方

17、程。而杆而杆1和杆和杆2中的装配内力利用图中的装配内力利用图b中右侧的图可知为中右侧的图可知为 压力压力 D D 21113333N2N1Ncos2cos2cos2AElAEleFFF材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题28 两根相同的钢杆两根相同的钢杆1、2，其其长度长度l=200 mm，直径，直径d=10 mm。两端用刚性块连接在一。两端用刚性块连接在一起如图起如图a所示。将长度为所示。将长度为200.11 mm，亦即，亦即D De=0.11 mm的铜杆的铜杆3（图图b）装配在与杆装配在与杆1和杆和杆2对对称的位置称的位置(图图c)，求各杆横截面，求各杆横截

18、面上的应力。已知：铜杆上的应力。已知：铜杆3的横的横截面为截面为20 mm30 mm的矩形，的矩形，钢的弹性模量钢的弹性模量E=210 GPa，铜，铜的弹性模量的弹性模量E3=100 GPa。例题例题 6-3材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题291.装配后有三个未知的装配内力装配后有三个未知的装配内力FN1,FN2,FN3，如，如图图d所示。但平行力系只有二个独立的平衡方程，所示。但平行力系只有二个独立的平衡方程，故为一次静不定问题。也许有人认为，根据对称关故为一次静不定问题。也许有人认为，根据对称关系可判明系可判明FN1=FN2，故未知内力只有二个，但要注，

19、故未知内力只有二个，但要注意此时就只能利用一个独立的静力平衡方程：意此时就只能利用一个独立的静力平衡方程：)1(0201NN3 FFFx(d)所以这仍然是一次静不定问题。所以这仍然是一次静不定问题。例题例题 6-3解：解：材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题302.变形相容条件变形相容条件(图图c)为为这里的这里的D Dl3是指杆是指杆3在装配后的缩短值，不带负号。在装配后的缩短值，不带负号。)2(31ell 例题例题 6-3材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题313.利用胡克定律由利用胡克定律由(2)式得补充方程式得补充方程)3

20、(33N3N1eAElFEAlF 例题例题 6-3材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题324.联立求解联立求解(1)和和(3)式得式得 所得结果为正，所得结果为正，说明原先假定杆说明原先假定杆1、2的装配内力为拉力和的装配内力为拉力和杆杆3的装配内力为压的装配内力为压力是正确的。力是正确的。EAAElAeEFAEEAleEAFF21121133333N332NN1例题例题 6-3材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题335.各杆横截面上的装配应力如下：各杆横截面上的装配应力如下：MPa51.19MPa53.743N331N21 AF

21、AF （拉应力）（拉应力）（压应力）（压应力）例题例题 6-3材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题34求装配内力也是求解静不定问题，其关键仍是求装配内力也是求解静不定问题，其关键仍是根据相容条件建立变形几何方程。根据相容条件建立变形几何方程。以上计算结果表明，很小的制造误差，却产生以上计算结果表明，很小的制造误差，却产生较大的装配应力，从而使构件的承载能力降低。较大的装配应力，从而使构件的承载能力降低。因此，要尽量提高加工精度，减小装配应力的因此，要尽量提高加工精度，减小装配应力的不利影响。不利影响。例题例题 6-3材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静

22、定问题简单的超静定问题35(2)温度应力温度应力 也是由于超静定杆系存在也是由于超静定杆系存在“多余多余”约束，杆约束，杆件会因温度变化产生的变形受到限制而产生温度件会因温度变化产生的变形受到限制而产生温度内力及温度应力。铁路上无缝线路的长钢轨在温内力及温度应力。铁路上无缝线路的长钢轨在温度变化时由于不能自由伸缩，其横截面上会产生度变化时由于不能自由伸缩，其横截面上会产生相当可观的温度应力。相当可观的温度应力。材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题36 两端与刚性支承连接的等截面杆如图两端与刚性支承连接的等截面杆如图a所示。所示。试求当温度升高试求当温度升高D D

23、t 时横截面上的温度应力。杆的时横截面上的温度应力。杆的横截面面积为横截面面积为A，材料的弹性模量为，材料的弹性模量为E，线膨胀系，线膨胀系数为数为 l。例题例题 6-4材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题371.若若AB杆仅杆仅A端固定，端固定，B端无约束，当温度升高端无约束，当温度升高时，只会产生纵向伸长时，只会产生纵向伸长D Dlt，而不会产生内力。当，而不会产生内力。当A、B均为固定端时，均为固定端时，D Dlt受到约束不能自由伸长，受到约束不能自由伸长，杆端产生约束力杆端产生约束力FA和和FB。两个未知力，一个平衡。两个未知力，一个平衡方程，为一次静不

24、定问题。方程，为一次静不定问题。(b)例题例题 6-4解：解：材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题38 2.以刚性支撑以刚性支撑B为为“多余多余”约束，约束，FB为多余约为多余约束未知力，设基本静定系由于温度升高产生的伸束未知力，设基本静定系由于温度升高产生的伸长变形长变形D Dlt，由，由“多余多余”未知力未知力FB产生的缩短变产生的缩短变形形D DlF分别如图分别如图c、d所示。所示。(c)(d)例题例题 6-4材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题393.变形相容条件是杆的总长度保持不变，即变形相容条件是杆的总长度保持不变，即

25、(1)0 Ftll(c)(d)例题例题 6-4材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题404.将将(2)式代入式代入(1)，得，得EAlFEAlFltllBFltN,(2)0N EAlFltl 补充方程为补充方程为(3)(c)(d)例题例题 6-4材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题415.由由(3)式解得式解得tEAFlN (c)(d)例题例题 6-4材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题426.杆的横截面上的温度应力为杆的横截面上的温度应力为tEAFlN (c)(d)例题例题 6-4材料力学材料力学(

26、)电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题43 若该杆为钢杆。若该杆为钢杆。l =1.210-5/(C)，E=210 109Pa，则当温度升高则当温度升高D Dt=40时有时有 MPa100 Pa10100C40Pa10210C/102.1695 tEl （压应力）（压应力）例题例题 6-4材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题44 两端固定的圆截面等直杆两端固定的圆截面等直杆AB，在截面，在截面C处受处受扭转力偶矩扭转力偶矩Me作用，如图作用，如图a所示。已知杆的扭转刚所示。已知杆的扭转刚度为度为GIp。试求杆两端的反力偶矩以及。试求杆两端的反力偶矩以及

27、C截面的扭截面的扭转角。转角。例题例题 6-56-3 扭转超静定问题扭转超静定问题材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题451.有二个未知的反力偶矩有二个未知的反力偶矩MA，MB，但只有一，但只有一个独立的静力平衡方程个独立的静力平衡方程故为一次超静定问题。故为一次超静定问题。0 0eBAxMMMM，(b)MAMB例题例题 6-5解：解：材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题46 2.以固定端以固定端B为为“多余多余”约束，反力偶矩约束，反力偶矩MB为为“多余多余”未知力。在基本静定系上加上荷载未知力。在基本静定系上加上荷载Me和和“

28、多余多余”未知力偶矩未知力偶矩MB(如图如图c)；它应满足的位移；它应满足的位移相容条件为相容条件为B截面的扭转角截面的扭转角j jB=0，利用叠加法可，利用叠加法可得得BBMBMj jj j e(c)例题例题 6-5材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题47可由平衡方程求得为可由平衡方程求得为3.根据位移相容条件并利用物理关系得补充方程根据位移相容条件并利用物理关系得补充方程求得求得ppeGIlMGIaMB eeeelbMlaMMMMMBA elaMMB 例题例题 6-5材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题484.杆的杆的AC段横

29、截面上的扭矩为段横截面上的扭矩为lbMMMMTABACee (c)例题例题 6-5从而有从而有 peplGIabMGIaTACC j j材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题49 图图a所示组合杆，由半径为所示组合杆，由半径为ra的实心铜杆和外的实心铜杆和外半径为半径为rb，内半径为，内半径为ra的空心钢杆牢固地套在一的空心钢杆牢固地套在一起，两端固结在刚性块上，受扭转力偶矩起，两端固结在刚性块上，受扭转力偶矩Me作用。作用。试求实心铜杆和空心钢杆横截面上的扭矩试求实心铜杆和空心钢杆横截面上的扭矩Ta和和Tb，并绘出它们横截面上切应力沿半径的变化情况。并绘出它们横

30、截面上切应力沿半径的变化情况。例题例题 6-6材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题50实心铜杆和空心钢杆横截面上的扭矩分别为实心铜杆和空心钢杆横截面上的扭矩分别为Ta和和Tb(图图b)，但只有一个独立平衡方程，但只有一个独立平衡方程 Ta+Tb=Me (1)故为一次超静定问题。故为一次超静定问题。例题例题 6-6解：解：TbTaMe材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题512.位移相容条件为实心杆和空心杆的位移相容条件为实心杆和空心杆的B截面相对截面相对于于A截面的扭转角相等。在图截面的扭转角相等。在图b中都用中都用j j表示（设表

31、示（设A端固定）。端固定）。)2(BbBaj jj j 例题例题 6-6TbTaMe材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题523.利用物理关系由利用物理关系由(2)式得补充方程为式得补充方程为)3(ppppbbbaaabbbaaaTIGIGTIGlTIGlT ，即即例题例题 6-6TbTaMe材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题534.联立求解联立求解(1)式和式和(3)式得：式得：)4(epppepppMIGIGIGTMIGIGIGTbbaabbbbbaaaaa ，例题例题 6-6TbTaMe材料力学材料力学()电子教案电子教案简

32、单的超静定问题简单的超静定问题545.实心铜杆横截面上任意点的切应力为实心铜杆横截面上任意点的切应力为 abbaaaaaarIGIGMGIT 0ppep空心钢杆横截面上任意空心钢杆横截面上任意点的切应力为点的切应力为 bbbaabbbbraIGIGMGIT ppep切应力沿半径的变化切应力沿半径的变化情况如图情况如图c所示。所示。ara arb rarb(c)例题例题 6-6材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题55 由图由图c可见，在可见，在 =ra处，处，a b，这是因为，这是因为 Ga D DC D DA的情的情况进行分析。此时，支座况进行分析。此时，支座B

33、相对于支座相对于支座A、C 沉陷沉陷后的点后的点A1、C1 的连线有位移的连线有位移材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题77于是，如以支座于是，如以支座B1作为作为“多余多余”约束，以约束力约束，以约束力FB为为“多余多余”未知力，则作为基本静定系的简支未知力，则作为基本静定系的简支梁梁A1C1(参见图参见图b)在荷载在荷载 q 和和“多余多余”未知力未知力FB共共同作用下应满足的位移相容条件就是同作用下应满足的位移相容条件就是210CABBBBw 材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题78于是得补充方程于是得补充方程由此解得由此解

34、得 EIlFEIqlEIlFEIlqwwwBBBFBqBB6245482384253434 2624534CABBEIlFEIql 2245413CABBlEIqlF其中的其中的wB按叠加原理有按叠加原理有(参见图参见图c、d):):材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题79再由静力平衡方程可得再由静力平衡方程可得 23833CABCAlEIqlFF材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题80(2)梁的上梁的上,下表面温度差异的影响下表面温度差异的影响 图图a所示两端固定的梁所示两端固定的梁AB在温度为在温度为 t0 时时安装安装就位，

35、其后，由于梁的就位，其后，由于梁的顶顶面温度升高至面温度升高至 t1，底，底面面温度升高至温度升高至 t2，且，且 t2t1，从而产生，从而产生约束力约束力如图如图中所示。中所示。由于未知的由于未知的约束力约束力有有6个，而独立的平衡方个，而独立的平衡方程只有程只有3个，故为三次超静定问题。个，故为三次超静定问题。l材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题81 现将右边的固定端现将右边的固定端B处的处的3个约束作为个约束作为“多余多余”约束，则解除约束，则解除“多余多余”约束后的基本静定系为左约束后的基本静定系为左端固定的悬臂梁。端固定的悬臂梁。它在上它在上,下表面

36、有温差的情况下，右端产生转角下表面有温差的情况下，右端产生转角 Bt和挠度和挠度wBt(见图见图c)以及轴向位移以及轴向位移D DBt。材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题82 如果忽略如果忽略“多余多余”未知力未知力FBx对挠度和转角的对挠度和转角的影响，则由上影响，则由上,下表面温差和下表面温差和“多余多余”未知力共同未知力共同引起的位移符合下列相容条件时，图引起的位移符合下列相容条件时，图b所示的悬臂所示的悬臂梁就是原超静定梁的相当系统：梁就是原超静定梁的相当系统：0 BxBFBtBx0 BMBFBtBwwwwBy0 BByBMBFBtB 材料力学材料力学

37、()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题83式中一些符号的意义见图式中一些符号的意义见图c、d、e。0 BxBFBtBx0 BMBFBtBwwwwBy0 BByBMBFBtB 材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题84 现在先来求现在先来求 Bt和和wBt与梁的上与梁的上,下表面温差下表面温差(t2-t1)之间的物理关系。之间的物理关系。从上面所示的图从上面所示的图a中取出的微段中取出的微段dx,当其下表当其下表面和上表面的温度由面和上表面的温度由t0分别升高至分别升高至t2和和t1时，右侧时，右侧截面相对于左侧截面的转角截面相对于左侧截面的转角d 由

38、图由图b可知为可知为 xhtthmmnnhnnldd120 上式中的负号用以表示图上式中的负号用以表示图a所示坐标系中该转角所示坐标系中该转角 d 为负。为负。材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题85将此式积分，并利用边界条件将此式积分，并利用边界条件0|0|dd|000 xxxwxw，得得 212122 xhttwxhttll ，根据上式可知，该悬臂梁因温度影响而弯曲的挠根据上式可知，该悬臂梁因温度影响而弯曲的挠曲线微分方程为曲线微分方程为 httxxwl1222dddd 材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题86从而有从而有 h

39、lttwwhlttllxBtllxBt2|21212 ，至于温差引起轴向位移至于温差引起轴向位移D DBt则为则为ltttlBt 0212 材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题87 位移相容条件表达式中由位移相容条件表达式中由“多余多余”未知力引未知力引起的位移所对应的物理关系显然为起的位移所对应的物理关系显然为 33EIlFwByBFBy 22EIlFByBFBy EAlFBxBFBx EIlMwBBMB22 EIlMBBMB 材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题88EAlFBxBFBx 33EIlFwByBFBy 22EIlFByBFBy EIlMwBBMB22 EIlMBBMB 12hlttlBt ltttlBt 0212 hlttwlBt2212 0 BByBMBFBtBwwww0 BByBMBFBtB 0 BxBFBtBx位移相容条件位移相容条件已得出的物理关系已得出的物理关系材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题89 将以上所有物理关系代入三个位移相容条件将以上所有物理关系代入三个位移相容条件的表达式即可解得的表达式即可解得 02021 BylBxFtttEAF，12httEIMlB 材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题90