第一章金融市场

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1、第一章 金融市场 参考书籍：参考书籍：1 1Wilmott P.,S.Howison,and J.Dewynne.Wilmott P.,S.Howison,and J.Dewynne.The The Mathematics of financial Derivatives:A Student Mathematics of financial Derivatives:A Student IntroductionIntroduction.Cambridge University Press,1995.Cambridge University Press,19952 2Stampfli J.,V.G

2、oodman.Stampfli J.,V.Goodman.The Mathematics of Finance:The Mathematics of Finance:Modeling and HedgingModeling and Hedging.Brooks/cole,a division of.Brooks/cole,a division of Thomson Learning,2001Thomson Learning,2001 蔡明超译。蔡明超译。金融数学。金融数学。机械工业出版社，机械工业出版社，200420043 3Ross,Sheldon M.Ross,Sheldon M.An E

3、lementary Introduction to An Elementary Introduction to Mathematics Finance:Options and Other Topics Mathematics Finance:Options and Other Topics（2nd 2nd Edition)Edition).Cambridge University Press,2003.Cambridge University Press,2003 陈典发译。陈典发译。数理金融初步。数理金融初步。机械工业出版社，机械工业出版社，20052005 4 4Shreve Steven

4、 E.Shreve Steven E.Stochastic Calculus for Finance Stochastic Calculus for Finance I,III,II,Springer-Verlag New York Inc,2004.,Springer-Verlag New York Inc,2004.陈启宏陈启宏 陈迪华译，金融随机分析陈迪华译，金融随机分析(第一、二卷第一、二卷)，上海财经大学出版社，上海财经大学出版社，20082008 5 5Martin Baxter,Andrew Rennie Martin Baxter,Andrew Rennie，Financial

5、 Calculus:An Financial Calculus:An Introduction to Derivative PricingIntroduction to Derivative Pricing，Cambridge University Cambridge University PressPress；金融数学金融数学-衍生产品定价引论（英文影印版）衍生产品定价引论（英文影印版），人民邮人民邮电出版社，电出版社，200620066 6邵宇，邵宇，微观金融学及其数学基础，微观金融学及其数学基础，清华大学出版社，清华大学出版社，200320037 7赵胜民赵胜民 ，衍生金融工具定价，中国

6、财政经济出版社，衍生金融工具定价，中国财政经济出版社，20082008 8 8孙健孙健 著，金融衍生品定价模型著，金融衍生品定价模型数理金融引论，中国经济数理金融引论，中国经济出版社，出版社，20072007 9 9朱健卫朱健卫 著，衍生金融：市场、产品与模型，南开大学出版社著，衍生金融：市场、产品与模型，南开大学出版社，200920091010李向科、丁庭栋李向科、丁庭栋 ，数理金融学，北京大学出版社，数理金融学，北京大学出版社，20082008 1111姜礼尚姜礼尚 著，期权定价的数学模型和方法，高等教育出版社，著，期权定价的数学模型和方法，高等教育出版社，200320031212史树中，

7、史树中，金融经济学十讲，上海人民出版社，金融经济学十讲，上海人民出版社，200420041313史树中著，史树中著，金融学中的数学，金融学中的数学，高等教育出版社，高等教育出版社，200620061.1 金融市场与数学金融市场与数学市场（Markets）：包括股票市场（Stock）、债券市场（Bond）、货币市场（Currency）以及期货和期权市场（Futures&Options）。交易品种是基本资产（Basic Equity）：股票、债券或一种货币以及汇率、商品或是标的资产（Underlying Equity）、金融衍生品（Financial Derivative）。三种最基本的金融衍生工

8、具：（1）远期合约（Forward）（2）期货（Future）（3）期权（Option）目的目的：根据标的资产的价格计算衍生产品价格的过程 1、强调投资学中复制资产（Replicate）的概念 2、研究在无套利条件（Absence of Arbitrage Opportunity）下资产行为的数学模型。面对风险的三种态度：1、回避风险：（1）消除不利风险的同时，放弃由于风险带 来的意外获利机会；（2）消除不利风险的同时，保留可能意外获 利的机会，为此愿意付出一定的代价。2、承担风险：投机希望从风险资产价格的变动中获取 风险利润。3、风险管理：风险管理的基本策略是套期保值（Hedge，对 冲），

9、即交易者在现货市场和期货/期权市场 同时构造两个数量相同、方向相反的头寸。风险：结果的不确定性风险：结果的不确定性风险管理的基本思想风险管理的基本思想：认为现货远期价格和期货价格的变动方向和幅度基本一致，现（期）货市场的亏损可以用期（现）货市场的盈利来补偿，从而达到转移和分散因价格变动所带来的风险。1.2 1.2 股票及其衍生产品股票及其衍生产品 公司股东拥有者持有股票（Shares）或股权证明（Equity Certificates）。股东是否可以取得股利（Dividends），取决于公司的赢利（Profit）及公司是否决定和股东分享股利。公司股票的价值：一个股票在某一时刻的价格在很多时候由

10、其他人愿意为其支付的金额来判断。股票衍生产品是一个特定的合约，其在未来某一天的价值完全由股票的未来价值决定。有三个要素：（1）卖方（Writer）：判定并出售该合约的个人或 公司。（2）买方（Holder）：购买该合约的个人或公司。（3）标的资产（Underlying Equity）：该合约所基 于的股票。1.2.1 1.2.1 股票的远期合约股票的远期合约 远期合约（Forward Contract）：在未来确定的时间，已确定的价格购买（销售）一定数量的某标的资产 （股票）的协议。多头：合约的购入方。同意在将来某一确定的日期（到期日）按照约定的价格（Strike Price，执行价格）买入标

11、的资产的一方。空头：合约的销售方。同意在将来某一确定的日期（到期日）按照约定的价格（Strike Price，执行价格）出售标的资产的一方。到期时的利润或损失：设：X为执行价格，T为执行日，ST为标的资产在交割日T的价格。对多头方：VT=ST-X 对空头方：VT=X-ST 远期合约定价：远期的定价是对无收益证券远期、支 付已知现金收益证券远期、支付已知红利率证券远 期的定价。首先做出如下规定：T：远期到期时间 ST：远期标的资产在T时刻的价格 t：当前时刻 C：远期标的资产在t时刻的价格 T-t：权利期间 X：远期的交割价格 r：无风险利率 f：t时刻远期多头多头的价值 F：t时刻的远期价格

12、注：远期合约一般都在场外交易。假设条件如下：没有交易费用和税收；市场参与者可以以相同的无风险利率借入和贷出资金；远期合约没有违约风险；允许现货卖空行为；当套利出现时，市场参与者将进行套利，从而使得套利机会消失。无收益证券的远期（复制投资法）股票远期合约的定价为：f=St-Xe-r(T-t)证明：构造两个投资组合组合A：一个价值为f的远期多头，加上一笔数额 为Xe-r(T-t)的现金；组合B：价值为St的单位标的资产 则组合A在时刻T时的价值为 St-X+X=St组合B在时刻T时的价值为St即在T时刻，组合A与组合B的价值相等。那么由无套利原理，在t时刻他们的价值也应该相等，即：f+Xe-r(T

13、-t)=St于是得到远期的价值 f=St-Xe-r(T-t)远期的价格F应该使得远期合约在现期的价值为0，即应是令f=0的X值，所以有 F=St er(T-t)(1a)例例1：考虑一个：考虑一个6个月的远期多头情况，标的资产是个月的远期多头情况，标的资产是1年期年期的贴现债券，远期的交割价格为950元。假设6个月期的无风险利率（连续复利）为6%，债券的现价是930元。试求远期的价值及当合约生效时远期的价格。解：这里T-t=0.5,r=0.06,X=950,St=930 远期的价值为f=St-Xe-r(T-t)=930-950e=8.076743 再由(1a)知，远期的价格为 F=St er(T

14、-t)=930e=958.323 对于支付已知现金收益I的证券的远期 定价为 f=St-I-Xe-r(T-t)证明：考虑如下的两个资产组合 组合A：一个价值为f的远期多头加上一笔数额为Xe-r(T-t)的现金。组合B：价值为St的单位标的资产加上以无风险利率r借入的金额I。由于标的资产的收益可以用来偿还贷款，因此在T时刻，组合B与标的资产具有相同的价值。组合A在T时刻也具有相同的价值。因此在T时刻这两个组合具有相同的价值，在任一时刻t两者的价值也应该相等。即：f+Xe-r(T-t)=St-I或 f=St-I-Xe-r(T-t)（1b）远期的价格F是使f=0的X值，故有 F=（St-I）er(T

15、-t)（1c）例2：考虑一个5年期债券，价格为900元。假设这种债券的1年期远期的交割价格为910元，在6个月后和12个月后，预计都将得到60元的利息。第二个付息日正好在远期交割日之前。已知6个月和12个月的无风险利率分别是9%和10%，试计算该种远期的价值和价格。解：这里T-t=1,r1=0.09,r2=0.1,X=910,St=900,I1=60e I2=60e-0.1x1,I=I1+I2 远期的价值为f=St-I-Xe-r(T-t)=900-(60e+60e-0.1x1)-910e-0.1x1=-35.0521 远期的价格为 F=（St-I）er(T-t)=871.261 对于支付已知红

16、利率q的证券的远期 定价为 f=Ste-q(T-t)-Xe-r(T-t)证明：考虑如下的两个资产组合 组合A：一个价值为f的远期多头加上一笔数额为Xe-r(T-t)的现金。组合B：e-q(T-t)数量标的资产并且所有收入均再投资于该标的资产St。组合B中的标的资产数量随着红利率q的增加而不断增加，在远期到期时刻T，正好拥有1单位该标的资产。于是在时刻T，组合A与组合B的价值相等，在任意时刻t两者的价值也应相等。即：f+Xe-r(T-t)=Ste-q(T-t)或f=Ste-q(T-t)-Xe-r(T-t)（1d）远期的价格F是使f=0的X值，故有 F=Ste(r-q)(T-t)（1e）例3：考虑

17、一个6个月远期，标的资产提供年利率为4%的连续红利收益率，设无风险年利率（连续复利）为10%，股价为25元，交割价格为27元，试求该远期的价值与价格。解：这里T-t=0.5,r=0.1,q=0.04,X=27,St=25,远期的价值为f=Ste-q(T-t)-Xe-r(T-t)=25e27e=-1.1782 远期的价格为 F=Ste(r-q)(T-t)=25.7614 1.3 期货合约定价期货合约定价期货是指由期货交易所统一制定，规定在将来某一特定时间与地点、交割一定数量和质量的实物产品或金融商品的标准化合约（Contract）。期货是一种特殊的远期。期货与远期的主要区别 1、期货是高度标准化

18、的合约。对交割月份、交割品种、交割数量和特征都有统一的规定，而远期的条款则比较灵活，可以由交易双方协商。2、期货只在交易所中交易，而远期一般场外交易。3、远期中的交易双方直接进行交易，存在着违约风险；而期货交易中所有交易者都以交易所或结算公司为交易的另一方面，一般没有违约风险。4、多数远期以双方履约而结束，而期货则存在着多种选择。交易方可以平仓，可以现金交割，还可以实物交割。期货不仅能够作为风险对冲工具，而且交易比远期更加方便；因为在交易所市场可以方便的找到交易双方，且无须担心对方的信用问题。但是期货的保证金制度和逐日盯市制度使得期货交易的成本要高于远期。期货的分类 商品期货：以实物商品为标的

19、物，如农产品、能源、金属等。金融期货：以金融产品为标的物，如国债期货、股票期货、股票指数期货、外汇期货等。主导主导金融期货 金融期货是指协议双方 约定在将来某个交易日按照约定的条件（包括价格、交割地点、交割方式等）买入或卖出一定标准数量的某种金融资产的协议。按照标的资产来划分，金融期货可分为股指期货、利率期货和外汇期货等。解：在t时刻买一股股票（价格为S0），在T时刻卖出，则在T时刻债务为S0 er(T-t)。约定期货定价为 S0 er(T-t)设有人支付S0 S0 er(T-t)购买该期货，那么出售方获得净利润S0-S0 er(T-t)0 ,存在套利机会，大家都会做这样的期货，故出售方会逐渐

20、降低报价S0直到S0 er(T-t)，因此实际会发生的情景是S0 S0 er(T-t)再假设S0 0，与无套利假设矛盾。因此 ，得证。定理4：若市场无套利且股票不支付红利，则Ct=aCt()()()r Ttttttr Ttr TtttSXSXeCSXeSPXeX()r T ttttCXePS0,tT ttttCSXPXS 和 +()r T ttttSXeSXCttPXSttPXS美式期权提前实施的情况美式看跌期权：如果股票价格下跌到一定程度，提前实施是必要的，否则将蒙受损失。支付红利的美式看涨期权：如果股票价格上涨到相当程度，提前实施亦是必要的，否则将蒙受损失。美式期权没有平价公式美式期权没有

21、平价公式，但有估计式。定理5：证明：()r T tttttSXaCaPSXe()()1122:=+=+r T ttttr T ttttttttttaPaCXeSaCaPSXeaCXaCXaPSaP S所以 构造组合一个价格为的美式看涨期权加上 现金，即：一个价格为的美式看跌期权加上 股票，即 ()12()12()1212()12,=+e,=+=e=e1=1=+,=r T tTTTTTr T tTTTr T tTTTTTTTrtt TSXXXSSXSXXXSSXSPtTaXeaX若在上，美式期权不提前实施，那么V（）V（）当时，V（）V（）当时，V（）V（）即 V（）V（）若在时提前实施美式期权

22、，则V（）CV（）P+SS()121212t=1rtttttXXePtaCXaPSS则V（）SV（）V（）V（）由无套利原理可知，在时刻 必有V（）V（）即红利对于期权的影响对看涨期权与看跌期下限的影响 组合A：一个价格为Ct的欧式看涨期权加上D+Xe-r(T-t)的现金（D表示在期权有效期内红利的现值）组合B：一股价格为St的股票 经过类似定理1的推导，可以得到 组合C：一个价格为Pt的欧式看跌期权加上一个价格为St的股票 组合D：数额为D+Xe-r(T-t)的现金 同样的，经过类似定理1的推导，可以得到()tr T ttCSDXe()tr T ttPDXeS对看涨期权看跌期权平价关系的影响

23、 当存在红利时，欧式看涨看跌期权平价关系修正为 对美式期权来说，红利将使得 从而有看涨期权与看跌期权的关系为：()t+=+r T tttCDXeP S()tr T ttttSXCPSXe()tr T ttttSDXCPSXe期权的投资策略混合组合（Synthetics）：词组和包含一个齐全，一个基标股票或现金存款。差额组合（Spreads）：此组合包含同质期权，即只有买权或买权。联结组合（Combinations）：此组合包含不同质期权，即卖权与买权的组合。欧式买方和卖方期权的收益结构TCTSOXTPTSOX混合组合1、被保买权（Covered Call）：由一个基标股票多头和一个买方期权空头

24、组成。即 St Ct 其到期收益：X 当ST X Gt=St maxST X,0=ST(ST X)+=ST 当ST X2、保护卖权（Protective Put）：由一个基标股票的多头和一个卖方期权多头组成。即St+Pt 其到期收益：Gt=St+maxXST,0=ST 当ST X X 当ST XTGTSOX3、合成股票（Synthetic Stock）：由卖方期权和买方期权平价公式得到：Gt=St=CT PT+X，即一个买方期权多头加一个卖方期权空头、再加一笔金额为Xe-r(T-t)的现金TGTSOX差额组合1、牛市组合（Bull Spreads）：含X1、X2两个执行价格，且X1 X2,则买进一个买方期权多头C X1和卖出一个买方期权空头C X2，得到一个牛市组合。G T=C X1 C X2=(ST X1)+(ST X2)+牛市组合在 上的收益是线性增长。TGTSO1X12,TSXX2X2、熊市组合（Bear Spreads）：含X1、X2两个执行价格，且X1 X2,熊市组合与牛市组合结构相反。由一个卖方期权空头P X1和一个卖方期权多头P X2 组成。G T=P X2 P X1=(X2ST)+(X1ST)+熊市组合在 上的收益是线性递减。12,TSXXTGTSO1X2X