二积分上限函数及其导数

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1、 上页 下页 返回 结束 1二、积分上限的函数及其导数二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿三、牛顿 莱布尼茨公式莱布尼茨公式 一、引例一、引例 第二节第二节 微积分基本公式微积分基本公式 第五五章四、小结四、小结 上页 下页 返回 结束 2一、引例一、引例 在变速直线运动中在变速直线运动中,已知位置函数已知位置函数)(ts与速度函数与速度函数)(tv之间有关系之间有关系:)()(tvts 物体在时间间隔物体在时间间隔,21TT内经过的路程为内经过的路程为)()(d)(1221TsTsttvTT 这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性.)()(的

2、的原原函函数数是是这这里里tvts 上页 下页 返回 结束 3O)(xfy xbay)(xxhx 二、积分上限的函数及其导数二、积分上限的函数及其导数,)(baCxf 则变上限函数则变上限函数 xattfxd)()(证证,bahxx 则有则有hxhx)()(h1 xahxattfttfd)(d)(hxxttfhd)(1)(f)(之之间间与与介介于于hxx hxhxh)()(lim0 )(lim0 fh)(xf)(x 定理定理1 若若.,)(上上的的一一个个原原函函数数在在是是baxf,)(baCxf 积分中值定理积分中值定理 上页 下页 返回 结束 4说明说明:1)定理定理 1 证明了连续函数

3、的原函数是存在的证明了连续函数的原函数是存在的.2)其他变限积分求导其他变限积分求导 bxttfxd)(dd)(xf )(d)(ddxattfx)()(xxf 同时为同时为通过原函数计算定积分开辟了道路通过原函数计算定积分开辟了道路.)()(d)(ddxxttfx )()()()(xxfxxf )()(d)(d)(ddxaaxttfttfx 证明见证明见补充定理补充定理3 上页 下页 返回 结束 5.delim21cos02xtxtx 求求 1cosdedd2xttx因因为为 xttxcos1dedd2)(cose2cos xx,esin2cos xx 21cos0delim 2xtxtx 所

4、以所以xxxx2esinlim2cos0 .e21 使使用用洛洛必必达达法法则则.型型未未定定式式,0 00 0此此为为例例1解解型型00 上页 下页 返回 结束 6,1d)(2)(0 ttfxxFx令令,0)(2)(xfxF所所以以,1)(xf因因为为,01)0(F由由于于 10d)(1)1(ttfF 10d)(1ttf,0.1,01d)(2 .1)(,1,0)(0上上只只有有一一个个解解在在证证明明且且上上连连续续在在设设 xttfxxfxf,1,0)(上上为为单单调调增增加加函函数数在在从从而而xF.1,0,0)(上上只只有有一一个个解解即即原原方方程程在在所所以以 xF例例2证证 上页

5、 下页 返回 结束 7 ttftxfxd)()(0 例例3,0)(),0)(xfxf且且,内内连连续续在在设设证明证明)(xFttftxd)(0 ttfxd)(0 在在),0(内为单调递增函数内为单调递增函数.证证 )(xF 20d)(ttfx ttfxfxxd)()(0 20d)(ttfx ttfxfxd)()(0)(tx 0.)0)(内为单调增函数内为单调增函数在在 ，（xF只要证只要证0)(xF 20d)(ttfx xfx)()()(xf)0(x 上页 下页 返回 结束 8三、牛顿三、牛顿 莱布尼茨公式莱布尼茨公式上上的的一一个个原原在在是是连连续续函函数数设设,)()(baxfxF).

6、()(d)(aFbFxxfba (牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式)证证 根据定理根据定理 1,)(d)(的一个原函数的一个原函数是是xfxxfxa 故故CxxfxFxa d)()(,ax 令令,)(aFC 得得因此因此)()(d)(aFxFxxfxa ,bx 再令再令得得)()(d)(aFbFxxfba 记作记作 )(xFab)(xFab定理定理2 函数函数,则则记作记作 上页 下页 返回 结束 9例例4 计算计算.1d312 xx解解 xxxarctan1d312 13)1arctan(3arctan 3 127 例例5 计算正弦曲线计算正弦曲线轴轴所所围围成成上上与与在在xxy,0si

7、n 的面积的面积.解解 0dsinxxAxcos 01()1 2)4(Oyxxysin 上页 下页 返回 结束 10例例6 求求 解解.d112xx xxd112 12|ln x.2ln2ln1ln 例例7 求求 .d)1sincos2(20 xxx原式原式 20cossin2 xxx .23 解解 上页 下页 返回 结束 11例例8 设设 ,求求 .215102)(xxxxf 20d)(xxf解解 102120d)(d)(d)(xxfxxfxxf 1021d5d2xxx原原式式.6 xyo12 上页 下页 返回 结束 12例例9 汽车以每小时汽车以每小时 36 km 的速度行驶的速度行驶,速

8、停车速停车,2sm5 a解解 设开始刹车时刻为设开始刹车时刻为,0 t则此时刻汽车速度则此时刻汽车速度 0v)(10sm)(sm3600100036 刹车后汽车减速行驶刹车后汽车减速行驶,其速度为其速度为tavtv 0)(t510 当汽车停住时当汽车停住时,0)(tv即即,0510 t得得(s)2 t故在这段时间内汽车所走的距离为故在这段时间内汽车所走的距离为 20d)(ttvs 20d)510(tt 22510tt (m)10 02)(36hmk刹车刹车,问从开始刹问从开始刹到某处需要减到某处需要减设汽车以等加速度设汽车以等加速度车到停车走了多少距离车到停车走了多少距离?上页 下页 返回 结

9、束 13.dsinsin03xxx 计算积分计算积分xxxxxxdcossindsinsin003 xxxxxxd)cos(sindcossin220 .34)(sin32)(sin322232023 xx例例10解解 上页 下页 返回 结束 14,)()(,)(xfxFbaCxf 且且设设则有则有1.微积分基本公式微积分基本公式 xxfbad)(积分中值定理积分中值定理)(abF )()(aFbF 微分中值定理微分中值定理)(abf 牛顿牛顿 莱布尼茨公式莱布尼茨公式 2.变限积分求导公式变限积分求导公式 四、小结四、小结 上页 下页 返回 结束 15定理定理3 设函数设函数 f(t)在区间

10、在区间 c,d 上连续上连续,函数函数()x、()x 区间区间a,b上可导上可导,且且(,),a bc d 、(,)a b ,c d，则函数则函数()()()()xxG xf t dt 在区间在区间a,b上可导上可导,且且 ()()()().)G xfxxfxx 积分变限函数积分变限函数补充补充:上页 下页 返回 结束 16证明证明 因为函数因为函数 f(t)在区间在区间c,d 上连续上连续,所以所以 f(t)在区间在区间c,d 上有原函数上有原函数F(t),由由Newton-Leibniz()()()()xxdf t dtGdxx ()()dFxFxdx 公式及复合函数求导法则得公式及复合函数求导法则得 ()()Fxx ()()fxx 显然显然,当当(),()xaxx 时时,上式就是上式就是定理定理 1 的的 ()()Fxx ()().fxx 定理定理3结论结论.