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1、第三节 反函数的导数 复合函数的求导法则 一、反函数的导数 二、复合函数的求导法则 本节内容提要本节重点反函数的求导法则；四个反三角函数的求导公式；复合函数的求导法则 本节难点复合函数的求导计算 教学方法启发式教学手段多媒体课件和面授讲解相结合教学课时 3课时一、反函数的导数 反函数的求导法则：设函数y=f(x)在点x处有不等于0的导数 ,并且其反函数 在相应点处连续，则 存在且有()fx1()xfy1()fy1111()()()()fyfxfxfy或。22221arcsinsinarcsinsin(,)sincos022arcsin11arcsin,cos1sin1(sin)cos1arcs
2、in11arccos1yyxxyyxxyIyyyxxyyxyyxxxx 例、求的导数。解：设为直接函数，则为其反函数。在内单调、可导且（）在对应区间（-1，1）内有（）=又因为故（）=。类似可得（）=-222222arctantanarctantan(,)tansec02 2arctan11arctan,sec1 tan1(tan)sec1arctan11arccot1yxyxxyyxxyIyyyxIxyyxyyxxxx 例2、求的导数。解：设为直接函数，则为其反函数。在内单调、可导且（）在对应区间（-，+）内有（）=又因为故（）=。类似可得（）=-2lo g(0,1)lo g(,)ln0,l
3、o g11lo g,()ln1lo gln1lnayayyyyaxyayyayx aaxayxxaIaaayxIxaxaaaxaexaxx 例 3、求的 导 数。解：设为 直 接 函 数，则为其 反 函 数。在内 单 调、可 导 且（）在 对 应 区 间（0，+）内 有（）=又 因 为故（）=,特 别 当时，有（）=。二、复合函数的求导法则 (),()()()(),()(),()()()(),(),xuxyf u uxy xduyfxuxxx yf uudxdyf uyfxxdudydy duf uxyy udxdu dxyf u uv v复合函数的求导法则：设函数，即是的一个复合函数：。如果
4、在点处有导数在对应点 处有导数则复合函数在点处的导数也存在，且或记为。本法则还可推广到有限次复合的情形：如(),xdydy du dvyfxdxdu dv dx 则的导数为。3030302929291(12),12()(12)3026060(12)xuxuxdyyxdxyuuxyy uuxuux 例、求。解：设cos,cos,(cos)()sinsinxuxuxdyynxdxyu unxyy uunxu nnnx 例 2、求。解：设22lntan,ln,tan1cos11(ln)(tan)secsin cossin cosxu xuxdyyxdxyu uxxyyuuxxuxxxx 例3、求。解
5、：设当我们比较熟练后，就可以省略设中间变量的步骤了。3333224,()33xxxxyeyyeexx e例、求。解：2222222222222222225sin,122co s()112(2)(1)2(1)co s1(1)22(1)4co s1(1)2(1)2co s(1)1xd yyxd xd yxxd xxxxxxxxxxxxxxxxxxx例、求。解：322222233223612,11121212333(12)yxyyxxxxxx例、求。解：（）（）=（）（-4）4=222222122222221222222222,2()()22112221(2)2422xyaxyxxyaxaxxaxaxaxxaxaxxaxax例7、求。解：2222222222122222221222222222228ln()1()1()()111()()2111()22111yxxayxxaxxaxxaxxaxaxaxxaxaxxxaxxxaxaxa例、求的 导 数。解：9ln cos()11(cos)(sin)()coscos1(sin)tancosxxxxxxxxxxxyeyyeeeeeeeeee 例、，求。解：1sin11sinsin11sinsin221 0111(sin)co s()111co s()co sxxxxxd yyed xd yeed xxxxexexxx 例、，求。解：
反函数的导数复合函数的求导法则
