第1章复数与复变函数ppt课件

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1、 复变函数的 实际和方法在数学，自然科学和工程技术中有着广泛的运用，是处理诸如流膂力学，电磁学，热学弹性实际中平面问题的有力工具。复变函数中的许多概念，实际和方法是实变函数在复数领域的推行和开展。自变量为复数的函数就是复变函数,它是本课程的研讨对象.由于在中学阶段曾经学过复数的概念和复数的运算,本章将在原有的根底上作简要的复习和补充;然后再引见复平面上的区域以及复变函数的极限与延续性的概念,为进一步研讨解析函数实际和方法奠定必要的根底.第一章 复数与复变函数n复数n复数表示及运算n平面点集n复变函数极限和延续性复数、复数表示及运算n复数的概念复数相等复数形如z=x+iy的数被称为复数，其中x,

2、yR。x=Rez，y=Imz分别为z的实部和虚部，i为虚数单位，其意义为i2=-1z1=z2当且仅当Rez1=Rez2且Imz1=Imz1复数不能比较大小复平面复数与平面向量一一对应z平面复数z=x+iy虚轴实轴22|yxrz模zzkArgarg2幅角主幅角并规定幅角按逆时针方向取值为正，顺时针方向取值为负.在第三象限在第二象限在第一、四象限zxyzxyzxyz,arctan,arctan,arctanarg当 z=0 时,|z|=0,而幅角不确定.arg z可由以下关系确定:arctan22yx其中阐明：当 z 在第二象限时，arg022ztan()tan()tanyxarctanyxarc

3、tan.yx)22Arg(i)43Arg(ikii2)22arg()22Arg(k222arctan),2,1,0(24kkkii2)43arg()43Arg(k234arctan),2,1,0(34arctan)12(kk例例3 求求 和和解解n复数的表示ire代数表示：z=x+iy三角表示：指数表示：留意在三角表示和指数表示下，两个复数相等当且仅当模相等且幅角相差k2)sin(cosirz),(zArgzrirez 31izRe1xz Im3yz22(1)(3)2rz,argz3tan31t 31iz32argz31iz222(cossin)33i232ie例例4 求求 的三角表示式与指数

4、表示式的三角表示式与指数表示式.解解由于所以设那么又由于 位于第II象限所以于是例4 将以下复数化为三角表示式与指数表示式.1)122;2)sincos.55zizi 解 1)|1244.rzz在第三象限,因此235arctanarctan.3612 因此56554cos()sin()466izie2)显然,r=|z|=1,又3sincoscos,525103cossinsin.52510因此31033cossin1010izien复数的运算设z1=x1+iy1和 z2=x2+iy2是两个复数加减运算z1+z2=(x1+x2)+i(y1+y2)复数加减法满足平行四边形法那么，或三角形法那么z1

5、+(-z2)-z2乘法运算)(iexp )sin(i)cos()(i)(21212121211221212121rrrryxyxyyxxzz两个复数相乘等于它们的模相乘，幅角相加除法运算)(iexp )sin(i)cos(i2121212121222212212222212121rrrryxyxyxyxyyxxzz两个复数相除等于它们的模相除，幅角相减1221zzzz1221zzzz321321)()(zzzzzz321321)()(zzzzzz3121321)(zzzzzzz复数四那么运算规律：1加法交换律2乘法交换律3加法结合律4乘法结合律5乘法对于加法的分配律共轭运算复数z=x+iy的共

6、轭复数为共轭复数为 是复数z关于实轴的对称点iyxzzzz 2121zzzz2121zzzz)0(22121zzzzz22ImRezzz zRe,Im22zzzzzzizzz共轭复数的运算性质：1234567 为实数.n.n ii2)32(2ii2)32(249 122ii(5 12)(2)(2)(2)iiii 14291210i5292i例例1 化简化简解解)52(4321iiiizzzIm,Rez ziiiiiiiiiiz52)43)(43()43)(21(5243212510525211)5(5)5)(2(25211iiiiiiii2582516258Im,2516Rezz12564)2

7、582516)(2582516(iiz z例例2 设设 ，求，求 及及解解所以nnzznnz 个nnzzzz)sincosirz（1rnininsincos)sin(cos)sin(cosninrznn1.复数的乘幂设 为正整数，个非零一样复数 的乘积，称为 的 次幂，记为 ，即假设 ，那么有当 时，得到著名的棣莫弗公式4)1(i12cos()sin()44ii 4)sin()cos(4)1(4iiiz31iz324281zziz312 cos()sin()66iiz32552 cos()sin()66i例例7 求求解解由于所以例例8 知知 ，求求解解由于)620sin()620cos(2)6

8、8sin()68cos(2484281iizz所以)628sin()628cos(24i)31(8i)2,0(nwzwnwznnzw nzw1复数的方根称满足方程 的复数 为 的 次方根，记作或记作令)sin(cosiw)sincosirz（解出)2(1,knrn由)sin(cos)sin(cosirzninwnn即)2(arg1sin()2(arg1cos(1kznikznzwniziziz2123,2123210iziziz2123,2123543可求出6个根，它们是sincos16iz)5,4,3,2,1,0(62sin62cos16kkik例例 解方程解方程解解 由于由于016z所以i

9、11 i )43sin()43cos(2i1 i )1,0(2243sin2243cos24kkik)83sin83(cos2402iw)85sin85(cos2412iw例例2 计算计算解解 由于由于 所以 即练习212121,4i3,5 i5.1zzzzzz和求设4100i1)i1(.2和求平面点集z0zz邻域平面上以 为心，为半径的圆：内部一切点 的集合称为点的 邻域，记为 ，即0z0),(0zN),(00zzzzN00zzz0z称集合 为 的去心 邻域，记作 ),(00zNz0n开集开集 假设点集假设点集 的每一个点都是的每一个点都是 的内的内点，那么称点，那么称 为开集为开集.n闭集

10、假设点集闭集假设点集 的余集为开集，那么称的余集为开集，那么称 为闭集为闭集.n连通集连通集 设是设是 开集，假设对于开集，假设对于 内恣意两内恣意两点，都可用折线衔接起来，且该折线上的点，都可用折线衔接起来，且该折线上的点都属于点都属于 ，那么称开集，那么称开集 是连通集是连通集.DDDDDDDDDDz1z2p区域区域n区域或开区域区域或开区域 连通的开集称为区域连通的开集称为区域或开区域或开区域.n闭区域闭区域 开区域开区域 连同它的边境一同，连同它的边境一同，称为闭区域，记为称为闭区域，记为 .DD平面图形的复数表示 很多平面图形能用复数方式的方程或不等式来表示；也可以由给定的复数方式的

11、方程或不等式来确定所表示的平面图形。例1：Z平面上以原点为中心、R为半径的圆周方程为Rz Z平面上以 Z0为中心、R为半径的圆周方程为Rzz0衔接z1 和z2两点的线段的参数方程为)10(),(121tzztzz过两点 z1 和z2的直线L的参数方程为)(),(121tzztzz例2：调查以下方程或不等式在平面上所描画的几何图形。122ziz该方程表示到点2i和2间隔相等的点的轨迹，所以方程表示的曲线就是衔接点2i 和2的线段的垂直平分线，它的方程为y=x。24)Im(zi设 z=x+iy,4)1(Im()Im(yixzi3y34)arg(iz)arg(iz 表示实轴方向与由点i 到 z 的向

12、量之间交角的主值，因此满足方程的点的全体是自 i 点出发且与实轴正向夹角为45度的一条半射线。不包括 i点41Re2zixyyxiyxz2)()(22221Re222yxz1Im2z例3：指出不等式4arg0iziz中点z的轨迹所在范围。解：222222)1(2)1(1yxxiyxyxiziz由于,4arg0iziz所以0)1(2)1(1222222yxxyxyx于是有xyxyxx21010222222)1(102222yxyxx它表示在圆2)1(22yx外且属于左半平面的一切点的集合i1t2t21tt 21tt 与)()(21tztz)()(zz)20(sincosttitz图 11.简单曲

13、线、简单闭曲线平面曲线假设存在满足且的使重点，无重点的延续曲线称为简单曲线或那么称此曲线C有，约当Jordan曲线；除 外无其它重点的延续曲线称为简单闭曲线，例如是一条简单闭曲线如图1.n在几何直观上，简单曲线是平面上没有“打结情形的延续曲线，即简单曲线本身是不会相交的；简单闭曲线除了没有“打结情形之外，还必需是封锁的，例如，图1.10中的 n 是简单曲线，是简单闭区域，图1.11中的 ，不是简单曲线，但 是闭曲线.1C2C3C4C3C图1.10 图1.11 n2.光滑曲线、分段光滑曲线n设曲线 的方程为n n 假设 ，在 上可导且 ，延续不全为零，那么称曲线 为光滑曲线，由假设干段光滑曲线衔

14、接而成的曲线称为分段光滑曲线.n3.单连通域、多连通域n设 是复平面上一区域，假设在 内任作一条简单闭曲线 ，其内部的一切点都在 中，那么称区域 为单连通区域；否那么称 为多连通区域或复连通区域.C)()()(tiytxtz)(t)(tx)(ty,)(tx)(tyCDDCDDDn在几何直观上，单连通区域是一个没有“空洞点洞和缝隙的区域，而多连通区域是有“洞或缝隙的区域，它可以是由曲线 所围成的区域中挖掉几个洞，除去几个点或一条线段而构成的区域如图1.12.C图1.12练习3|2.1 z3|1|.2z1Re|.5zz调查以下方程或不等式在平面上所描画的几何图形，并指明它是有界还是无界，是单连通还

15、是多连通。2/1Re.3z3Re1,3arg6.4zz111.6zz复变函数复变函数之定义设G是一个复数z=x+iy的集合。假设有一个确定的法那么存在，按照这一法那么，对于集合G中的每一个复数z，有一个或多个复数=u+iv与之对应，那么称复变数w是复变数z的函数，或复变函数，记为=f(z)。阐明1假设z的一个值对应着的独一一个值，那么我们称f(z)是单值的；假设z的一个值对应着多个的值，那么我们称f(z)是多值函数。阐明2复变函数=f(z)可以看作是z平面到平面上的一个映射。复变函数=f(z)可以写成=u(x,y)+iv(x,y)，其中z=x+iy=f(z)z平面平面举例求0argz,0r0,0 当当z1,z2E且且|z1-z2|有有|f(z1)-f(z2)|