第八章单因素试验的统计分析2

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1、第八章第八章 单因素试验的统计分析单因素试验的统计分析生物统计与田间试验生物统计与田间试验8.1 8.1 顺序排列试验的统计分析顺序排列试验的统计分析8.2 8.2 单因素单因素完全随机试验完全随机试验的统计分析的统计分析 二、组内观察值数目二、组内观察值数目不等的不等的一、组内观察值数目一、组内观察值数目相等相等的的8.3 8.3 随机区组试验随机区组试验的统计分析的统计分析 由于某些难以控制的因素的影响，有些小区会由于某些难以控制的因素的影响，有些小区会缺失产量或数据。在这种情况下，处理和区组的缺失产量或数据。在这种情况下，处理和区组的正交性遭到破坏。正交性遭到破坏。因此必须因此必须首先应

2、用统计方法估算出缺区产量首先应用统计方法估算出缺区产量；然后填进估计值，再作分析。然后填进估计值，再作分析。在一个试验中，若缺失个别的小区，缺区估计在一个试验中，若缺失个别的小区，缺区估计尚属可行；尚属可行；三、随机区组试验的缺区估计和结果分析三、随机区组试验的缺区估计和结果分析 如缺区较多，则缺区估计并不可靠。如缺区较多，则缺区估计并不可靠。因此，缺区估计是一种不得已的补救办法。因此，缺区估计是一种不得已的补救办法。试验应尽量避免缺区。试验应尽量避免缺区。如缺区过多，应作试验失败处理，或者除去缺如缺区过多，应作试验失败处理，或者除去缺区过多的处理或区组再作分析。区过多的处理或区组再作分析。n

3、 n区组数，区组数，k k处理数处理数;T Ti i缺区所在处理其它数据总和缺区所在处理其它数据总和;T Tj j 缺区所在区组其它区组数据总和缺区所在区组其它区组数据总和;T T不包括缺区的全试验总和。不包括缺区的全试验总和。)1)(1(knTTkTnxijij8.338.331 1随机区组试验缺一个小区产量的结果分析随机区组试验缺一个小区产量的结果分析 表表8.23 8.23 玉米随机区组试验缺一区产量玉米随机区组试验缺一区产量(kg)(kg)的试验结果的试验结果处理处理 A A B B C C D D E E F F 27.8 27.8 30.6 30.6 27.7 27.7 16.2

4、16.2 16.2 16.2 24.9 24.9 27.3 27.3 28.8 28.8 22.7 22.7 15.0 15.0 17.0 17.0 22.5 22.5 28.5 28.5 X X 34.9 34.9 14.1 14.1 17.7 17.7 22.7 22.7 38.5 38.5 39.5 39.5 36.8 36.8 19.6 19.6 15.4 15.4 26.3 26.3 T Tj j143.4143.4133.3133.3117.9+x117.9+x176.1176.1122.1122.198.9+x98.9+x122.1122.164.964.966.366.396.

5、496.4570.7+x 570.7+x T Ti i首先，首先，应估计出缺值应估计出缺值x x。然后，然后，将该将该33.033.0置入表置入表8.228.22的的x x地位。地位。)1)(1(knTTkTnxijij16147.5709.9869.11740.3395.32表表8.24 8.24 玉米随机区组试验结果玉米随机区组试验结果 处理处理 A A B B C C D D E E F F T Tj j 27.8 27.8 30.6 30.6 27.7 27.7 16.2 16.2 16.2 16.2 24.9 24.9 143.4 143.4 27.3 27.3 28.8 28.8

6、22.7 22.7 15.0 15.0 17.0 17.0 22.5 22.5 133.3 133.3 28.5 28.5 34.9 34.9 14.1 14.1 17.7 17.7 22.7 22.7 38.5 38.5 39.5 39.5 36.8 36.8 19.6 19.6 15.4 15.4 26.3 26.3 176.1 176.1 T Ti i 122.1 122.1 122.1 122.1 64.9 64.9 66.3 66.3 96.4 96.4 33.033.0150.9150.9131.9131.9603.7603.7 但在分解自由度时需注意：但在分解自由度时需注意：因为

7、因为x x33.0 33.0 是一个没有误差的理论值，它是一个没有误差的理论值，它不占有自由度，所以误差项和总变异项的自由不占有自由度，所以误差项和总变异项的自由度都要比常规的少一个。度都要比常规的少一个。由此得到的方差分析表如表由此得到的方差分析表如表8.258.25。表表8.258.25 玉米栽培试验玉米栽培试验(缺一区缺一区)的方差分析的方差分析 变异来源变异来源 区区 组组 处处 理理 误误 差差 总总 变变 异异 DF DF 3 3 5 5 SS SS 166.8 166.8 1093.20 1093.20 142.44 142.44 1402.48 1402.48 MS MS F

8、F F F0.050.05 14142222218.64218.6410.1710.1721.5021.50 2.66 2.66 在进行处理间的比较时，一般用在进行处理间的比较时，一般用t t测验。测验。对于非缺区处理间的比较，其对于非缺区处理间的比较，其 ，仍由，仍由8.238.23式算出；式算出；对于对于缺区处理缺区处理和和非缺区处理非缺区处理间的比较，则间的比较，则 21xxs112221knknssexx在本例可求得在本例可求得 161462417.1021xxskg47.2 例例8.88.8 有一水稻栽培试验，假定缺失两区有一水稻栽培试验，假定缺失两区产量产量(x(x和和y)y)，其

9、结果如表，其结果如表8.268.26试分析试分析 2 2随机区组试验缺二个小区产量的结果分析随机区组试验缺二个小区产量的结果分析 表表8.26 8.26 水稻随机区组试验缺两区产量的试验结果水稻随机区组试验缺两区产量的试验结果 处理处理 A A B B C C T Tj j 8 8 9 9 16 16 33 33 14 14 11 11 17 17 42 42 12 12 10 10 14 14 36 36 8 8 7 7 12 12 27 27 16 16 11 11 X X 27+x27+x Y Y 9 9 13 13 22+y 22+y T Ti i 58+y 58+y 57 57 72

10、+x72+x 187+x+y 187+x+y 首先，应估计出缺区首先，应估计出缺区x x和。采用解方程法，根和。采用解方程法，根据据8.328.32式，对有式，对有x x方程方程 018187327672yxxxx对对y y有方程有方程018187322658yxyyy 以上两方程组成二元一次联立方程，整理可以上两方程组成二元一次联立方程，整理可得得x=18.09kg,y=10kgx=18.09kg,y=10kg。将将x x18(kg)18(kg)，y y10(kg)10(kg)置入表置入表8.268.26中，即中，即得表得表8.278.27。表表8.27 8.27 水稻随机区组试验结果水稻随

11、机区组试验结果 处理处理 A A B B C C Tj Tj 8 8 9 9 16 16 33 33 14 14 11 11 17 17 42 42 12 12 10 10 14 14 36 36 8 8 7 7 12 12 27 27 16 16 11 11（1818）45 45 （1010）9 9 13 13 32 32 T Ti i 68 68 57 57 90 90 215 215 表表8.28 8.28 水稻随机区组试验（缺两区）的方差分析水稻随机区组试验（缺两区）的方差分析变异来源变异来源 区区 组组 处处 理理 误误 差差 总总 变变 异异 DF DF 5 5 2 2 8 8 1

12、5 15 SS SS 74.28 74.28 94.11 94.11 18.56 18.56 186.95 186.95 MS MS 47.06 47.06 2.32 2.32 F F 20.2820.28 F F0.050.05 3.683.68 在进行处理间比较时，非缺区处理间比较的差在进行处理间比较时，非缺区处理间比较的差数标准误仍由数标准误仍由8.238.23式给出式给出(当以各处理小区平均当以各处理小区平均数相比较时数相比较时)；若相互比较的处理中有缺区的，则其平均数差若相互比较的处理中有缺区的，则其平均数差数的标准误为数的标准误为 2121121nnssexx 8.35 8.35式

13、中的式中的S Se e2 2为误差项均方，为误差项均方，n n1 1和和n n2 2分别表示分别表示两个相比较处理的有效重复数，其两个相比较处理的有效重复数，其计算方法是计算方法是：在同一区组内，若两处理都不缺区，则各记为在同一区组内，若两处理都不缺区，则各记为1 1；若一处理缺区，另一处理不缺区，则缺区处理若一处理缺区，另一处理不缺区，则缺区处理0 0，不缺区处理记不缺区处理记(k(k2)2)(k(k1)1)，其中，其中k k为试验的为试验的处理数目。处理数目。例如，例如，本试验在本试验在A A和和B B比较时比较时 A A的有效重复数的有效重复数 n n1 11 11 11 11 11 1

14、0 05 5 B B的有效重复数的有效重复数 n n2 21 11 11 11 11 1(3(32)/(32)/(31)1)5.5 5.5 故故 kgsxx94.05.515132.221 在在A A和和C C比较时比较时 A A的有效重复数的有效重复数 n n1 11 11 11 11 1(3(32)/(32)/(31)1)0 04.5 4.5 C C的有效重复数的有效重复数 n n2 21 11 11 11 10 0(3(32)/(32)/(31)1)4.5 4.5 故故 kgsxx02.15.515.4132.2218.4 8.4 拉丁方试验的统计分析拉丁方试验的统计分析 拉丁方设计是从

15、拉丁方设计是从横行和直列横行和直列两个方向对试验两个方向对试验环境条件进行环境条件进行局部控制局部控制，使每个横行和直列都，使每个横行和直列都成为一个区组，在每一区组内随机安排全部处成为一个区组，在每一区组内随机安排全部处理的试验设计。理的试验设计。拉丁方设计的拉丁方设计的处理数处理数、重复数重复数、横行区组横行区组数数和和直列区组直列区组数均相同。数均相同。什么是拉丁方设计？什么是拉丁方设计？ABCDEBADECCEABDDCEABEDBCA5 55 5 拉拉 丁丁 方方 设设 计计 拉丁方试验在拉丁方试验在纵横两个方向都纵横两个方向都应用了局部控应用了局部控制，使得纵横两向皆成区组。制，使

16、得纵横两向皆成区组。因此在试验结果的统计分析上要比随机区组因此在试验结果的统计分析上要比随机区组多一项多一项区组间变异。区组间变异。设有设有 k k个处理作拉丁方试验，则必有横行区个处理作拉丁方试验，则必有横行区组和纵行区组各组和纵行区组各 k k个，其自由度和平方和的分个，其自由度和平方和的分解式为：解式为：一、拉丁方试验结果的分析一、拉丁方试验结果的分析 k k2 21 1 总平方和总平方和(横行纵行处理误差横行纵行处理误差)平方和平方和 krxxk12212kxx2122kicrxxxxx总自由度总自由度(横行纵行处理误差横行纵行处理误差)自由度自由度 kixxk12kcxxk12(k(

17、k1)(k1)(k2)2)(k(k1)1)(k(k1)1)(k(k1)1)上式中，上式中，x x表示各小区产量表示各小区产量(或其他性状或其他性状)，表示横行区组平均数，表示横行区组平均数，表示纵行区组平均数，表示纵行区组平均数，表示处理平均数，表示处理平均数，表示全试验平均数。表示全试验平均数。cxixxrx 例例8.98.9 有有A A、B B、C C、D D、E 5E 5个水稻品种作个水稻品种作 比较试验，其中比较试验，其中E E为标准品种，采用为标准品种，采用5 55 5拉丁拉丁 方设计方设计,其田间排列和产量结果见表其田间排列和产量结果见表8.29,8.29,试试 作分析。作分析。表

18、表8.29 8.29 水稻品比水稻品比5 55 5拉丁方试验的产量结果拉丁方试验的产量结果 横横行行区区组组 纵纵 行行 区区 组组 D D 37 37 B B 4848 C C 27 27 E E 2828 A A 34 34 A A 3838 E E 4040 B B 3232 D D 3737 C C 30 30 C C 3838 D D 3636 A A 3232 B B 4343 E E 27 27 B B 4444 C C 32 32 E E 3030 A A 38 38 D D 3030 E E 3838 A A 3535 D D 2626 C C 4141 B B 4141 首

19、先，在表首先，在表8.298.29算得各横行区组总和算得各横行区组总和T Tr r和各纵和各纵行区组总和行区组总和T Tc c，并得全试验总和，并得全试验总和 T T。再根据表再根据表8.308.30算得各品种的总和算得各品种的总和T Ti i和小区平均和小区平均产量产量 。然后进入以下步骤：然后进入以下步骤：ix表表8.29 8.29 水稻品比水稻品比5 55 5拉丁方试验的产量结果拉丁方试验的产量结果 横横行行区区组组 纵纵 行行 区区 组组 D D 37 37 B B 4848 C C 27 27 E E 2828 A A 34 34 A A 3838 E E 4040 B B 3232

20、 D D 3737 C C 30 30 C C 3838 D D 3636 A A 3232 B B 4343 E E 27 27 B B 4444 C C 32 32 E E 3030 A A 38 38 D D 3030 E E 3838 A A 3535 D D 2626 C C 4141 B B 4141 T Tr r 195195191191147147187187162162T Tc c 174174177177176176174174181181882(T)882(T)表表8.30 8.30 表表8.298.29资料的资料的T Ti i和和 品种品种 A A B B C C D

21、D E E T Ti i x xi i ix383835353232383834 34 444448483232434341 41 383832322727414130 30 373736362626373730 30 383840403030282827 27 17717720820816816816616616316335.435.441.641.633.633.633.233.233.633.61.1.自由度和平方和的分解自由度和平方和的分解 自由度的分解：自由度的分解：总总DFDFk k2 21 15 52 21 124,24,横行横行DFDFk k1 15 51 14,4,纵行纵行D

22、FDFk k1 15 51 14,4,品种品种DFDFk k1 15 51 14,4,误差误差DFDF(k(k1)(k1)(k2)2)(5(51)(51)(52)2)12 12 矫正数矫正数C CT T2 2/k/k2 28828822 2/5/52 231116.96 31116.96 =37238241231116.96815.04=(195219121622)/531116.96=348.64 平方和的分解平方和的分解 CxxxSSkT2122CkTxxkSSrkrr212 =(174217721812)/531116.96 =6.64=(177220821632)/531116.96=

23、271.44 CkTxxkSSikii212CkTxxkSSckcc212815.04815.04348.646.646.64271.44 271.44 总SS横行SS纵行SS品种SS2122kicrexxxxxSS188.32 188.32 变异来源变异来源 横行区组横行区组 纵行区组纵行区组 品品 种种 实验误差实验误差 总总 变变 异异 DF DF 4 4 4 4 4 4 121224 24 SS SS 348.64 348.64 6.64 6.64 271.44 271.44 188.32 188.32 815.04 815.04 MS MS F F F F0.050.05 F F0.

24、010.01 2 2方差分析表和方差分析表和 F F测验测验表表8.31 8.31 表表8.308.30资料的方差分析资料的方差分析 *67.8667.8615.6915.694.324.323.263.265.415.4187.1687.161.661.665.565.560.110.113.263.265.415.413.263.265.415.41 t t测验测验DLSDDLSD法法 当当p p4 4，v v12,Dt12,Dt0.050.052.28,Dt2.28,Dt0.010.013.76,3.76,故故 DLSDDLSD0.050.052.52.52.882.887.20(kg)

25、7.20(kg)DLSD DLSD0.010.012.52.53.763.769.40(kg)9.40(kg)3 3品种平均数间的比较品种平均数间的比较 5.2569.15221xxs表表8.32 8.32 各品种与标准品种相比的差异显著性各品种与标准品种相比的差异显著性 品品 种种 B B A A C C D D E E（CKCK）小区平均产量小区平均产量(kg)(kg)41.6 41.6 35.4 35.4 33.6 33.6 33.2 33.2 32.6 32.6 差异差异 9.0 9.0*2.8 2.8 1.0 1.0 0.6 0.6 再根据再根据v v1212时的时的SSRSSR0.

26、050.05和和SSRSSR0.010.01的值的值,算得算得p p2 2，3 3，4 4，5 5时的时的LSRLSR0.050.05和和LSRLSR0.010.01的值。的值。新复极差测验新复极差测验(LSR(LSR法法)(77.1569.15kgSE求得求得表表8.33 8.33 各品种小区平均产量相各品种小区平均产量相互比较时的互比较时的LSRLSR值值 p p SSRSSR0.010.01 SSRSSR0.050.05 LSRLSR0.010.01 LSRLSR0.050.05 2 2 3.08 3.08 4.32 4.32 5.45 5.45 7.64 7.64 3 3 3.23 3

27、.23 4.55 4.55 5.72 5.72 8.03 8.03 4 4 3.33 3.33 4.68 4.68 5.89 5.89 8.28 8.28 5 5 3.36 3.36 4.76 4.76 5.95 5.95 8.43 8.43 表表8.34 8.34 水稻品比试验的新复极差测验水稻品比试验的新复极差测验 品种品种 小区平均产量小区平均产量 差异显著性差异显著性 5%5%1%1%41.6 41.6 35.4 35.4 33.6 33.6 33.2 33.2 32.6 32.6 B B A A C C D D E E a a b b b b b b b b A A AB AB AB

28、 AB B B B B二、拉丁方试验的二、拉丁方试验的缺区估计缺区估计和结果分析和结果分析 拉丁方试验和随机区组试验一样，缺区时要拉丁方试验和随机区组试验一样，缺区时要进行估计缺区值，否则处理与区组之间的正交进行估计缺区值，否则处理与区组之间的正交性受到破坏。性受到破坏。xxxxxetjitijtij2)()(缺区估计的缺区估计的原理是原理是：由拉丁方的线性模型，误差由拉丁方的线性模型，误差ijij(t)(t)估计值为：估计值为：缺值的最佳估计值，其条件为缺值的最佳估计值，其条件为0)(tije022kxTkxTkxTkxTxtcr 式中的式中的 和依次分别为缺区所和依次分别为缺区所在的横行区

29、组、纵行区组、处理和全试验的总和。在的横行区组、纵行区组、处理和全试验的总和。为简单计为简单计，以，以x x代代xx，将上式移项可得，将上式移项可得 022kxTkxTkxTkxTxtcrTTTTtcr、)2)(1(2)(kkTTTTkxtcr 当仅有一个缺区时，可由当仅有一个缺区时，可由8.448.44或或8.458.45式直式直接接解得解得x x值；值；当有多个缺区时，可由当有多个缺区时，可由8.448.44式建立联立方式建立联立方程程组，解出各个缺区估计值。组，解出各个缺区估计值。例例8.108.10 有一甘蔗品种试验，采用有一甘蔗品种试验，采用5 55 5拉丁方设计拉丁方设计缺缺失一区

30、失一区产量，其结果见表产量，其结果见表8.368.36，试求该缺区估，试求该缺区估计值计值x x并作分析。并作分析。表表8.36 58.36 55 5甘蔗试验缺失一区产量的试验结果甘蔗试验缺失一区产量的试验结果 横横 行行 区区 组组 T Tc c 纵纵 行行 区区 组组 A 14 A 14 D 19 D 19 B 23 B 23 C 21 C 21 E 23 E 23 100 100 E 22 E 22 B 21 B 21 A 15 A 15 D D(x)(x)C 16 C 16 7474x x D 20 D 20 A 16 A 16 C 20 C 20 E 24 E 24 B 23 B 2

31、3 103 103 C 18 C 18 E 23 E 23 D 23 D 23 B 21 B 21 A 20 A 20 97 97 B 25 B 25 C 18 C 18 E 23 E 23 A 17 A 17 D 20 D 20 103 103 T Tr r 99 99 97 97 99 99 8383x x 99 99 477477x x 首先首先求缺区估计值求缺区估计值x x。)(18)25)(15(4772)777483(5kgx将将x x1818置入表置入表8.368.36的的x x地位，得表地位，得表8.37.8.37.表表8.37 58.37 55 5甘蔗试验具有一个估计值的试验

32、结果甘蔗试验具有一个估计值的试验结果 横横 行行 区区 组组 T Tc c 纵纵 行行 区区 组组 A 14A 14 D 19 D 19 B 23 B 23 C 21 C 21 E 23 E 23 100 100 E 22 E 22 B 21 B 21 A 15A 15 D D 1818 C 16 C 16 92 92 D 20 D 20 A 16A 16 C 20 C 20 E 24 E 24 B 23 B 23 103 103 C 18 C 18 E 23 E 23 D 23 D 23 B 21 B 21 A 20A 20 97 97 B 25 B 25 C 18 C 18 E 23 E

33、23 A 17A 17 D 20 D 20 103 103 T Tr r 99 99 97 97 99 99 101 101 99 99 99 99 ix 方差分析时，注意估计出的数据由于是理方差分析时，注意估计出的数据由于是理 论数据，不占自由度。论数据，不占自由度。因此，缺区的资料误差项和总变异项的自因此，缺区的资料误差项和总变异项的自 由度比正常的拉丁方资料少一个；由度比正常的拉丁方资料少一个；表表8.38 8.38 甘蔗甘蔗5 55 5拉丁方试验拉丁方试验(缺一区缺一区)的方差分析的方差分析 变异来源变异来源 横横 行行 纵纵 行行 品品 种种 误误 差差 总总 变变 异异 DF DF

34、 4 4 4 4 4 4 11 11 23 23 SS SS 1.6 1.6 17.2 17.2 180.8 180.8 20.4 20.4 220.0 220.0 MS MS 0.40 0.40 4.30 4.30 45.2045.20 1.85 1.85 F F 24.2324.23 F F0.050.05 3.36 3.36 在对各品种的小区平均数作在对各品种的小区平均数作t t测验时，没有缺测验时，没有缺区品种间的比较仍用区品种间的比较仍用8.228.22式；式；但但当缺区品种当缺区品种与非缺区品种比较时，其差数标与非缺区品种比较时，其差数标准误差应为准误差应为 212221kkkks

35、sexx94.01252585.121xxs本例中本例中 以上是有一个缺区的拉丁方试验的分析。以上是有一个缺区的拉丁方试验的分析。如果拉丁方试验有如果拉丁方试验有几个缺区几个缺区，则首先应算得各，则首先应算得各个缺区的估计值。个缺区的估计值。算得各缺区估计值后，可按正常算得各缺区估计值后，可按正常(没有缺区的没有缺区的)拉丁方资料计算各变异来源的平方和，但误差项拉丁方资料计算各变异来源的平方和，但误差项和总变异项的自由度要比正常的少和总变异项的自由度要比正常的少l l个个(l(l为缺区为缺区数目数目)。2121121nnssexx 在对各处理小区平均数作在对各处理小区平均数作t t 测验时，没

36、有缺区测验时，没有缺区的处理间比较的差数标准误仍由的处理间比较的差数标准误仍由8.228.22式给出；式给出；若相互比较的处理中有缺区存在，则其平均数若相互比较的处理中有缺区存在，则其平均数差数的标准误为差数的标准误为 式中的式中的S Se e2 2为误差项均方，为误差项均方，n n1 1和和n n2 2分别代表两个分别代表两个相互比较的处理的相互比较的处理的有效重复数有效重复数，其计算方法是：，其计算方法是：(1)(1)若相互比较的甲、乙两处理在横行和纵行若相互比较的甲、乙两处理在横行和纵行皆不缺一区，则分别记皆不缺一区，则分别记1 1；(2)(2)若若甲处理不缺区甲处理不缺区，而其所在的横

37、行或纵行，而其所在的横行或纵行的乙处理缺一区，则甲记的乙处理缺一区，则甲记2 23 3；(3)(3)若若甲处理不缺区甲处理不缺区，而其所在的横行和纵行，而其所在的横行和纵行的乙处理皆缺区，则甲记的乙处理皆缺区，则甲记1 13 3；(4)(4)若甲处理本身为缺区，则记若甲处理本身为缺区，则记0 0。例如，例如，有有一一5 55 5拉丁拉丁方试验为：方试验为：AEDCBDBAECBACDECDEBAECBAD 有有B B、C C、E E处理间比较时，其处理间比较时，其 ，用，用较都要先较都要先计算有效重复数，再代入下式计算：计算有效重复数，再代入下式计算：21xxs2121121nnssexxns

38、sexx2221来计算，来计算，其余各处理相互比其余各处理相互比33.41412exxssEA如如,A,A与与E E比较时，比较时，A A的有效重复数的有效重复数n n1 11 11 11 10 01 1E E的有效重复数的有效重复数n n2 21 11 12 23 32 23 31 1ADBCEEBADCDACEBCEDBABCEAD67.3167.312exxssDA而而A A与与D D比较时，比较时，A A的有效重复数的有效重复数n n1 11 11 11 10 02 23 3D D的有效重复数的有效重复数n n2 21 11 11 12 23 30 0ADBCEEBADCDACEBCEDBABCEAD