立体几何中球的内切和外接问题完美版ppt课件.ppt

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1、球与多面体的内切、外接 球的半径 r 的棱长 a有什么关系？ . r a 二、球与多面体的接、切 定义 1：若一个多面体的 各顶点 都在一个球的球面上 ， 则称这个多面体是这个球的 内接多面体 ， 这个球是这个 。 定义 2：若一个多面体的 各面 都与一个球的球面相切 ， 则称这个多面体是这个球的 外切多面体 ， 这个球是这个 。 一、 球体的体积与表面积 34 3VR 球 24SR 球 面 多面体的 外接球 多面体的 内切球 剖析定义 1 一、由球心的定义确定球心 在空间，如果一个 定点 与一个简单多面体的 所有顶点 的距离都 相等 ，那么这个定点就是该简 单多面体的外接球球心。 一、定义法

2、 针对讲解 1 C A O D B图 4 求正方体、长方体的外接球的有关问题 2 2 出现正四面体外接球时利用构造法 (补形法 )，联系正方体。 求正方体、长方体的外接球的有关问题 例 2.（全国卷）一个四面体的所有棱长都为 ，四个顶点在 同一球面上，则此球的表面积为（ ） 2 A. B. C. D. 3 4 33 6 破译规律 -特别提醒 2 球与正四面体内切接问题 3 【例 3】求棱长为 a的正四面体内切球的体积 球与正四面体内切接问题 3 正四面体内切、外接结论 3 球 内 接 长 方体的 对 角 线 是球的直 径 。正四面 体（ 棱长为 a）的外接球半 径 R与内 切球半 径 r之比

3、为 R： r 3： 1.外接球半 径 ： 内 切球半 径 ： 结论：正四面体与球的接切问题，可通过线面关系证出，内切球 和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即定 有内切球的半径 (为正四面体的高 )，且外接球的半径 aR 46 ar 12 6 hr 41 rR 3 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不 重合。 1 例 4、正三棱锥的高为 1，底面边长为 。求棱锥的全面 积和它的内切球的表面积。 62 过侧棱 AB与球心 O作截面 ( 如图 ) 在正三棱锥中， BE 是正 BCD的高， O1 是正 BCD的中心，且 AE 为斜高

4、 62BC 21 EO 3AE 且 26243362213S 全 9 2 6 3 解法 1： O1 A B E O C D 作 OF AE 于 F F 设内切球半径为 r，则 OA = 1 r Rt AFO Rt AO1E 3 1 2 rr 26 r 6258S球 例 4、正三棱锥的高为 1，底面边长为 。求棱锥的 全面积和它的内切球的表面积。 解法 2： 设球的半径为 r，则 VA- BCD = VO-ABC + VO- ABD + VO-ACD + VO-BCD 1624331 2 B C DAV 全Sr 3 1 r 3223 26 r 6258 球S 内切球全多面体 rS3 1V 注意：

5、割补法， 内切球全多面体 rSV 3 1 O1 A B E O C D 62 变式训练：一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截 面的可能图形是（ ） A A B C D D1 C 1 B1 A1 O 球的内接正方体的对角线等于球直径。 变式训练：已知正四面体内接于一个球，某人画出四个过球心的 平面截球与正四面体所得的图形如下， 则（ ） A以下四个图形都是正确的 B只有是正确的 C只有是正确的 D只有是正确的 D A B C D O A B C D O 求正多面体外接球的半径 求正方体外接球的半径 解法 2： 直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点。 4 例 4

6、 、 （ 2014 ）已知三棱柱 的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上， 若该棱柱的体积为 ，则此球的表面积等于 _ _ _ _ _ _ _ _ _ 解：由已知条件得： ， ， ， ， 设 的外接圆的半径为 ，则 ， ， 外接球的半径为 ，球的表面积等于 . 解析：球内接多面体，利用圆内接多边形的性质求出小 圆半径，通常用到余弦定理求余弦值，通过余弦值再利 用正弦定理得到小圆半径 ，从而解决问题。 r C c 2 sin 正棱锥的外接球的球心是在其高上 5 例 5 在三棱锥 P A B C 中， PA P B = P C= , 侧棱 PA 与底面 A B C 所成的角为 60 ，则该三棱锥外

7、接球的体积为（ ） A B. C. 4 D . 正棱锥的外接球的球心是在其高上 5 例 6. 一个正四棱锥的底面边长为 2 ，侧棱长为 ，五个顶点都在同一个球面上， 则此球的表面积为 . O O 1 D C B A P 9 设外接球半径为 R ，在 OO 1 A 中有 解得 . . 测棱相等的锥体顶点的投影在底面外接圆心 6 例 7 、 . 若三棱锥 S - A B C 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形， AB=2 ， S A = S B = S C = 2 ，则该三棱锥的外接球的球心到平面 A B C 的距离为 （ ） A. B. C.1 D. O S MA B C 答案： D. ，

8、即 . 若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则共斜边的中点就是其外接球的球心。 7 例 9 、已知三棱锥的四个顶点都在球 的球面上， 且 ， ， ， , 求球 的体积。 O A B C P 解： 且 ， ， ， , 因为 所以知 所以 所以可得图形为： 在 中斜边为 在 中斜边为 取斜边的中点 ， 在 中 在 中 所以在几何体中 ，即 为该四面体的外接球的球心 所以该外接球的体积为 破译规律 -特别提醒 03 例题剖析 -针对讲解 2 举一反三 -突破提升 04 举一反三 -突破提升 4 1、（ 2015 海淀二模）已知斜三棱柱的三视图如图 所示，该斜三棱柱的体积为 _. 举一反三 -突破提

9、升 4 2、（ 2015 郑州三模） 正三角形 ABC的边长为 ，将 它沿高 AD翻折，使点 B 与点 C间的距离为 ，此时四面 体 ABCD的外接球的体积为 。 23 3 3 3 B D D C BC ABC 等边三角形 13 1 2 s i n 6 0 3 1 3 , 2 2 s i n 6 0 BE A D B E 22 2 9 1 3 1 42 4 1 3 1 3 36 O B O E B E VR 举一反三 -突破提升 4 3.(2015 南昌二模）某几何体的三视图如图，该几何体的 顶点都在球 O 的球面上，球 O的表面积是 （ ） .2A .4B .8C .16D C 举一反三 -

10、突破提升 4 4.（ 2015 石家庄一模）三棱锥 P-ABC的三条侧棱 PA,PB,PC两两互 相垂直 ,Q为底面 内一点，若 Q到三个侧面的距离分别为 3,4,5, 则过点 P和 Q的所有球中，表面积最小的球的表面积为 ABC 2 2 2 2 3 , 4 , 5 , 0 , 0 , 0 2 3 4 5 5 2 52 , 4 5 0 2 QP R P Q R S R -29- 考点一 考点二 考点三 考点三 组合体的表面积与体积 【例 3 】 正三棱锥 ( 正三棱锥是底面为等边三角形 , 三个侧面为全等的等腰 三角形的三棱锥 ) 的高为 1 , 底面边长为 2 6 , 内有一个球与它的四个面

11、都相 切 ( 如图 ) . 求 : ( 1 ) 这个正三棱锥的表面积 ; ( 2 ) 这个正三棱锥内切球的表面积与体积 . 举一反三 -突破提升 4 -30- 考点一 考点二 考点三 解 : ( 1 ) 底面正三角形中心到一边的距离为 1 3 3 2 2 6 = 2 ,则正棱锥 侧面的斜高为 1 2 + ( 2 ) 2 = 3 . S 侧 = 3 1 2 2 6 3 = 9 2 . S 表 =S 侧 +S 底 = 9 2 + 1 2 3 2 ( 2 6 ) 2 = 9 2 + 6 3 . 举一反三 -突破提升 4 -31- ( 2 ) 设正三棱锥 P - ABC 的内切球球心为 O ,连接 O

12、P , OA , OB , OC ,而 O 点 到三棱锥的四个面的距离都为球的半径 r. V P - ABC =V O - P A B +V O - P B C +V O - P A C +V O - ABC = 1 3 S 侧 r+ 1 3 S ABC r= 1 3 S 表 r= ( 3 2 + 2 3 ) r. 举一反三 -突破提升 4 -32- 又 V P - ABC = 1 3 1 2 3 2 ( 2 6 ) 2 1 = 2 3 , ( 3 2 + 2 3 ) r= 2 3 , 得 r= 2 3 3 2 + 2 3 = 2 3 ( 3 2 - 2 3 ) 18 - 12 = 6 - 2

13、 . S 内切球 = 4 ( 6 - 2 ) 2 = ( 40 - 16 6 ) . V 内切球 = 4 3 ( 6 - 2 ) 3 = 8 3 ( 9 6 - 22 ) . 举一反三 -突破提升 4 .四棱锥 PABCD，底面 ABCD是边长为 6的正方形，且 PA = PB = PC = PD，若一个半径为 1的球与此四棱锥 的各个面相切，则此四棱锥的体积为（ ） A 15 B 24 C 27 D 30 举一反三 -突破提升 4 1 、 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4 ，体积为 16 ， 则这个球的表面积是 （ ） A 16 B 20 C 24 D 32 举一反三 -突破提升

14、4 2. 正六棱柱的底面边长为 4, 高为 6, 则它的外接球的表面积为 A. 20 B. 25 C. 100 D. 200 举一反三 -突破提升 4 已知正三棱锥 P - A BC 的主视图和俯视图如图所 示 , 则此三棱锥的外接球的表面积为 ( ) A 4 B, 1 2 C. 3 16 D. 3 64 举一反三 -突破提升 4 如图，在等腰梯形 A B C D 中， AB 2 D C 2 ， D A B 60 ， E 为 AB 的中 点将 ADE 与 B E C 分别沿 ED 、 EC 向上折起，使 A 、 B 重合于点 P ， 则三棱锥 P - D C E 的外接球的体积为 ( ) A

15、27 34 B 2 6 C 8 6 D 24 6 举一反三 -突破提升 4 已知三棱锥 S A BC 的三条侧棱两两垂直 ， 且 S A =2 ， S B=S C =4 ，则该三棱锥的外接球的半径为 ( ) A 36 B 6 C 3 D 9 举一反三 -突破提升 4 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形， 则这个几何体的 （ ） A 、外接球的半径为 3 3 B 、体积为 3 C 、表面积为 6 3 1 D 、外接球的表面积为 16 3 3 111 正视图 侧视图 俯视图 点 A 、 B 、 C 、 D 均在同一球面上 ， 其中 是正三角形 ， AD 平面 A B C, AD

16、= 2AB=6, 则该球的体积为 （ ） (A) (B) (C) (D) 平面四边形 A B C D 中， 1 CDADAB ， CDBDBD ,2 ， 将其沿对角线 BD 折成四面体 BC DA ，使平面 BDA 平面 B C D ， 若四面体 BC DA 顶点在同一个球面上，则该球的体积为 3 2 已知球的直径 SC=4 ， A ， B 是该球球面上的两点， A B=2 A SC = BSC =4 5 则棱锥 S ABC 的体积为 （ ） A 3 3 B 23 3 C 43 3 D 53 3 已知三棱锥 S A B C 的所有顶点都在球 O 的球面上， ABC 是边长为 1 的正三角形，

17、SC 为球 O 的直径， 且 2SC ，则此棱锥的体积为 （ ） （ A ） 2 6 （ B ） 3 6 （ C ） 2 3 （ D ） 2 2 (2013 石家庄质检 ) 已知正三棱柱内接于一个半径为 2 的球， 则正三棱柱的侧面积取得最大值时，其底面边长为 ( ) A. 6 B. 2 C. 3 D 2 一个底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱 内接于 半径为 3 的球，则该棱柱体积的最大值为（ ） A 3 32 B 33 C 2 3 D 36 正方体 1111 DCBAA B C D 的棱长为 2 ， MN 是它的内切球的一条弦 （ 我们把球面上任意两点之间的线段称 为球的弦 ）， P 为正方体表面上 的动点，当弦 MN 的长度最大时， PM PN 的取值范围是 此课件下载可自行编辑修改，供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！ 47