高等数学课件D842空间直线

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1、2022-12-23一、空间直线方程一、空间直线方程 二、线面间的位置关系二、线面间的位置关系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间直线及其方程 第八八章 第四节 平面与直线2022-12-23一、空间直线方程一、空间直线方程xyzo01111DzCyBxA02222DzCyBxA1 2 L因此其一般式方程1 1.一般式方程一般式方程 直线可视为两平面交线，平面的一般方程是不唯一的。机动 目录 上页 下页 返回 结束 2022-12-23),(0000zyxM2.对称式方程对称式方程故有说明说明:某些分母为零时,其分子也理解为零.可以记为：mxx0设直线上的动点为 则),(zyxMnyy0

2、pzz0此式称为直线的对称式方程对称式方程(也称为点向式方程点向式方程)s已知直线上一点),(0000zyxM),(zyxM和它的方向向量,),(pnms sMM/0机动 目录 上页 下页 返回 结束 pzznyyxx00002022-12-233.参数式方程参数式方程设tpzznyymxx000tmxx0tnyy0tpzz0机动 目录 上页 下页 返回 结束 00yyxx直线方程为当,0,0时pnmpzznyyxx000直线方程为特别,当,0,0时pnm2022-12-23例例1.用对称式及参数式表示直线解解:先在直线上找一点.043201 zyxzyx632zyzy再求直线的方向向量2,0

3、zy令 x=1,解方程组,得交已知直线的两平面的法向量为是直线上一点.)2,0,1(故.s,)1,1,1(1n)3,1,2(2n21ns,ns21nns机动 目录 上页 下页 返回 结束 2022-12-23故所给直线的对称式方程为参数式方程为tztytx32 41t41x1y32z解题思路解题思路:先找直线上一点;再找直线的方向向量.)3,1,4(21nns312111kji机动 目录 上页 下页 返回 结束)2,0,1(点)1,1,1(1n)3,1,2(2n2022-12-232L1L二、线面间的位置关系二、线面间的位置关系1.两直线的夹角两直线的夹角 则两直线夹角 满足21,LL设直线

4、两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角)的方向向量分别为212121ppnnmm212121pnm222222pnm),(,),(22221111pnmspnms2121cosssss 1s2s机动 目录 上页 下页 返回 结束 2022-12-23特别有特别有:21)1(LL 21/)2(LL0212121ppnnmm212121ppnnmm21ss 21/ss机动 目录 上页 下页 返回 结束 共面21,)3(LL0)(2121ssPP0222111121212pnmpnmzzyyxx11LP 22LP 2022-12-23例例2.求以下两直线的夹角解解:直线直线二直线夹角 的余弦为

5、13411:1zyxL0202:2zxyxL cos22从而4的方向向量为1L的方向向量为2L)1,2,2()1(1)2()4(212221)4(1222)1()2(2)1,4,1(1s2010112kjis 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2022-12-23当直线与平面垂直时,规定其夹角线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;L2.直线与平面的夹角直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时,设直线 L 的方向向量为 平面 的法向量为则直线与平面夹角 满足.2222222CBApnmpCnBmA直线和它在平面上的投影直),(pnms),(CBAn),cos(sinnsnsns sn机动 目录 上页

6、 下页 返回 结束 2022-12-23特别有特别有:L)1(/)2(L0pCnBmApCnBmAns/ns解解:取已知平面的法向量421zyx则直线的对称式方程为0432zyx直的直线方程.为所求直线的方向向量.132垂)1,3,2(nn例例3.求过点(1,2,4)且与平面机动 目录 上页 下页 返回 结束 2022-12-233.平面束方程平面束方程1111DzCyBxA通过一直线的所有平面的集合叫做平面束。建立一个一次方程：机动 目录 上页 下页 返回 结束 01111DzCyBxA02222DzCyBxA设直线L的方程0)(2222DzCyBxA其中为任意常数。2022-12-23例例

7、4.求通过直线1L解解:将1153121zyx:L0102016222zyzyx:L0)1()135(zxyx化为一般式：1L010135zxyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 且平行于直线的平面方程。因为平面过直线,故平面的方程可以设为其法矢量),1,5(n其中待定常数.2022-12-23,122 直线011252 )(的方向矢量为：2L2,1,02,2,12s机动 目录 上页 下页 返回 结束,故有，则有解得=-802sn于是平面的方程为：0)1)(8()135(zxyx即0583zyx 0102016222zyzyxL:)15(,n因为平面与 平行2L2022-12-231.空间直

8、线方程空间直线方程一般式对称式参数式0022221111DzCyBxADzCyBxAtpzztnyytmxx000pzznyymxx000)0(222pnm 内容小结内容小结 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2022-12-23,1111111pzznyymxxL：直线0212121ppnnmm,2222222pzznyymxxL：212121ppnnmm2.线与线的关系线与线的关系直线夹角公式:),(1111pnms),(2222pnms 021ss21LL 21/LL021ss2121cosssss 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2022-12-23,0DzCyBxACpBnAm

9、平面 :L L/夹角公式：0CpBnAmsin,pzznyymxx3.面与线间的关系面与线间的关系直线 L:),(CBAn),(pnms 0 ns0nsnsns L机动 目录 上页 下页 返回 结束 2022-12-230743zyx解：解：转换L：平面：与直线L:练习练习1.机动 目录 上页 下页 返回 结束 0620123zyyx的交点为P，求平面上过点P且垂直于直线L的直线方 程。;6120z,xy可得，令kjis03112021,3,的参数方程为得L62123tztytx2022-12-230743zyx求交点P：L:机动 目录 上页 下页 返回 结束 0620123zyyx，将参数方

10、程代入平面，得5t，的坐标为则交点4)5,(3,P求过点P且垂直L的平面1：，0)42()5()3(3zyx，即02223zyx联立，1得所求直线：0.22230743zyxzyx21,3,s2022-12-2313101:zyxL解：解：改写L：在过直线的所有平面中找出 练习练习2.机动 目录 上页 下页 返回 结束 一个平面，使它与远点的距离最远。0201zyx过L面束0)1(2xzy0)(2zyx即原点到此平面的距离1122d22222222df令求此f 的极值，可得maxd时1所以符合条件的平面为.zyx032022-12-23)1,2,1(A,11231:1zyxLiL设直线解：解：

11、,2上在因原点LO12:2zyxL相交,求此直线方程.的方向向量为过 A 点及 的平2L面的法向量为则所求直线的方向向量方法方法1 利用叉积.),2,1(isi,n,1nss所以OAsn2121112kjikji333一直线过点 且垂直于直线 又和直线参考题参考题nOA2L2s机动 目录 上页 下页 返回 结束 2022-12-23)1,2,1(A,11231:1zyxL解：解：12:2zyxL相交,求此直线方程.方法方法1 一直线过点 且垂直于直线 又和直线参考题参考题nOA2L2s机动 目录 上页 下页 返回 结束 512231zyx待求直线的方向向量故所求直线方程为 nss1333123

12、kji)523(3kji2022-12-23)1,2,1(A,11231:1zyxL12:2zyxL相交,求此直线方程.一直线过点 且垂直于直线 又和直线参考题参考题机动 目录 上页 下页 返回 结束 设所求直线与的交点为12000zyx0000,2yzyx方法方法2 利用所求直线与L2 的交点.即2L),(000zyxB则有2L)1,2,1(A),(000zyxB0)1()2(2)1(3000zyx而)1,2,1(000zyxAB1L2022-12-2378,716,78000zxy512231zyx0000,2yzyx将代入上式,得由点向式得所求直线方程)5,2,3(73)715,76,79(AB2L)1,2,1(A),(000zyxB机动 目录 上页 下页 返回 结束)1,2,1(A,11231:1zyxL12:2zyxL相交,求此直线方程.一直线过点 且垂直于直线 又和直线参考题参考题方法方法2.