极值点偏移(精品)

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1、极值点偏移(部分)极值点偏移问题的两种常见解法之比较在高考导数压轴题中，不断出现极值点偏移问题，那么，什么是极值点偏移问题？参考陈宽宏、邢友宝、赖淑明等老师的文章，极值点偏移问题的表述是：已知函数y = f (x)是连续函数，在区间(X ,x )内有且只有一个极值点x ,且f (x )二f (x )，若极值点左右的“增1 2 0 1 2x + x减速度”相同，常常有极值点x =T 2，我们称这种状态为极值点不偏移；若极值点左 02x +x右的“增减速度”不同，函数的图象不具有对称性，常常有极值点x2的情况，我们02称这种状态为“极值点偏移”.极值点偏移问题常用两种方法证明：一是函数的单调性，若

2、函数f (x)在区间(a,b)内单调递增，则对区间(a,b)内的任意两个变量x、x，f (x ) f (x ) o x x ；若函数1 2 1 2 1 2f(x) 在区 间 (a,b) 内 单调递减， 则 对区间 (a,b) 内 的任意两个变量 x、 x ，12f W 3 二是利用“对数平均不等式”证明，什么是“对数平均”？什么又是“对数平均不等式”？a - b7,a 丰 b,两个正数a和b的对数平均数定义:L(a, b) = In a In ba, a = b,对数平均数与算术平均数、几何平均数的大小关系是：、丽 L(a, b) 0时，显然等号成立ii)当a丰b 0时，不妨设a b 0，a

3、ba b、a：ad先证x/ab ，要证vab ，只须证：In 1，只须证：2ln x 1，则 f(x) = 1 = 一一 0，所以 f (x)xxx 2x 2在(1,+s)内单调递减，所以 f (x) f (1) = 0，即 2ln x x -，x故、沁b a - bIn a - In b再证：a - b a + bln a - ln b2要证：a - b a + b1，则只须证：x+! 丁 只须证1-XTi 1x 1，则 gQ)二2-丄= 2 0(x +1)22 x2 x( x +1)22 ln x所以g (x)在区间(X)内单调递减，所以g (x) g(1)=0，即1-芮 o,b 0时皿

4、L(a,b) 字例1 (2016年高考数学全国理科第21题)已知函数f (x) = (x - 2)ex + a (x -1)2有两个零点(口)求a的取值范围；(口)设x ,x是f (x)的两个零点，证明：x + x 2 .(附解答)1 2 1 2例2 (2011年高考数学辽宁卷理科第21题)已知函数f (x)二In x - ax2 + (2 - a)x(I) 讨论函数f (x)的单调性；(II) 若曲线y = f (x)与x轴交于A、B两点，A、B中点的横坐标为x ,证明:0f(xo) 0 (附解答)1 x例3 (2014年高考数学湖南卷文科第21题)已知函数f (x)= ex1 + X 2(

5、I) 求函数f (x)的单调区间；(II) 当f (片)二f (柑)，丰x2时，求证：x+ x2 0 (附解答)例4 (2014年江苏省南通市二模第20题)设函数f (x)二ex - ax + a (a g R),其图象与x轴交于 A(x ,0), B(x ,0)两点，且 x x .1 2 1 2(I) 求实数a的取值范围；(II) 证明：广(：花) 0(f(x)为函数f (x)的导函数)(附解答)总结从以上四个例题可以看出两种方法解决的问题相同即若xi, x是函数f(x)的两个零点，而x二x是函数f (x)的极值点，证明x + x 2x)，根据函数单0 1 2 0 1 2 0调性求解的步骤是

6、：一、构建函数h(x)二f (x) f (2x - x)，二、判断函数h(x)的单调性，0三、证明 h(x) 0 (或h(x) f (2x x)(或f (x) f (2x x)，四、故00函数f (x)的单调性证x + x 2x ) 根据对数平均不等式求解的步骤是: 1 2 0 1 2 0一、通过等式两边同取自然对数或相减等配凑出Inx Inx 及x x，二、通过等式两边 1 2 1 2x xx x同除以Inx Inx构建对数平均数| i ，三、利用对数平均不等式将| i 转12ln x ln xln x ln x1 2 1 2x + x化为1 c 2后再证明x + x 2 x)两种方法各有优

7、劣，适用的题型也 2 1 2 0 1 2 0略有差异，考生若能灵活驾驭这两种方法，便能在考场上发挥自如，取得理想的成绩我们称之为极值点左偏。 x ；右偏12 2 【分类二】按极值点偏移的处理方法分分为两类：纯偏移，非纯偏移.【类型一】纯偏移型函 数 F(x)二 f (x) - f (2x - x)或是o纯偏移的处理策略为：构造F (x)二 f (x + x) - f (x - x).oo例题1.已知函数f (x)二xe-x(x G R).(1) 求函数f(x)的单调区间和极值；(2) 已知函数y=g(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于直线x=1对称，证明：当x1时,f(x)g(x);(3)

8、 若x 丰 x，且 f(x )=f(x ),证明：x + x 2.1 2 1 2 1 2练习.已知函数 f (x) = lnx 一 ax2 + (2 一 a)x .(1) 讨论f (x)的单调性；(2) 设a0，证明：当0 x f ( x)；a a a(3) 若函数y = f (x)的图像与x轴交于A, B两点，线段AB中点的横坐标为x0, 证明：f (x0)VO.1 x 例题2.已知函数f (x) =ex .1 + X 2(1)求函数f (x)的单调区间；证明：若 x 丰 x2，且 f( xi)=f( x2)时则 xi + x2.练习.已知函数f (x)二ex ax + a,a g R，其中

9、图像与x轴交于A( x ,0), B (,0 ),且x x .12求a的取值范围；(2)证明：fC平;)0；x 1(3)设点C在函数y = f (x)的图像上，且AABC为等腰直角三角形，记,- = t，求x 1 1(a-1) (t-1)的值.课后总结】 纯极值点偏移的处理步骤1.构造一元差函数F(x)二 f (x) - f (2x - x)或是 F(x)二 f (x + x) - f (x - x)；o o o2对差函数F(x)求导，判断单调性；3.结合F(0)=0,判断F(x)的符号，从而确定f (x0 + x)与f (x0 - x)的大小关系;4.由 f (xi) - f (x2)- f x0-(x0 - x2)f x0 + (x0 - x2) = f (2x0 - x)的大小关系，得到f (和f (2x - x)，(横线上为不等号)；10x + x5结合f(x)单调性得到xi _2x0 - x2 _，进而得到十严x0.厶三、课后作业已知函数 f (x) = a In x - x2 (1) 讨论函数f (x)的单调性；(2) 当a=2时，函数h(x)=f(x)-mx的图像与x轴交于两点A(x0 )， B( x?,。)，且0 x x，又h(x)是h(x)的导函数，若正常数a,卩满足条件么+卩=1，卩na, 12证明：h(ax +Px ) 0 12