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1、第九章第九章 能量法能量法Energy method 9.1 概述9.2 应变能 余能9.3 卡氏定理9.4 能量法解超静定系统9.5 虚位移原理及单位力法9.1 概述概述能量法能量法:固体力学中，把一个和功、能的概念有关的理论和方法统称为能量法能量法 恒力功恒力功:9.2 应变能 余能1 功功:力作用于物体，力在其作用方向上发生位移，则该力作用于物体，力在其作用方向上发生位移，则该力对物体做了功力对物体做了功ABduFW1PFW变形功变形功:FFPF110FdW在线弹性范围内在线弹性范围内广义力广义力 广义位移广义位移 FfFW21轴向拉伸时外力做功lFWN21扭转时外力做功TW21弯曲时外
2、力做功MW21应变能密度：应变能密度：单位体积内积蓄的应变能10vdW若微元各边分别为若微元各边分别为dzdydx,dxdydzvdVdxdydzvVVVvV若整个体积内若整个体积内 相同相同v根据能量守恒定律。贮存在物体中的应变能根据能量守恒定律。贮存在物体中的应变能 等于外力在物等于外力在物体变形过程中所做的功体变形过程中所做的功W。VABFduWVNF三三 卡氏第一定理卡氏第一定理niiiidfWV10为最后位移 的函数ViiidVdViidFdWdVdW 由于iiVF12n3AB1F2F3FnF由于 改变了 ，外力功相应改变量为iidoF1F110FcdFW与外力功 之和等于矩形面积1
3、1F10FdW与余功相应的能称为余能10FccdFWVVccdVvV10dvcoF1F1o1111nKn试计算图示结构在荷载 作用下的余能，结构中两杆的长度均为 ，横截面面积均为A材料在单轴拉伸时的应力应变曲线如图所示。1FlB1FDC 解：由结点C的平衡方程，可得两杆的轴力为cos21FFNcos211AFAFNnK1100cos21111nnncAFnKdKdv于是两杆横截面上的应力为由于轴向拉伸杆内各点应变状态均相同，因此，结构在荷载作用下的余能为由非线性弹性材料的应力应变关系曲线可得余能密度为11cos122nnnccFnKAlAlvVniFiiiccdfWV10iicdFdWiFii
4、ccdFFVdV12n3AB1F2F3FnFiFidFccdWdV iciFVVVciiFVo1111nKn1FlB1FDC cos21FFNcos211AFAFNnK1100cos21111nnncAFnKdKdv11cos122nnnccFnKAlAlvViciFV五 能量法解超静定1.简单超静定问题及其解法 未知力个数等于独立的平衡方程数目,则仅由平衡方程即可解出全部未知力,这类问题称为,相应的结构称为.未知力个数多于独立的平衡方程数目,则仅由平衡方程无法确定全部未知力,这类问题称为,相应的结构称为 所有超静定结构,都是在静定结构上再加一个或几个约束,这些约束对于特定的工程要求是必要的,
5、但对于保证结构平衡却是多余的,故称为多余约束.未知力个数与平衡方程数之差,称为超静定次数或静不定次数.求解超静定问题,需要综合考察结构的三个方面.lBAq一铰接结构如图示,在水平刚性横梁的B端作用有载荷F垂直杆1,2的抗拉压刚度分别为E1A1,E2A2,若横梁AB的自重不计,求两杆中的内力.aABL112CaFaABCaF1NF2NF0AM12220NNF aFaFa212LL变形协调方程2221112AELFAELFNN11221412AEAEFFN2211244AEAEFFNo1111nKnFlBFDA Ccos221XFFFNNcos2121AFAFNnK100cos21111nnncAXFnKdKdv1coscos221nnncAXAXFnKAlVBFDA CX0XVcDBDAC2a2aqeMBDAC2a2aXqeM这种以力为基本未知量，把它的求解当作关键性问题的方法称为
第九章能量法与超静定结构
