《机器人动力学》PPT课件.ppt

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1、1 牛顿 欧拉运动方程 拉格朗日动力学 关节空间与操作空间动力学 前面我们所研究的机器人运动学都是在稳态下进行 的，没有考虑机器人运动的动态过程。实际上，机器人 的动态性能不仅与运动学相对位置有关，还与机器人的 结构形式、质量分布、执行机构的位置、传动装置等因 案有关。机器人动态性能由动力学方程描述，动力学是 考虑上述因素，研究机器人运动与关节力 (力矩 )间的动 态关系。描述这种动态关系的微分方程称为机器人动力 学方程。机器人动力学要解决两类问题： 动力学 正问题 和 逆问题 。 动力学正问题 是 根据关节驱动力矩或力，计算机器人 的运动 (关节位移、速度和加速度 )； 动力学逆问题 是 已

2、知轨迹对应的关节位移、速度和加 速度，求出所需要的关节力矩或力。 不考虑机电控制装置的惯性、摩擦、间隙、饱和等因素时 ， n 自由度机器人动力方程为 n个二阶耦合非线性微分方程。 方程中包括惯性力 /力矩、哥氏力 /力矩、离心力 /力矩及重力 / 力矩，是一个耦合的非线性多输入多输出系统。对机器人动力 学的研究，所采用的方法很多，有拉格朗日 (Lagrange)方法、 牛顿一欧拉 (Newton Euler)、高斯 (Gauss)、凯恩 (Kane)、旋 量对偶数、罗伯逊一魏登堡 (Roberson Wittenburg)等方法。 研究机器人动力学的目的是多方面的 。 动力学正问题与机器人的仿

3、真有关； 逆问题是为了实时控制的需要，利用动力学模型，实现 最优 控制，以期达到良好的动态性能和 最优 指标 。 在设计中 需根据连杆质量、运动学和动力学 参数 、传动机构特征和负 载大小进行动态仿真，从而决定机器人的结构参数和传动方 案，验算设计方案的合理性和可行性，以及结构优化程度 。 在离线编程时，为了估计机器人高速运动引起的动载荷 和路径偏差，要进行路径控制仿真和动态模型仿真 。 这些都 需要以机器人动力学模型为基础 。 研究机器人动力学的目的 5.1 机器人静力学 机器人静力学研究机器人静止或者缓慢运动时作用在手臂 上的力和力矩问题，特别是当手端与外界环境有接触力时，各 关节力矩与接

4、触力的关系。 下图表示作用在机器人手臂杆件 i上的力和力矩。其 i-1fi 为杆件 i-1对杆 i的作用力， -ifi+1为杆 i+1对杆 i的作用力， i- 1Ni为杆件 i-1对杆 i的作用力矩， -iNi+1为杆 i+1对杆 i的作用力 矩， ci为杆 i质心。 作用在杆 i的 力和力矩 根据力、力矩平衡原理有 5.2 机器人动力学正问题 机器人动力学正问题研究机器人手臂在关节力 矩作用下的动态响应。其主要内容是如何建立机器 人手臂的动力学方程。建立机器人动力学方程的方 法有牛顿 欧拉法和拉格朗日法等。 1、牛顿 欧拉法方程 在考虑速度与加速度 影响的情况下，作用在机 器人手臂杆 i上的

5、力和力 矩如右图所示。其中 vci 和 i分别为杆 i质心的平 移速度向量和此杆的角速 度向量。 根据力、力矩平衡原 理有 : 5-1 5-2 称 5-1为牛顿方程， 5-2为欧拉方程。 其中 Ii为杆 i绕其质心的惯性张量 2、 拉格朗日方程 牛顿一欧拉运动学方程是基于牛顿第二定律和欧拉 方程，利用达朗伯原理，将动力学问题变成静力学问题求 解。该方法计算快。拉格朗日动力学则是基于系统能量的 概念，以简单的形式求得非常复杂的系统动力学方程，并 具有显式结构，物理意义比较明确。 (1) 拉格朗日函数 对于任何机械系统，拉格朗日函数 L定义为系统总的 动能 Ek与总的势能 Ep之差，即 : ( ,

6、 ) ( , ) ( )kpL q q E q q E q 12 nq q q q 12 nq q q q 表示动能与势能的广义坐标 相应的广义速度 (2) 机器人系统动能 在机器人中，连杆是运动部件，连杆 i的动能 Eki为 连杆质心线速度引起的动能和连杆角速度产生的动能 之和，即 : 11 22 T i Ti i k i i c i c i i i iE m I 1 n k k i i EE 1( , ) ( ) 2 T kE q q q D q q 系统的动能为 n个连杆的动能之和，即： 由于 和 是关节变量 和关节速 度 的函数，因此，从上式可知，机器人 的动能是关节变量和关节速度的标

7、量函数，记 为 ，可表示成： 1 ( , ) ( ) 2 T kE q q q D q q ci i i q q ( , )kE q q 式中， 是 nxn阶的机器人惯性矩阵 ()Dq 3机器人系统势能 设连杆 i的势能为 ，连杆 i的质心在 O坐标系中的位 置矢量为 ，重力加速度矢量在坐标系中为 g，则： 机器人系统的势能为各连杆的势能之和，即： 它是 q的标量函数。 T pi i c iE m g p 1 n pi pi i EE piE cip 4拉格 朗 日方程 系统的拉格朗日方程为： 上式又称为拉格朗日 欧拉方程，简称 L E方程。式 中， 是 n个关节的驱动力或力矩矢量，上式可写成

8、： pkk EEEd d t q q q d L L d t q q 例 平面 RP机器人如图所示，连杆 l和连杆 2的质量 分别为 m1和 m2，质心的位置由 l1和 d2所规定，惯量 矩阵为： 1 1 11 1 00 0 00 xx yy zz I I I i I 2 2 22 2 00 0 00 xx yy zz I I I i I (1) 取坐标，确定关节变量和驱动力或力矩 建立连杆 D-H坐标系如上图所示，关节变量为 1+ /2 为求解方便，此处取关节变量为 1和 d2，关节驱动力矩 l 和力 f2。 (2)系统动能 由式 (1)，分别得 2 2 2 1 1 1 1 1 1 11 2

9、2k y y E m l I 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 11() 22k y yE m d d I 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 2 11() 22k y y y y E m l I I m d m d 11 22 T i Ti i k i i c i c i i i iE m I 1 总动能为： (3)系统势能 因为： 0 0 Tgg 1 1 1 1 1 0 Tcp l c l s 1 1 1 1 1 1 T pcE m g p m gl s 2 2 2 2 2 1 T pcE m g p m gd s 1 1 2 2 1()pE g m l m d s

10、则： 总势能为： 22 1 1 1 2 2 2 1 22 () y y y yk m l I I m dE q md 2 2 2 1 0 kE mdq 1 1 2 2 1 21 ()pE g m l m d c g m sq (4)偏导数 22 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 ( ) 2 ( )y y y ym l I I m d m d d g m l m d c m d m d m g s (5)拉格朗日动力学方程 将偏导数代入拉格朗日 方程，得到平面 RP机器人的 动力学方程的封闭形式： pkk EEEd d t q

11、 q q 拉格朗日方程 2 ( ) ( , ) ( )D q q H q q G q 22 1 1 1 2 2 2 2 0() 0 y y y ym l I I m dDq m 2 2 1 2 2 2 2 1 2( , ) m d dH q q md 1 1 2 2 1 21 ()() m l m d gcGq m gs (1)关节空间动力学方程 将式 2写成矩阵形式： 3、关节空间与操作空间动力学 式中 3 式 (3)为机器人在关节空间中的动力学方程封闭 形式的一般结构式。它反映了关节力或力矩与关节变 量、速度和加速度之间的函数关系。对于 n个关节的 机器人， 是 n n正定对称矩阵，是 q

12、的函数，称 为机器人惯性矩阵； 是 n 1的离心力和哥氏力 向量； 是 n 1重力矢量，与机器人的形位 q 有关。 ()Dq ( , )H q q ()Gq ( ) ( , ) ( )x x xF M q x U q q G q 2操作空间动力学方程 与关节空间动力学方程相对应，在笛卡尔操作空间中， 操作力 F与末端加速度 之间的关系可表示为： x ()xMq ( , )xU q q ()xGq 操作空间中的惯性矩阵 离心力和哥氏力矢量 重力矢量 xF 广义操作力矢量 机器人末 端位姿向量 ()TJ q F ()x J q q ( ) ( ) ( ) ( , )rx J q q J q q J

13、 q q a q q ( ) ( ) ( ) ( )T xD q J q M q J q ( , ) ( ) ( , ) ( ) 9 ) ( , )TT xrH q q J q U q q J q q a q q ( ) ( ) ( )T xG q J q G q 由上一章可知，广义操作力和关节力之间的关系为： 操作空间与关节空间之间的速度与加速度的关系： 比较关节空间与操作空间动力学方程，可以得到： ( ) ( ) ( , ) ( ) T x x xJ q M q x U q q G q 3关节力矩 操作运动方程 机器人动力学最终是研究其关节输入力矩与其输出 的操作运动之间的关系由式 (4)和 (5)，得 (6) ： ( ) ( , ) ( )x x xF M q x U q q G q ()TJ q F 4 5 6 式 (6)反映了输入关节力与机器人运动之间的关系。 思考题 1 什么是拉格朗日函数？ 简述用拉格朗日方法建立机 器人动力学方程的步骤。