高数函数的极值与最大最小值课件.ppt

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1、1 第五节 函数的极值与最大 最小值 一、函数极值的定义 二、函数极值的求法 三、最大值最小值问题 四、小结 作业 2 一、函数极值的定义 o x y a b )(xfy 1x 2x 3x 4x 5x 6x o x y o x y 0 x 0 x 3 函数的极大值与极小值统称为 极值 ,使函数取得 极值的点称为 极值点 . 定义 设函数 f (x0) 在点 x0 的某邻域 U(x0) 内有 定义 , 如果对于去心邻域 U (x0)内的任一 x, 有 f (x) f(x0), 那么就称 f (x0) 是函数 f (x) 的一个 极大值 (或 极 小值 ). o 4 1x 2x 3x 4x 5x

2、6x 函数的极大值、极小值 是 局部性 的 . 在一个区间内 , 函数可能存在许多个极值 , 最大值与最小值 , 有的极小值可能大 于某个极大值 . 只是 一点附近 的 x y Oa b )( xfy 5 .)( )0)( 的驻点做函数 叫的实根即方程使导数为零的点 xf xf 二、函数极值的求法 设 )( xf 在点 0 x 处具有导数 , 且 在 0 x 处取得极值 , 那末必定 0)( 0 xf . 定理 1(必要条件 ) 定义 注意 : . ,)( 是极值点但函数的驻点却不一定 点的极值点必定是它的驻可导函数 xf 例如 , ,3xy ,00 xy .0 不是极值点但 x 6 (1)

3、如果 ),( 00 xxx 有 ;0)( xf 而 ),( 00 xxx , 有 0)( xf ，则 )( xf 在 0 x 处取得极大值 . (2) 如果 ),( 00 xxx 有 ;0)( xf 而 ),( 00 xxx 有 0)( xf ，则 )( xf 在 0 x 处取得极小值 . (3) 如果当 ),( 00 xxx 及 ),( 00 xxx 时 , )( xf 符号相同 , 则 )( xf 在 0 x 处无极值 . 定理 2(第一充分条件 ) 设 f (x) 在 x0 处 连续 , 且 在 x0 的某去心邻域内可导 . x y o x y o0 x 0 x (是极值点情形 ) 7

4、x y o x y o0 x 0 x (不是极值点情形 ) 注意 :函数的不可导点 ,也可能是函数的极值点 . 例 y=|x| 极小值点 x=0 但 x=0是 y=|x|的不可导点 . 驻点和不可导点统称为 可疑极值点 8 求极值的步骤 : );()1( xf 求导数 ; ,)()3( 判断极值点 的正负号在驻点和不可导点左右检查 xf ;0)()2( 的根求驻点，即方程 xf以及不可导点； (4) 求出各极值点的函数值 , 就得函数 f (x)的全部极值 . 9 例 解 .593)( 23 的极值求出函数 xxxxf 963)( 2 xxxf ，令 0)( xf .3,1 21 xx得驻点

5、列表讨论 x )1,( ),3( )3,1(1 3 )(xf )(xf 0 0 极 大 值 极 小 值 )3(f极小值 .22)1( f极大值 ,10 )3)(1(3 xx 10 例 . 求函数 的极值 . 解 : 1) 求导数 32)( xxf 3132)1( xx 3 5235 xx 2) 求极值可疑点 令 ,0)( xf 得 ;521 x 令 ,)( xf 得 02 x 3) 列表判别 x )(xf )(xf 0 520 0 33 20 25 )0,( ),0( 52 ),( 52 是极大点， 其极大值为 是极小点， 其极小值为 11 例 解 .)2(1)( 3 2 的极值求出函数 xx

6、f )2()2(32)( 3 1 xxxf .)(,2 不存在时当 xfx 时，当 2x ;0)( xf 时，当 2x .0)( xf .)(1)2( 的极大值为 xff .)( 在该点连续但函数 xf M 12 设 )( xf 在 0 x 处具有二阶导数 , 且 0)( 0 xf , 0)( 0 xf , 那末 (1) 当 0)( 0 xf 时 , 函数 )( xf 在 0 x 处取得极大值 ; (2) 当 0)( 0 xf 时 , 函数 )( xf 在 0 x 处取得极小值 . 定理 3(第二充分条件 ) 证 )1( x xfxxfxf x )()(lim)( 00 00 ,0 异号，与故

7、 xxfxxf )()( 00 时，当 0 x )()( 00 xfxxf 有 ,0 时，当 0 x )()( 00 xfxxf 有 ,0 所以 ， 函数 )( xf 在 0 x 处取得极大值 同理可证 (2). 13 例 解 .20243)( 23 的极值求出函数 xxxxf 2463)( 2 xxxf ，令 0)( xf .2,4 21 xx得驻点 )2)(4(3 xx ,66)( xxf )4(f ,018 )4( f故极大值 ,60 )2(f ,018 )2(f故极小值 .48 14 注 ,0)( 0 时 xf 仍用第一充分条件 定理 3(第二充分条件 )不能应用 . 事实上 , ,0

8、)( 0 xf当 ,0)( 0 时 xf 处在点 0)( xxf 可能有极大值 ,也可能有极小值 , 也可能没有极值 . 如 , ,)( 41 xxf ,)( 42 xf 33 )( xxf 在 x=0处 分别属于上述三种情况 . 15 例 2. 求函数 的极值 . 解 : 1) 求导数 ,)1(6)( 22 xxxf )15)(1(6)( 22 xxxf 2) 求驻点 令 ,0)( xf 得驻点 1,0,1 321 xxx 3) 判别 因 ,06)0( f 故 为极小值 ; 又 ,0)1()1( ff 故需用第一判别法判别 . 1 x y 1 16 定理 4 (判别法的推广 ) 若函数 在

9、的邻域 0()x 内， ( 1 ) ()nfx 存在且有界 , ,0)( 0)( xf n 则 : 1) 当 为偶数时 , n 是极小点 ; 是极大点 . 2) 当 为奇数时 , n 为极值点 , 且 不是极值点 . )()()( 000 xxxfxfxf nn xx n xf )( ! )( 00 )( )( 0 nxxo 当 充分接近 时 , 上式左端正负号由右端第一项确定 , 故结论正确 . 证 : 利用 在 点的泰勒公式 , 可得 17 例如 , 例 2中 ,)35(24)( 2 xxxf 0)1( f 所以 不是极值点 . 极值的判别法 ( 定理 2 定理 4 ) 都是充分的 . 说

10、明 : 当这些充分条件不满足时 , 不等于极值不存在 . 例如 : 2)0( f 为极大值 , 但不满足定理 1 定理 3 的条件 . x y 11 18 三、最大值最小值问题 o x y o x y ba o x y a b a b .,)( , ,)( 在上的最大值与最小值存在 可知性质由闭区间上连续函数的 有限个导数为零的点，处处可导，并且至多有 上连续，除个别点外在假设函数 baxf baxf 19 求最大值最小值的步骤 : 1. 求驻点和不可导点 ; 2. 求区间端点及驻点和不可导点的函数值 ,比 较大小 , 其中最大的就是 f(x)在区间 a, b上 的 最大值 , 最小的就是最小

11、值 . 20 特别注意 : 当 在 内只有一个极值可疑点时 , 当 在 上 单调 时 , 最值必在端点处达到 . 若在此点取极大 值 , 则也是最大 值 . (小 ) 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的 可疑点是否为最大值点或最小值点 . (小 ) 21 解 例 求函数 xexxf |2|)( 在闭区间 0,3上的 最大值与最小值 . 先求出驻点与不可导点 不可导点： 2x 20,)1()2( 32,)1()2()( xexexe xexexexf xxx xxx 令 0)( xf 得驻点 1x 比较不可导点，驻点以及区间端点的函数值： ,2)0( f ,)1( ef ,0)2( f

12、 .)3( 3ef 最大值为： ,)3( 3ef 最小值： .0)2( f 22 实际问题求最值应注意 : (1)建立目标函数 ; (2)求最值 ; 小）值值即为所求的最（或最 点，则该点的函数若目标函数只有唯一驻 23 ( k 为某一常数 ) 例 4. 铁路上 AB 段的距离为 100 km , 工厂 C 距 A 处 20 AC AB , 要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条 已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5 , 为使货 D 点应如何选取 ? 20 A B 100 C 解 : 设 ,(k m )xAD x 则 ,20 22 xCD ,)3400 5( 2 xxky 23)400

13、( 4005 2x ky 令 得 又 所以 为唯一的 15x 极小点 , 故 AD =15 km 时运费最省 . 总运费 物从 B 运到工厂 C 的运费最省 , 从而为最小值点 , 问 D Km , 公路 , 24 例 5. 光线在介质中总是沿着耗时最少的路径传播 .一束 光线由空气中 A点经过水面到达 B点 ,已知光在空气 中和 水中的传播速度分别为 1v 和 2,v 试确定光线传播的路径 . x 1 2 o A B C1h 2h 解 : 建立坐标系 (如图 ), 光从 A点到 B点所需的时间为 D 25 又 在 0, l上连续 , 由介值定理 , 在 (0, l)内存在 唯一的零点 且 是

14、 在 (0, l)内的唯一极小值点 , 从而也是 0, l上的最小值点 . 而由 得 于是 （ 折射定律 ） 26 例 6. 把一根直径为 d 的圆木锯成矩形梁 , 问矩形截面 的高 h 和 b 应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大 ? 解 : 由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为 h b d ,)( 2261 bdb ),0( db 令 )3( 2261 bdw 得 db 31 从而有 1:2:3: bhd 22 bdh d 32 即 由实际意义可知 , 所求最值存在 , 驻点只一个 , 故所求 结果就是最好的选择 . 27 用开始移动 , F 例 7. 设有质量为 5 kg 的物体置于水平面

15、上 , 受力 作 P 解 : 克服摩擦的水平分力 正压力 c o sF )s in5( Fg 即 ,si nc o s 5 gF ,0 2 令 s i nc o s)( 则问题转化为求 )( 的最大值问题 . 为多少时才可使力 设摩擦系数 问力 与水平面夹角 的大小最小 ? 28 s i nc o s)( 令 解得 ,0)( 而 因而 F 取最小值 . 解 : F P 即 令 则问题转化为求 的最大值问题 . ,si nc o s 5 gF ,0 2 s i nc o s)( )( 29 清楚 (视角 最大 ) ? 观察者的眼睛 1.8 m , 例 8. 一张 1.4 m 高的图片挂在墙上 ,

16、 它的底边高于 x 4.1 8.1 解 : 设观察者与墙的距离为 x m , 则 x 8.14.1a r c t a n ,8.1arct an x ),0( x 22 2.3 2.3 x 22 8.1 8.1 x )8.1)(2.3( )76.5(4.1 2222 2 xx x 令 ,0 得驻点 ),0(4.2 x 根据问题的实际意义 , 观察者最佳站位存在 , 唯一 , 驻点又 因此观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚 . 问观察者在距墙多远处看图才最 30 四、小结 注意最值与极值的区别 . 最值是整体概念而极值是局部概念 . 实际问题求最值的步骤 . 极值是函数的局部性概念 :极

17、大值可能小于极小 值 ,极小值可能大于极大值 . 驻点和不可导点统称为 可疑极值点 . 函数的极值必在 可疑极值点 取得 . 判别法 第一充分条件 ; 第二充分条件 ; (注意使用条件 ) 31 思考与练习 1. 设 ,1)( )()(l i m 2 ax afxfax 则在点 a 处 ( ). )()( xfA 的导数存在 , ；且 0)( af )()( xfB 取得极大值 ; )()( xfC 取得极小值 ; )()( xfD 的导数不存在 . B 提示 : 利用极限的保号性 . 32 2. 设 )(xf 在 0 x 的某邻域内连续 , 且 ,0)0( f ,2c o s1 )(lim 0 x xf x 则在点 0 x 处 ).()( xf (A) 不可导 ; (B) 可导 , 且 ;0)0( f (C) 取得极大值 ; (D) 取得极小值 . D 提示 : 利用极限的保号性 . 33 3. 设 )( xfy 是方程 042 yyy 的一个解 , 若 ,0)( 0 xf 且 ,0)( 0 xf 则 )(xf 在 )(0 x (A) 取得极大值 ; (B) 取得极小值 ; (C) 在某邻域内单调增加 ; (D) 在某邻域内单调减少 . 提示 : 0)(4)( 00 xfxf A 34 作业 P162 1 (4), (5); 2 ; 3 ; 4； 5 ; 15