矩阵的条件数课件.ppt

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1、第二章 向量范数与矩阵范数 2.4 矩阵的条件数 考虑线性方程组 它有准确解为 : 如果方程组的系数矩阵以及右端项发生微小的 变化，得 它有准确解 : ，可以看出，方程 组的解变化非常大。 1 2 2 6 8 2 6 .0 0 0 0 1 8 .0 0 0 0 1 x x (1,1) Tx 1 2 2 6 8 2 5.99 999 8.00 002 x x (1 0 , 2 ) Tx 定义 1： 设 ， |.|是 Cnxn上的一个矩 阵范数 .矩阵 A的 条件数 定义为 nn nAC 1c o n d ( )A A A 矩阵的条件数 常用的条件数有： -条件数： 1-条件数： 2-条件数： 1

2、c ond ( )A A A 矩阵的条件数 1 1 1 1c ond ( )A A A 1 1 2 2 2 1 c on d ( ) ( ) n H H n A A A AA AA 是 的 最 大 特 征 值 ， 是 的 最 小 特 征 值 常用的条件数有： 特别地，当 A是一个正规矩阵时， 矩阵的条件数 11 2 2 2 1 c ond ( ) ( m a x , m in , ) n i n i i A A A A = 是 的 特 征 值 例 1： 设 求 A的条件数 矩阵的条件数 c o n d ( )A 1 2 3 2 3 3 3 4 5 A 矩阵条件数的性质： (1) 矩阵的条件数

3、(2) c o n d ( ) 1A (3) 1c o n d ( ) = c o n d ( )AA (4)当 U是酉矩阵时，则 c o n d ( ) = c o n d ( ) , 0 , .k A A k k C 2 2 2 2 c o n d ( ) = 1 c o n d ( ) = c o n d ( ) = c o n d ( ) U U A A U A (5)当 A、 B是可逆矩阵时，则 c o n d ( ) c o n d ( ) c o n d ( )A B A B n阶 Hilbert矩阵 矩阵的条件数 11 1 2 1 1 1 1 2 3 1 1 1 1 1 1 2

4、 1 nn n H n ij n n n 4 24 7 26 10 28 c o n d ( H ) = 1 .5 5 1 4 1 0 c o n d ( H ) = 1 .4 9 5 1 1 0 c o n d ( H ) = 1 .5 2 5 1 0 Hilbert矩阵常常出现在数据拟合和函数逼近的研 究中 . 1.若条件数 cond(A)较小（接近 1），就称 A关于求逆矩阵或解线性方程组为 良态的 或 好条件的 . 误差估计中的应用 2.若条件数 cond(A)较大，就称 A关于求逆 矩阵或解线性方程组为 病态的 或 坏条件 的 . 注： cond(A)多大 A算病态，通常没有具体的

5、定量标准； 注： 当矩阵 A十分病态时，就说明 A已十分接 近一个奇异矩阵。 误差估计中的应用 26 2 6 .0 0 0 0 1 A de t( ) 0. 00 00 2A 1 3 0 0 0 0 0 .5 3 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 A 1 6 c on d ( ) 8. 00 00 1 60 00 00 .5 4. 8 10 A A A 1.对求矩阵的逆的过程中产生的相对误差 的影响 误差估计中的应用 定理 1 设 是一个可逆矩阵， 是一个矩阵， |.| 是 Cnxn上的一个矩阵范数 . 若 则 可逆，且有 1 1 1 11 () 1 A A

6、A A A A A A 1 1AA nn nAC nnAC AA 1.对求矩阵的逆的过程中产生的相对误差 的影响 误差估计中的应用 推论 1 设 ， 若存在 Cnxn上的一个矩阵范数 |.| 使得 则有 11 1 () c o n d ( ) 1 c o n d ( ) ( ) A A A AA A AA A A 1 1AA nn nAC nnAC 2.在解线性方程组 Ax=b时系数矩阵 A和向 量 b的数据误差对解的误差的影响 误差估计中的应用 定理 2 设 ， ， 而 Cn上的向量范数 与 Cnxn上的矩阵范 数 |.| 相容 .设 x是线性方程组 Ax=b的解， 是 线性方程组 的解 若

7、 ，则 x nn nAC nnAC nbC ()A A x b b 1 1AA 2.在解线性方程组 Ax=b时系数矩阵 A和向 量 b的数据误差对解的误差的影响 误差估计中的应用 c ond ( ) 1 c ond ( ) ( ) c ond ( ) 1 c ond ( ) ( ) xx AA AxA A A bA A b A A 2.在解线性方程组 Ax=b时系数矩阵 A和向 量 b的数据误差对解的误差的影响 误差估计中的应用 定理 3 设 ， ， 而 Cn上的向量范数 与 Cnxn上的矩阵范 数 |.| 相容 .若向量 分别满足 Ax=b， ，则有 , nx x C nn nAC , nb

8、 r C A x b r 1 c o n d ( ) c o n d ( ) r x x r A A b x b 例 2.设 证明对任意范数，当 时有 .因而矩阵 A是病态的 . 误差估计中的应用 0 11 ,0 11 A 1c o n d ( ) ( )AO 例 3.设 为使线性方程组 Ax=b的解 x与 的解 的相对误差 ，试问 应不超过何值？ 误差估计中的应用 3 3 3 10 0 , , 0 01 i A i i A C b C i ()A A x b x 42 2 10 xx x 2 2 A A 1.设 ， 求 A的条件数 作业 2 1 3 8 2 4 4 4 10 A c o n d ( )A 2.设 且 试估计线性方程组 Ax=b的 解 x与 Ax=b1 的解 x1的相对误差 . 作业 3 1 2 2 2 2 5 4 , , 2 4 5 A b b C 1 42 2 10 bb b 1 2 2 xx x