竞赛常用定理

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1、几何篇梅涅劳斯定理：当直线交三角形ABC三边所在直线BC、AC、A于点D、E、F时,(AF/FB)X(BD/DC)X(CE/EA) =1以及逆定理：在三角形ABC三边所在直线上有三点D、E、F，且(AF/FB)X(BD/DC)X(CE/EA) =1，那么D、E、F三点共线。BF BBf，DC CC EA AAf 三式相乘得BF DC EA BBf CCf塞瓦定理：指在厶ABC内任取一点O,直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F,则(BD/DC)x(CE/EA)x(AF/FB)=1。二角元塞瓦定理：AD,BE,CF交于一点的充分必要条件是：、.f/ 、 (sinZBAD/sinZDAC)*(

2、sinZACF/sinZFCB)*(sinZCBE/sinZEBA)=l/ . 逆定理：在 ABC的边BC, CA, AB上分别取点D, E, F,$如果(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1 那么直线 AD, BE, CF 相交于同一点匕展JJIa/sinA=b/sinB=c/sinC=2R余弦定理：，在 ABC中，余弦定理可表示为:正弦定理：在 ABC中, 径为R。则有：斯特瓦尔特定理设已知厶ABC及其底边上B、C两c2=a2+b2-2ab cosC a2=b2+c2-2bc cosA b2=a2+c2-2ac cosB托勒密定理：指圆内接凸四边形两对对边乘积的和等 于两条对角线的

3、乘积。三弦定理：由圆上一点引出三条弦，中间一弦与最大角正弦的积等于其余每条弦与不相邻角正弦的积之和。用图表述；圆上一点A,引出三条弦 AB（左）、AC（右）、及中间弦AD,BC与AD交于P根据三弦定理，有以下关系，ABsinZCAP +ACsinZBAP= ADsinZBAC。西姆松定理：过三角形外接圆上异于三角形顶点的 任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。（此线常称为西 姆松线）AB2 DC+AC2 BD-AD2 BC=BCDCBD点间的一点D,则有张角定理：在 ABC中，D是BC上的一点，连结AD。那么sinZBAD/AC+sinZCAD/AB=sinZBAC/AD。逆定理： 如果 sin

4、ZBAD/AC+sinZCAD/AB=sinZBAC/AD，那么 B,D,C 三点共线。蝴蝶定理：设M为圆内弦PQ的中点，过 M作弦AB和CD。设AD和BC各相交PQ于 点X和Y,则M是XY的中点。莱莫恩（Lemoine）定理内容：过厶ABC的三个顶点A、B、 C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB所在直线交于P、 Q、R,则P、Q、R三点共线。直线PQR称为 ABC的莱莫恩 线。笛沙格同调定理：平面上有两个三角形 ABC、 DEF,设它们的对应顶点（A和D、 B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。已知：AAiBjCi和心缶坯：中， 斷心GG三婭

5、襄点于O. 若lC,. R1G交于AK+电G交于YAiR】、也比交于无求证：X. Y、Z三点梵线证明：题目中除了直找就是直贱显然要 用到梅涅劳斯定理的逆定理.现在我们观察心、ZIKAAtB,G要证明的是AiZZB?BlX C(注意到加阳丄截AOA.Bj,得到OAi AtZ BB2A2Al X ZBl X BnO _1 同理OB; BA QCjK X-= b2b1 xcl c2oOC； C| A1A1C2Ci X YA| X AjO _1三式相乘*得到币決ZJI故X、W艺三点共线五心的性质三角形的五心有许多重要性质，它们之间也有很密切的联系，如：(1) 三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角

6、形面积相等；(2) 三角形的外心到三顶点的距离相等；(3) 三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心；(4) 三角形的内心、旁心到三边距离相等；(5) 三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的 垂心；(6) 三角形的外心是它的中点三角形的垂心；(7) 三角形的重心也是它的中点三角形的重心；(8) 三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心.(9) 三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍 下面是更为详细的性质：垂心三角形三边上的高的交点称为三角形的垂心。三角形垂心有下列有趣的性质：设AABC的三条高为AD、BE、CF，

7、其中D、E、F为垂足，垂心为H。性质1垂心H关于三边的对称点，均在 ABC的外接圆上。性质2 ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且 AHHD=BHHE=CHHF。性质3 H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点 为一垂心组)。性质4 ABC, ABH, BCH, ACH的外接圆是等圆。性质5在非直角三角形中，过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q,则AB/AP tanB+ AC/AQtanC=tanA+tanB+tanC。性质6三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。性质7设O, H分别为 ABC的外心和垂心，则Z

8、BAO=ZHAC，ZABH=ZOBC， ZBCO=ZHCAo性质8锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。 性质9锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三 角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。内心三角形的内切圆的圆心简称为三角形的内心，即三角形三个角平分线的交点。内心有 下列优美的性质：性质1设I为厶ABC的内心，则I为其内心的充要条件是：到 ABC三边的距离相等。 性质2设I为厶ABC的内心，贝yZBIC=90+1/2ZA,类似地还有两式；反之亦然。性质3设I为厶ABC内一点，AI所在直线交 ABC的外接圆于D。I为厶ABC内心

9、 的充要条件是ID=DB=DCo性质4设I为厶ABC的内心，BC=a，AC=b，AB=c，I在BC、AC、AB上的射影分 别为 D、E、F；内切圆半径为 r，令 p= (1(a+b+c),贝V(1)SA ABC=pr； (2)r=2SA ABC/a+b+c ； (3)AE=AF=p-a,BD=BF=p-b,CE=CD=p-c； (4)abcr=pAIBICI。性质5三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相 等；反之，若I为厶ABC的ZA平分线AD(D在厶ABC的外接圆上)上的点，且DI=DB，贝 I为厶ABC的内心。性质6设I为厶ABC的内心，BC=a，AC=b，AB

10、=c，ZA的平分线交BC于 匕交厶ABC 的外接圆于 D,贝卩 AI/KI =AD/DI =DI/DK = (b+c)/a。外心三角形的外接圆的圆心简称三角形的外心即三角形三边中垂线的交点。外心有如下一 系列优美性质：性质1三角形的外心到三顶点的距离相等，反之亦然。性质2设O为厶ABC的外心，则ZBOC=2ZA，或ZBOC=360-2ZA(还有两式)。性质3设三角形的三条边长，外接圆的半径、面积分别为a、b、c,R、，则R=abc/4SA。性质4过厶ABC的外心O任作一直线与边AB、AC（或延长线）分别相交于P、Q两点， 则 AB/AP sin2B+ AC/AQsin2C=sin2A+sin2

11、B+sin2C。性质5锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和。重心性质1设G为厶ABC的重心， ABC内的点Q在边BC、CA、AB边上的射影分别 为D、E、F,则当Q与G重合时QD.QE.QF最大；反之亦然。性质2设G为厶ABC的重心，AG、BG、CG的延长线交 ABC的三边于D、E、F, 则： AGF=SA BGD=SA CGE；反之亦然。性质3设G为厶ABC的重心，则： ABG=SA BCG=S ACG= （1/3）SA ABC；反之亦 然。旁心1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁 心。2、每个三角形都有三个旁心。3、旁心到三边

12、的距离相等。圆幕与根轴：与圆幕定理相关的另一个概念是根轴。首先我们有幕的定义：从一点A作一圆周的任一割线，从A起到和圆周相交为止的两 线段之积，称为点对于圆周的幕。若A点在圆外，A点的幕等于从A点所引圆周切线的平方，由相交弦定理及割线定理,知道点A的幕为定值。（1）：两圆周相交，交点处的切线成直角，则每一圆半径的平方等于它的圆心对于另一圆周的幕，反之亦然。2）：点A对于以O为圆心的圆周的幕，等于OA及其半径的平方差。定理1：对于两已知圆有等幕的点的轨迹，是一条垂直于连心线的直线。定义：两圆等幕点的轨迹，称为两圆的根轴或等幕 轴。圆外切四边形四边分别与圆相切的四边形称为圆外切四边形。四边形是圆外

13、切四边形的重要条件是四边形的对边和相等四边形是圆外切四边形的充要条件是该四边形被其对角线所分成的四个小三角形的四 个内心共圆圆内接四边形圆内接四边形的对角互补2、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）。如四边形ABCD内接于圆0,延长AB至E, AC、BD 交于 P,则ZBAD+ZDCB=180,ZABC+ZADC=180（圆周角的度数等于所对弧的度数 的一半）ZABD=ZACD （同弧所对的圆周角相等）。 ZCBE=ZADC （外角等于内对角） 设AC与BD交于PABPsADCP （三个内角对应相等）APxCP=BPxDP （相交弦定理） ABxCD+ADxCB

14、=ACxBD （托勒密定理）代数篇算术基本定理:：算术基本定理可表述为：任何一个大于1的自然数N，都可以唯一 分解成有限个质数的乘积同余:给定一个正整数m,如果两个整数a和b满足a-b能被m整除，即ml(a-b)，那么就 称整数a与b对模m同余，记作a三b(mod m)。1反身性 a三a (mod m)2对称性 若a三b(mod m),贝V b三a (mod m)3 传递性 若 a三b (mod m)， b三c (mod m),则 a三c (mod m)4 同余式相加 若 a三b (mod m)， c三d(mod m),贝V a+-c三b+-d (mod m)5同余式相乘 若a三b (mod

15、m)， c三d(mod m),则ac三bd (mod m)4 线性运算如果 a 三 b (mod m), c 三 d (mod m),那么(l)a 士 c 三 b 士 d (mod m), (2)a * c 三 b* d (mod m)5 除法若 ac 三 bc (mod m) cO 贝V a三 b (mod m/gcd(c,m)其中 gcd(c,m)表示 c,m 的最大 公约数特殊地,gcd(c,m)=1 则 a 三 b (mod m)6幕运算如果a三b (mod m),那么an三bn (mod m)7 若 a 三 b (mod m), nlm,贝V a 三 b (mod n)8 若 a 三

16、 b (mod mi) (i=1,2.n)贝V a 三 b (mod ml,m2,.mn) 其中m1,m2,.mn表示m1,m2,.mn的最小公倍数9欧拉定理设 a,mWN,(a,m)=1,则 a人(申(m)三1(mod m)(注:申(m)指模m的简系个数，p(m)=m-1,如果m是素数；p(m=q1Ar1 * q2Ar2* .*qiAri)=m (1-1/q1)(1-1/q2).(1-1/qi)推论：费马小定理：若p为质数，则aAp三a (mod p)即aA(p-1)三1 (mod p)(但是当pla时不等价)10中国剩余定理设整数m1,m2,m3,mn两两互素，令m=m1m2m3m4m5.mn (mi的连乘)。则对于任意的J在(1,n)整数，下列联立的同余式有解：xj三 1(mod mj)xj三0(mod mi) i 不等于 j令x为从1到najxj的和，则x适合下列联立同余式x三aj (mod mj) , j=1,2,3,.,n另：求自然数a的个位数字，就是求a与哪一个一位数对于模10同余