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1、一、平面法向量的概念向量与平面垂直 如果表示向量a的有向线段所在的直线垂直于平面a ,则称这个向量垂直于平面a，记作a丄a。平面的法向量 如果a丄a，那么向量a叫做平面a的法向量。一般根据平面法向量的定义推导出平面的法向量，进而就可以利用平面的法向量解决相关立体几何问题。求解平面法向量的常用方法如下：1. 方程法：利用直线与平面垂直的判定定理构造三元一次方程组，由于有三个未知数，两个方程， 要设定一个变量的值才能求解，这是一种基本的方法，师生容易接受，但运算稍繁，要使法 向量简洁，设值可灵活，法向量有无数个，它们是共线向量，取一个就可以。ifT / f例如;已知向量a、b是平面a内的两个不共线
2、的向量，a = U,2,3丿，b = (2,1,-1)，求平面a的一个法向量n的坐标。解：设n = (x,y,z)，则由n丄a，x + 2 y + 3 z = 02 x + y 一 z = 0不妨设z = 1，得取 n = (3,1,1)x + 3 y = 32 x + y = 12大学行列式求法向量a 二 S y1, z1)，b = 8 八 5222yzxzxy111111yzxzxy222222a x b =()，法向量取与向量a x b共线的即可。y其中行列式iy2z1 = y z y zz 1 22 12用这一方法解答上面的例如，先把平面内的两个向量坐标对齐写fa = (1, 2, 3
3、)b = ( 2, 1, 1)蒙住第一列，把后两列看成一个二阶行列式，计算2x (1) 1 x3 = 5就是向量axb的x坐标，蒙住第二列，把前后两列看成一个二阶行列式，计算x (1) 2 x 3 = -7，取-7的 相反数7作为axb的y坐标，蒙住第三列，把前两列看成一个二阶行列式，计算if *1 x 1 2x2 =3作为z坐标，所以axb = (-5,7,-3)，可以取n = (-5,7,-3),它与前面方57程法求得的n二（3,- 3）是共线向量。行列式求法向量属于高等数学中空间解析几何的内容，学生难以在现有的知识基础上真正理解，但由于这是一个死板的公式，操作步骤清晰，学生容易记住，开始
4、觉得不习惯 多练几次后，具有速度快、结果准的优点，不妨一试。二、平面法向量的三个常用公式公式1设向量no是平面u的单位法向量，点B是平面u外一定点，点A 是a内任意一 点，则点B到平面a的距离d = |AB-n0。证明：如图1，过B作BO垂直平面a于O，在平面Q上任取一点A,则ZABO为AB与n的夹角，设为e 。得d = |AB| Icos 0| =阿踪=四=|AB - n在 RtAABO 中,利用公式 1 求点到平面的距离比用传统的几何方法求距离简单得多，它省去了作图、证 明等推理论证，直接通过向量运算得到正确的结果。公式2设AB是平面a的斜线，BO是平面a的垂线，AB与平面a所成的角/BA
5、O =0 ,向量AB与n的夹角ZABO =屮（见图1），则sin0 = |cos屮|二AB - nAB - n。（证略）公式 3 如图 2，设向量 n 与 n 分别是二面角12图2a -1 -卩中的两个半平面a，卩的法向量， 则向量n与n的夹角n ,n 的大小就是1 2 1 2所求二面角或其补角的大小。（证略）由于法向量的多样性，二面角的两个半平面的法向量 n 与 n 的夹角可能等于所求二面角12的平面角，也可能等于二面角的平面角的补角， 如何来确定两法向量的夹角是二面角的平 面角还是其补角呢？一靠经验：通过题目估计它是钝角还是锐角，同类相等，异类互补；二 用半平面旋转法：把二面角的一个半平面绕棱1按照同一个方向旋转到与另一个半平面重合 时，若两个半平面的法向量的方向相同，则相等，若方向相反，则互补。以上介绍了平面的法向量及其几个公式，以此为工具，解决了立体几何中的部分难题。利 用平面法向量解题，方法简便，易于操作，可以避开传统几何中的作图、证明的麻烦，又可 弥补空间想像能力的不足，发挥代数运算的长处。深入开发它的解题功能，平面法向量接题 将在数学解题中起到越来越大的作用。
立体几何求法向量
