《猜想与假设》结题

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1、成都市教育局教育科研规划课题小学数学课程标准问题解决目标细化研究之 子课题小学数学数与代数领域教学中“猜想与假设“能力的培养研究结 题 报 告 主要研究人员: 张碧荣 林锐 文芳 张兰蓉 成都市教育科学研究 张碧荣 一、问题的提出（一） 源于“猜想与假设”的能力在数学学习的重要作用在数学新课程标准下，数学教学过程中通常是由“提出问题-猜想与假设验证”这3个大环节组成，猜想与假设是学生数学探究活动的一个十分重要的组成部分，是一种重要的数学思想方法。荷兰数学教育家弗赖登塔尔所说：“真正的数学家-常常凭借数学的直觉思维做出各种猜想、假设，然后加以证实。”因此小学数学教学中教师要重视“猜想-假设-验证

2、”思想方法的渗透，以增强学生主动探索、获取数学知识的能力，促进学生创新能力的发展。建构主义教学观认为，学习活动实际上是学生利用已有的知识和经验去积极主动建构新的知识体系的过程。学生进行猜想与假设活动的基础是学生已有的知识和生活经验。猜想与假设活动就是学生根据已有的知识和经验，对要研究的问题经过思维的冲突与再加工的过程。在这个过程中，学生的猜想-假设实际能力是有差别的。由此可见，培养学生的猜想与假设能力是培养学生数学素养、发展学生对数学活动预见性的重要实施渠道。（二）源于对小学数学教学中解题过程的分析 在日常的小学教学中我们发现，小学数学解题过程，时常有猜想与假设的思维活动呈现，主要表现在猜想的

3、途径、方法和结论。常见的几种猜想有：1、关于解题结论的猜想，常见的有归纳和类比的猜想。例如：在教学加法交换律、结合律等运算定律时就采用了，通过归纳猜想得出其结论。在推导平行四边形的面积时，通过类比猜想得出其结论。2、关于解题方法的猜想，常见的是运算方法的合理、简算的猜想。3、关于解题途径的猜想，常见于对各种解题思路方法步骤的猜想。通过梳理教材我们发现，虽然“猜想与假设”在教材中呈现的方式多样，但现行的教材都没有明确指出如何培养学生“猜想与假设”的数学学习能力。 关于猜想，波利亚注有一段精彩的论述：“我想谈一个小小的建议，可否让学生在做题之前猜想该题的结果或部分结果，一个孩子一旦表示出某种猜想，

4、他就把自己与该题连在一起，他会急切地想知道他的猜想是否正确。于是，他便主动地关心这道题，关心课堂的进展，他就不会打盹或搞小动作。”从学生的学习过程来看，猜想是学生有效学习的良好准备，它包含了学生从事新的学习或实践的知识准备、积极动机和良好情感。在数学学习中，猜想作为一种手段，可使学生积极参与学习的过程，使学生主动地获取知识。猜想与验证对课堂教学的推动作用显而易见。（三）源于“猜想与假设”对学生思维发展的重要作用。猜想，从心理学角度看，是一项思维活动，是学生有方向的猜测与判断，包含直觉的推断和理性的思考。从猜想出发，让学生在数学课堂上把自己的思维打开，使学生经历猜测、归纳、类比、联想，通过等思维

5、活动，求验证方法，力求论证结果的正确性，不断修正和完善自己结论的过程，不但利于培养学生的探索精神和创新能力，更能够促进学生思维的发展。综上：根据数学问题的解决过程的规律，梳理小学数学领域中“数与代数、空间与图形、统计与概率、综合应用”几个板块中涉及到的“猜想与假设”的思维训练案例，着力培养学生数学“猜想与假设”能力，是值得数学老师研究的课题。二、研究意义l、理论意义： “能运用已有的知识作出自己对问题的假想答案；能根据假想答案，制定简单的探究活动计划。”从课标的要求来看，猜想的结果同时是制定计划的前提根据，是学生确定研究方向、选择实验方法、选择实验材料的基础。一个自然现象，在其未被揭示出科学本

6、质之前，人们对它的认识是很不完整的，甚至是片面的，往往借助于合情推理（猜想与验证）的形式进行研究与探索。当某一猜想与验证设被大量事实所证实时，它就发展成一种科学知识。因此猜想与验证是数学探究性学习中的方法与桥梁。2、实践价值：在教学活动中，猜测与假设是这个环节中的核心，培养学生在发现问题后，大胆进行猜想、假设，有助于发展学生的数学思维能力，不仅有利于培养学生的发散思维能力，而且能够使学生对探究，特别是对猜想与假设获得正确的认识，逐步学习和掌握解决问题的科学方法，形成数学的思想和态度。对学生熟悉的问题情境，不管是在课堂教学中，还是在教学评价时，不是不可以要求学生提出猜想与假设，而是取决于学生在所

7、给的情境中有没有新的问题困惑。猜想与假设不只是教师评价学生的一种形式，而更应是研究问题过程中的一个重要环节。在数学学习活动中应该如何培养学生的猜想意识和猜测能力呢，这是值得我们研究的。三、关键概念的界定猜想汉语词典将猜想定义为“根据不明显的线索或凭想象来寻找正确的解答”数学猜想是指依据某些已知事实和数学知识，对未知的量及其关系所作出的一种似真的推断。它具有一定的科学性，又有某种假定性。它的真伪性，一般说来，是难以一时解决的。它是数学研究的一种常用的科学方法，又是数学发展的一种重要的思维形式。从每一个数学成果都由“潜”到“显”的过程来看，数学猜想同数学问题、数学悖论一样，是一种数学潜形态。研究与

8、阐述数学猜想的类型、特征以及提出与解决的主要思想方法，对把握数学的本质及其发展规律，具有重要的意义。假设在现代汉语词典中的解释为：科学研究上对客观事物的假定的说明；网络查找假说，得到：指按照预先设定，对某种现象进行的解释，即根据已知的科学事实和科学原理，对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明，而且数据经过详细的分类、归纳与分析，得到一个暂时性但是可以被接受的解释。任何一种科学理论在未得到实验确证之前表现为假设学说或假说。数学假设认为数学假设与数学猜想联系密切，确切的说某些数学猜想会称为“数学假设”，尤其是当它是针对某些问题提出的答案。所以认为：数学的假设是为了求证某一说法或答案而设的，也

9、有可能假设经过求证是错误的。猜想假设的分类上海师大胡炯涛先生把猜想分为如下五种基本形式：探索性猜想；归纳性猜想；类比性猜想；试验性猜想;构造性猜想。浙江师大任樟辉先生把猜想分为如下五种形式：类比性猜想；归纳性猜想；探索性猜想；仿造性猜想；审美性猜想。从猜想的命名可知，他们的分类依据是实现数学猜想的途径和方法。由于实现猜想的途径和方法具有多样性和不定性，这就造成了以上分类的局限性和狭隘性。另外，猜想作为人类赖于生存的思维方法，它的分类就应反映猜想的思维特性。基于以上考虑，把猜想分为直线猜想和发散猜想两类。猜想与假设能力基于对猜想的认识和分类，要进行正确的直线猜想就需要对直观现象所隐含的规律有较高

10、的分析、比较、类比、归纳能力，有良好的数学直觉思维；而发散猜想更要求学生的发散思维高，要能够“由此及彼”，同时又不是不做边际的“胡思乱想”“瞎蒙”，所以要注意培养学生发散猜想的合理性、有效性；而假设是在猜想的基础上选取占时认为合理的、可能的结果来进行假定，所以假设能力是学生基于已有数学知识、经验的基础上对猜想的不同结果进行认为合理的选取，学生的已有知识经验不同选取的结果会有差异，这个选取具有主管性，所以假设结果越接近正确结果其假设能力就越高。四、研究目标与内容我们这里所说的猜想与猜想的对象（知识内容）对我们成人是已知的，而对学生却是未知，在引导他们从未知到已知的过程中既要实现学生知识的建构还要

11、以知识的掌握为载体逐步发展学生在解决问题的过程中的“猜测与验证”能力。研究目标：在数学知识不同板块的教学中，培养学生在解决问题中“猜测与验证”的能力，从而培养学生的数学个性。 研究内容：（1） 梳理小学数学教材中 “猜想与假设”的思维训练案例。（2）借助教材中相关的思维训练案例，梳理培养学生数学“猜想与假设”能力的策略。五、研究措施：1、确定研究思路：课 题 研 究 思 路课题组在前期研究中，主要聚焦“数与代数”版块确定了课题研究的思路，如下图： 引发猜想深入猜想验证猜想巩固猜想培养学生思维能力质疑假设实践结论教材梳理分析数与代数寻找猜想与假设思维训练点一线教师螺旋式：课例研修一线教师螺旋式：

12、课例研修形成“猜想与假设”能力2、开展行动研究：课题组通过观课、议课，对课堂进行诊断，梳理教学内容中培养学生“猜想与假设”能力的资源进行分析。另一方面，对现有课堂教学中培养学生“猜想与假设”能力的现状进行调查及归因分析。同时课题组还依托课例，通过教师集体备课和研讨课，找出典型的课堂教学片段。并通过课例研究探索改进的方式。 六、研究成果（一）对“猜想与假设”的再认识在现代汉语词典（第5版）中，“猜想”的解释如下：“ 动推测；凭想象估计。 动猜测。根据不明显的线索或凭想象来寻找正确的解答。”波利亚在它的数学与猜想一书中给出了这样的描述：“自然科学，特别是数学领域中与严密的论证推理完全不同的一种推理

13、方法合情推理（即猜想）。”（见图）“假设 ”意思是：动姑且认定 动虚构 名科学研究上对客观事物的假定的说明。数学猜想是指依据某些已知事实和数学知识，对未知的量及其关系所作出的一种似真的推断。数学假设认为数学假设与数学猜想联系密切，确切的说某些数学猜想会称为“数学假设”，尤其是当它是针对某些问题提出的答案。所以认为：数学的假设是为了求证某一说法或答案而设的，也有可能假设经过求证是错误的。从以上解释中，课题组得出了如下一些结论：猜想是一个过程。猜想作为动词时，即是一种推断、推想、推测的过程，与猜测同意。从这个意义上说，学生的猜一猜、估一估也是一种推测过程，仍然含有猜想的成份。猜想是一个结论。数学猜

14、想，是根据一些现象所作出的一种推断，即是假想的一个结论（这与假设作名词时同意），如著名的哥德巴赫猜想，四色猜想等。猜想是一种方法。是人类用以探索和认识未知世界而进行的一种推理方法。（二）梳理了教材中与“猜想与假设”相关的的教材案例。（以六年级教材为例，其他各年级见附件）课题教学知识点猜想与假设分析六上一单元P11圆的周长圆的周长与直径的关系1、从正三角形周长与边长有关，正方形边长与周长有关，猜测圆的周长与它的直径可能也有关系。2、观察、测量（多种测量方法比较）；3、列表发现（3倍多一些）；4、得出结论。六上一单元P16圆的面积圆面积的计算方法1、 通过观察，尝试画出圆的外切正方形与内接正方形，

15、通过数格子的方法分析确定圆面积的大小范围。（猜测）；2、通过数格子的方法不太准确，尝试找更准确的方法（转化）；3、怎样把圆形转化成已学过的图形（学生尝试）；4、通过转化前后图形的对比分析，得出圆面积的计算方法。六上三单元P43比赛场次得出比赛场次的计算方法1、学生通过画图，列表的方法，尝试发现规律；2、假设8名同学是有序编号的，第1号同学与后面28号同学每人打-一场，然后就离开；第2号同学与后面38号同学每人打一场，然后就离开；第7号同学与第8号同学只打一场。这时比赛全部完成。通过这样的假设，学生更易理解其中的计算方法；3、假设每人都计算与其余7人打一场；应该共78=56场，引导学生分析出每一

16、场都被重复计算两次，从而分析还要除以2，得出计算方法：比赛场数=人数（人数-1）2。六上四单元P56兄弟分马如何分马1、 猜想：共有11匹马，怎么分？2、 尝试发现=、=、=；如果是12匹马，正好分完总数的，所以可以借商人的一匹马凑成12匹；假设总数是12再来分。3、 尝试发现:=6:3:2；正好可以按比例来分。六下一单元P8圆柱的体积圆柱体积的计算方法1、根据长方体、正方体的体积都是底面积乘高，猜想圆柱体的体积可能也等于底面积乘高；（学生的验证方法：做一个底面积和高分别与圆柱相等的长方体，装水倒入来验证；通过堆硬币的例子来验证）。2、除了倒水验证外，启发学生将圆柱体进行转化；3、通过比较转化

17、前后立体图形之间的关系，得出结论。（猜想正确）六下一单元P11圆锥的体积圆锥体积的计算方法1、 学生猜想：圆锥的体积与圆锥从顶点到底面直径的纵切面大小有关；圆锥的体积与它的底面积和高有关；但比等底等高的圆柱体积小。2、 学生猜想：等底等高的圆锥体经底面直径的纵切面是三角形，圆柱体经底面直径的纵切面是长方形；这个三角形的面积正好是长方形面积的；体积可能也是。3、 学生想办法验证，通过倒水（或沙）实验，验证猜想错误，得出结论：圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱体积的三分之一。4、 结合前一课，引导学生总结，我们的猜想有时是正确的，有时是错误的，只有得到验证的猜想，才会上升为定理（或结论）。六下总复习

18、P90第3题猜想与尝试的方法、过程总结1、 主要过程：根据自己的经验，提出一个自己认为的结果；从条件出发，想办法验证自己的结果是正确的还是错误的；通过验证，得出一个正确的结论。2、 验证方法：列表；举例（枚举，特殊值法）；画图；逻辑推理；操作实验等。我们认为，小学数学课堂上的猜想，既有它作为动词的一面，也有它作为名词（数学猜想）的一面，更是一种可贵的推理方法。只要学生通过一些现象或是他所发现的规律，对他还未知的结果进行猜测，可以认定为他在猜想，此处的猜想，是作为动词而存在的，是学生思维活动的过程。而学生一但根据自己的观察、类比等，把自己的发现推广到他们还未知的领域，并进行了规律性的概括和提练，

19、提出一个带有结论性的命题，我们认为这是学生提出了他的猜想（尽管可能有些不是纯粹的数学猜想），此处的猜想，是作为名词存在的。（三）对“猜想与验证”教学的初步探索1、“猜想与验证”教学实施的三个原则 （1）强化猜想意识的培养主动猜想的意识和习惯，是孩子们勇于猜想的前提。这就要求我们在教学中有计划地进行猜想教学尝试，以增强教学的目标感。为此，工作室的老师们认真分析，对小学十二册教材进行了梳理，从教学内容中去挖掘适用于猜想教学的素材，从而在课堂上能更好地把握猜想的机会，突出猜想的过程，让学生体验猜想的乐趣与价值，逐渐让学生敢于猜想、乐于猜想；同时，我们也要善于从学生的发言中去捕捉猜想的痕迹，强化猜想的

20、作用。在教学过程中，经过长期、适时的渗透，学生的猜想意识必定能逐步培养起来。（2）强化猜想经历的体验学生的智慧是由经验逐步凝成的，学生的能力是在学习的过程中逐步提升的，在猜想的教学中，只有让学生充分经历猜想的过程，才能实现猜想能力的发展。学生对未知领域充满着好奇，总是愿意积极地探索，用自己的努力来汲取更多的营养，多创造条件让学生先猜一猜，或是对未知的结果有个预先的假设，常常会促进学生更加积极和深入地对观察的现象、规律进行思考，从而得出更有价值的结论。学生在猜测、验证、尝试完善、不断修正的过程中，既激发学习的动力，又促进思考的深度。但教学中还需要通过追问促进学生回顾整理与自我反思，来强化其对这一

21、过程的体验，帮助他们丰富经验，完善认知。（3）强化科学精神的浸润和数学猜想必须经过严密的证明才能成为定理或定律一样，学生的猜想在没有经过验证，而且是广泛的验证基础上，还不能够保证它的正确性与适用性。对于小学生来说，用严密的逻辑推理来证明自己的猜想是否正确显然是不现实的，但学生通过大量的验证进一步促进自己的猜想得到支持是可行的。只有猜想没有验证的教学是不完善的教学，也是不符合科学精神的教学，猜想必须与验证结合起来，才能培养学生完善的思考意识，才能促进学生对数学方法的整体体验与理解，从而养成严谨、负责的科学精神。教学中突出验证，正是看重它对培养学生的创新能力和科学精神的价值。2、“猜想与假设”教学

22、的操作模式 我们目前提出以下猜想验证教学的操作模式“引导观察激发思考促进验证尝试运用”。（1）引导观察 数学猜想不是毫无根据的胡猜乱想，学生对数学事实的把握，是提出猜想的重要前提。学生在认真观察、类比的基础上，才能够进行合情推理，从而进行猜想。所以我们在教学中，努力创造条件，精选必要的学习内容，提供能够引起学生猜想的观察素材，并能结合已有的知识或经验让学生准确把握数学事实，为学生提供猜想的基础。（2）激发思考教师的问题情境，要有利于引起学生去思考和猜想。有时是明确的提出“猜一猜”、“推测一下”等要求，有时是通过引导性语言来激起学生思考和猜想。适时引导：在多数情况下，学生通过认真观察，能够针对某

23、一个问题发现其中的规律，这种个别化或特殊化的规律，学生不能自觉地把它进行再推广，从而使其从特殊到一般。这个过程，需要老师适时地进行启发和引导，能够将学生的思维拓展开来，把思考引向深入，把从个别现象得出的结论推广到更广的范围内，从而提出自己的猜想。善于捕捉：其实在我们的课堂教学中，很多时候学生会提出这样那样的问题和看法，有些问题和看法是学生推断出来的，从某种意义上说，这就是学生所发现的数学猜想。如果老师能够捕捉到学生提出的看法，并引导他们充分表达，可以推进猜想的过程，得到不错的假设。提供机会：学生要在观察的基础上，深入思考，合情推理，才能把自己的观点和结论表达出来，这个思维过程比较复杂，学生需要

24、有一定的时间和空间。在教学中，老师不要过于急燥，要有耐心，给学生表述和申辩的机会，不急于求成，真正让学生去大胆联想，合理猜测，学生才能充分感受，深入思考。（3） 促进验证我们认为，猜想是从经验向理性认识过度的桥梁，“观察-猜想-证明”是数学发展的认识过程，这个过程从总体上看是由粗糙到精确，由不完全到完全的发展过程。有了猜想，还需要数学证明确认猜想，验证的过程，是学生再思考、再认识和再体验的过程，尽管我们的孩子现阶段还不具备严格证明的能力，但是，提供时间，让他们通过合情推理、操作实验、反证例举等，亲自经历验证活动的过程，对于学生充分认识猜想，促进学生思维与能力的发展，是尤其重要的，这个过程不仅可以不断修正和深化学生的认识，而且对培养学生的学习态度，体验科学发现过程，树立科学精神都是非常必要。数学的学习过程，对学生来说如同科学发现的过程，所以在学习过程中不断演绎着猜想、验证、再猜想、再验证的循环，从而使学生对数学认识从模糊到清晰，从知之甚少到知之较多，最终使学生学会学习的方法。（4） 尝试运用 猜想一旦被确认正确，它就可以被用以解决问题，通过学生主动运用猜想的结论，可以促进学生对知识的掌握，同时强化学生对猜想价值的理解，这有助于猜想意识的建立。