132第二课时函数奇偶性的应用习题课

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1、1.3.2第二课时函数奇偶性的应用(习题课)课标要求课标要求:1.:1.会根据函数奇偶性求函数值或解析式会根据函数奇偶性求函数值或解析式.2.2.能利用函数的奇偶能利用函数的奇偶性与单调性分析性与单调性分析,解决较简单的问题解决较简单的问题.自主学习自主学习新知建构新知建构自我整合自我整合自我检测自我检测1 1.(.(奇偶性判断奇偶性判断)若函数若函数f(x)=f(x)=?1,x?0,?1,x?0,则则f(x)f(x)为为()(A)(A)偶函数偶函数?B B(B)(B)奇函数奇函数(C)(C)既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数(D)(D)既不是奇函数又不是偶函数既不是奇函数又不是偶函数2

2、 2.(.(奇偶性与单调性奇偶性与单调性)已知偶函数在已知偶函数在(-(-,0),0)上单调递增上单调递增,则则(A)f(1)f(2)(A)f(1)f(2)(B)f(1)f(2)(B)f(1)0 x0时时,f(x)=x,f(x)=x+,+,则则f(-1)f(-1)等于等于(A)-2(A)-2 A A)(B)0 (B)0 B B)(B)(B)增函数增函数,最大值是最大值是-5-5(D)(D)减函数减函数,最大值是最大值是-5-5(C)1 (C)1 (D)2(D)2x4 4.(.(最值最值)如果奇函数如果奇函数f(x)f(x)在区间在区间3,73,7上是增函数且最小值是上是增函数且最小值是5,5,

3、则则f(x)f(x)在在-7,-3-7,-3上是上是(A)(A)增函数增函数,最小值为最小值为-5 -5 (C)(C)减函数减函数,最小值为最小值为-5 -5 课堂探究课堂探究典例剖析典例剖析举一反三举一反三题型一题型一利用奇偶性求函数值利用奇偶性求函数值)【例【例1 1】(2017江西自主招生)设设f(x)f(x)为定义在为定义在R R上的奇函数上的奇函数,当当x0 x0时时,f(x)=2f(x)=2x x+2x+b(b+2x+b(b为常数为常数),),则则f(-1)f(-1)等于等于(A)3 (A)3 (B)1 (B)1 (C)-1 (C)-1 (D)-3(D)-3解析解析:因为f(x)为

4、定义在R R上的奇函数,所以f(0)=20+20+b=0,解得b=-1,所以当所以当x0时时,f(x)=2x+2x-1,又因为f(x)为定义在R R上的奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-(2+21-1)=-3.故选D.误区警示误区警示本题中当本题中当x0时时,函数解析式含参数b,因此需利用奇函数在原点处有定义,则f(0)=0的性质,求出b的值,然后根据奇函数性质求f(-1)的值.即时训练即时训练 1-1:1-1:设设 f(x)f(x)是是 R R 上的奇函数上的奇函数,且当且当 x x0,+0,+)时时,f(x)=x(1+,f(x)=x(1+3x),),则则f(-1)=f(-1)=.解析解

5、析:因为因为 f(x)f(x)为奇函数为奇函数,所以所以 f(-1)=-f(1).f(-1)=-f(1).又因为又因为 x x0,+0,+)时时,f(1)=1,f(1)=1(1+(1+31)=2.)=2.所以所以 f(-1)=-2.f(-1)=-2.答案答案:-2-2【备用例【备用例1 1】已知已知f(x),g(x)f(x),g(x)分别是定义在分别是定义在R R上的偶函数和奇函数上的偶函数和奇函数,且且f(x)-f(x)-g(x)=xg(x)=x3 3+x+x2 2+1,+1,则则f(1)+g(1)=f(1)+g(1)=解析解析:因为f(x)-g(x)=x3+x2+1,.所以f(-1)-g(

6、-1)=-1+1+1=1,又因为f(x),g(x)分别是定义在R R上的偶函数和奇函数,所以f(1)=f(-1),g(1)=-g(-1),所以f(-1)-g(-1)=f(1)+g(1),所以f(1)+g(1)=1.答案答案:1 1题型二题型二利用奇偶性求函数利用奇偶性求函数f(x)f(x)的解析式的解析式【例【例2 2】(1)(1)已知已知f(x)f(x)是定义在是定义在R R上的奇函数上的奇函数,当当x0 x0时时,f(x)=x,f(x)=x2 2-2x-3,-2x-3,求求f(x)f(x)的解析式的解析式.解解:(1)(1)设设 x0,x0,-x0,2 22 2所以所以 f(-x)=(-x

7、)f(-x)=(-x)-2(-x)-3=x-2(-x)-3=x+2x-3.+2x-3.又因为又因为 f(x)f(x)为奇函数为奇函数,f(-x)=-f(x),f(-x)=-f(x),所以所以-f(x)=x-f(x)=x2 2+2x-3,+2x-3,所以所以 f(x)=-xf(x)=-x2 2-2x+3(x0).-2x+3(x0,x0,则则-x0,-x0),-x+1(x0),3?x?x?1,x?0,故故 f(x)f(x)的解析式为的解析式为 f(x)=f(x)=?3?x?x?1,x?0.3 3方法技巧方法技巧利用函数奇偶性求解析式时的注意事项:(1)求哪个区间上的解析式,就在哪个区间上取x.(2

8、)然后要利用已知区间的解析式写出f(-x).(3)利用f(x)的奇偶性把f(-x)写成-f(x)或f(x),从而解出f(x).(4)要注意R R上的奇函数定有f(0)=0.若是求整个定义域内的解析式,各区间内解析式不一样时其结果一般为分段函数的形式,此点易忽略.即时训练即时训练2-1:2-1:f(x)f(x)是定义在是定义在(-(-,+),+)上的偶函数上的偶函数,且且x0 x0时时,f(x)=x,f(x)=x3 3+x+x2 2,则则当当x0 x0时时,f(x)=,f(x)=.解析解析:当x0,f(-x)=(-x)3+(-x)2=-x3+x2.因为f(-x)=f(x),所以f(x)=-x3+

9、x2.答案答案:-x-x3 3+x+x2 2【备用例【备用例 2 2】已知函数已知函数 f(x)f(x)是奇函数是奇函数,g(x),g(x)是偶函数是偶函数,它们的定义域为它们的定义域为x|xx|xR R 且且2xx x3,3,且且 f(x)+g(x)=f(x)+g(x)=,求求 f(x),g(x)f(x),g(x)的解析式的解析式.x?32x,解解:因为因为 f(x)+g(x)=f(x)+g(x)=x?32x?2x.=所以所以 f(-x)+g(-x)=f(-x)+g(-x)=?x?3x?3因为因为 f(x)f(x)是奇函数是奇函数,g(x),g(x)是偶函数是偶函数,2x,所以所以-f(x)

10、+g(x)=-f(x)+g(x)=x?32x26x.,g(x)=,g(x)=2由得由得 f(x)=f(x)=2x?9x?9题型三题型三函数的奇偶性与单调性的综合函数的奇偶性与单调性的综合ax?b12【例【例 3 3】已知定义在已知定义在(-1,1)(-1,1)上的奇函数上的奇函数 f(x)=f(x)=2是增函数是增函数,且且 f(f()=)=.x?125(1)(1)求函数求函数f(x)f(x)的解析式的解析式;ax?b规范解答规范解答:(1)(1)因为因为 f(x)=f(x)=2是定义在是定义在(-1,1)(-1,1)上的奇函数上的奇函数,x?1则则 f(0)=0,f(0)=0,得得 b=0.

11、b=0.2 2 分分 1a1222又因为又因为 f(f()=)=,则则=?a=1,a=1,4 4 分分 2255?1?1?2?x所以所以 f(x)=f(x)=2.5 5 分分 x?1(2)(2)解不等式解不等式f(t-1)+f(2t)0.f(t-1)+f(2t)0.规范解答规范解答:(2)(2)因为定义在因为定义在(-1,1)(-1,1)上的奇函数上的奇函数 f(x)f(x)是增函数是增函数,由由 f(t-1)+f(2t)0 f(t-1)+f(2t)0 得得 f(t-1)-f(2t)=f(-2t).f(t-1)-f(2t)=f(-2t).7 7 分分?0?t?2,?1?t?1?1,?1?1所以

12、有所以有?1?2t?1,?t?,1010 分分 2?t?1?2t,?2?1?t?3.?1解得解得 0t0t.1111 分分 31故不等式故不等式 f(t-1)+f(2t)0f(t-1)+f(2t)0 的解集为的解集为t|0tt|0t.1212 分分 3变式探究变式探究1:1:若本例将定义域若本例将定义域(-1,1)(-1,1)改为改为R R,其他条件不变其他条件不变,则不等式则不等式f(t-1)+f(t-1)+f(2t)0f(2t)0的解集是什么的解集是什么?解解:由由 f(x)f(x)是奇函数知是奇函数知 f(t-1)-f(2t)=f(-2t).f(t-1)-f(2t)=f(-2t).又又

13、f(x)f(x)是是 R R 上的增函数上的增函数,所以所以 t-1-2t.t-1-2t.1解之得解之得 tt,31即不等式即不等式 f(t-1)+f(2t)0f(t-1)+f(2t)0 的解集为的解集为t|tt|tf(x2)或f(x1)f(x2)的形式,再利用单调性脱掉再利用单调性脱掉“f”求解.(2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致,偶函数的单调性相反,列出不等式或不等式组,求解即可,同时要注意函数自身定义域对参数的影响.即时训练即时训练3-13-1:已知已知y=f(x)y=f(x)是定义在是定义在(-(-,+),+)上的奇函数上的奇函数,且在且在0,+)0,+)上上为增函数为增函数,(

14、1)(1)求证求证:函数在函数在(-(-,0,0上也是增函数上也是增函数;(1)(1)证明证明:设x1,x2是(-,0上任意两个不相等的实数上任意两个不相等的实数,且x1-x2,x=x2-x10,y=f(x2)-f(x1).因为f(x)是奇函数,且在且在0,+)上是增函数上是增函数,-x1-x2,所以f(-x1)f(-x2).又因为f(x)为奇函数,所以f(-x1)=-f(x1),f(-x2)=-f(x2).所以-f(x1)-f(x2),即f(x1)0.所以函数f(x)在(-,0上也是增函数上也是增函数.1(2)(2)如果如果 f(f()=1,)=1,解不等式解不等式-1f(2x+1)-1f(

15、2x+1)0.0.2(2)(2)解解:因为因为 f(x)f(x)是是 R R 上的奇函数上的奇函数,11所以所以 f(0)=0,f(-f(0)=0,f(-)=-f()=-f()=-1.)=-1.221由由-1f(2x+1)-1f(2x+1)0,0,得得 f(-f(-)f(2x+1)f(2x+1)f(0).f(0).21又因为又因为 f(x)f(x)在在(-(-,0,0上是增函数上是增函数,所以所以-2x+12x+10,0,213得得-xx-.2413所以不等式的解集为所以不等式的解集为x|-x|-x0.(x+y)f(x)+f(y)0.(1)(1)判断判断f(x)f(x)的单调性的单调性,并加以

16、证明并加以证明;解解:(1)函数f(x)在-1,1上单调递增,证明如下:由题意,设x1,x2-1,1,且x1x2,则x1-x20.令x=x1,y=-x2,所以f(x1)+f(-x2)0.因为函数f(x)是定义在-1,1上的奇函数,所以f(x1)-f(x2)0,所以函数f(x)在-1,1上单调递增.1）f(1-2x);f(1-2x);(2)(2)解不等式解不等式f f（x+x+(3)(3)若若f(x)mf(x)m2 2-2am+1-2am+1对所有对所有xx-1,1,a1,1,a-1,1-1,1恒成立恒成立.求实数求实数m m的取值范围的取值范围.1解解:(2)(2)由由(1)(1)知知,-1,

17、-1x+x+1-2x1-2x1,1,21解得解得 0 0 xx.6(3)(3)由于函数由于函数 f(x)f(x)在在-1,1-1,1上单调递增上单调递增,2所以函数所以函数 f(x)f(x)在在-1,1-1,1上的最大值为上的最大值为 f(1)=1,f(1)=1,所以所以 f(x)f(x)m m2 2-2am+1-2am+1 对所有对所有 x x-1,1,a-1,1,a-1,1-1,1恒成立恒成立,可转化为可转化为 0 0m m2 2-2am-2am 对所有对所有a a-1,1-1,1恒成立恒成立,2?m?2m?0,所以所以?2?m?2m?0,解得解得 m m2 2 或或 m m-2-2 或或 m=0.m=0.