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1、 关于数列概念应注意以下几点关于数列概念应注意以下几点 例如例如 数列数列 实际上就是实际上就是函数函数 的函数值的函数值,1,41,31,21,1n11,2,3,4,nann(2)数列一般有三种表示方式数列一般有三种表示方式一般形式一般形式.如如函数函数形式形式.如如 数列数列简化形式简化形式.如如 数列数列,1,54,43,32,21 nnNnnnnf ,1)(1nn (1)(1)数列实际上是定义在正整数集合（子集）数列实际上是定义在正整数集合（子集）上的函数上的函数,将其函数值按正整数依次增大的顺序排将其函数值按正整数依次增大的顺序排列起来所得到的列起来所得到的.因此数列也常常记作因此数
2、列也常常记作 ()naf n*nN复习复习割之弥细，所失弥少，割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不割之又割，以至于不可割，则与圆合体而可割，则与圆合体而无所失矣。无所失矣。刘刘 徽徽感受极限过程感受极限过程刘徽是世界上最早使用数列极限思想解决实际问题刘徽是世界上最早使用数列极限思想解决实际问题的大数学家的大数学家模拟模拟“割圆术割圆术”，来具体的感受到，来具体的感受到“无穷数列的变无穷数列的变化趋势化趋势”。情景情景1让我们一起观看一段演示让我们一起观看一段演示3S4S5S6S7S8S圆圆S随着圆内接正多边形边数的不断增加随着圆内接正多边形边数的不断增加,其圆内其圆内接正多边形的面积愈来愈趋
3、向于圆的面积。接正多边形的面积愈来愈趋向于圆的面积。因此因此,需要考虑当需要考虑当n时时,Sn的变化趋势的变化趋势.战国时代哲学家庄周所著的战国时代哲学家庄周所著的庄子庄子.天下篇天下篇引用过一引用过一句话：句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。一尺之棰，日取其半，万世不竭。”也就是说一根也就是说一根一尺长的木棒，每天截去一半，这样的过程可以一直无限制一尺长的木棒，每天截去一半，这样的过程可以一直无限制的进行下去。将每天截后的木棒排成一列的进行下去。将每天截后的木棒排成一列,如图所示如图所示,情景情景2 数列极限来自实践，它有丰富数列极限来自实践，它有丰富的实际背景的实际背景.我们的祖先很早就
4、对数我们的祖先很早就对数列进行了研究，早在战国时期就有列进行了研究，早在战国时期就有了极限的概念了极限的概念 ;21;212;21n第一天截剩下第一天截剩下第二天截第二天截剩剩下下第第n天截天截剩剩下下,21,21,212n 其长度组成的数列为其长度组成的数列为 其随着其随着n n无限的增加无限的增加,木棒的长度无限的趋近于零木棒的长度无限的趋近于零 先看数列先看数列,1,41,31,21,1n变化趋势演示变化趋势演示n1 1 2 3 4 5 6 7 8 注意小球的变化 为了进一步了解数列的极限为了进一步了解数列的极限,下面我们再观察几下面我们再观察几个数列随着个数列随着 的不断增大的不断增大
5、,它能否趋向于一个常数它能否趋向于一个常数.n1)(nf,1,41,31,21,1n 数列的极限就是数列的变化趋势数列的极限就是数列的变化趋势,为此为此,先观察先观察几个数列随着几个数列随着 的不断增大的不断增大,它能否趋向于一个常数它能否趋向于一个常数.先看数列先看数列变化趋势演示变化趋势演示n1 1 2 3 4 5 6 7 8 注意小球的变化n1)(nf213141516171 正在演示正在演示,1,41,31,21,1n n 1 2 3 4 5 6 7 81 从以上演示可见从以上演示可见:小红球随着小红球随着 的不断增大的不断增大,越来越靠近横轴越来越靠近横轴,因此数列因此数列 趋向于零
6、趋向于零.n n1演演 示示 结结 束束)(nf2113141516171 1 1 2 3 4 5 6 7 8n21再观察数列再观察数列 的变化趋势的变化趋势,1,54,43,32,21 nn注意小球的变化注意小球的变化32435465768798)(nf 1 1 2 3 4 5 6 7 8n21再观察数列再观察数列 的变化趋势的变化趋势,1,54,43,32,21 nn 正在演示正在演示 注意小球的变化注意小球的变化32435465768798)(nf 1 1 2 3 4 5 6 7 8n21,1,54,43,32,21 nn可见数列可见数列 的变化趋势如下的变化趋势如下3243546576
7、8798 从该数列的演示易见从该数列的演示易见,随着随着 的不断增大的不断增大,小小球越来越接近于直线球越来越接近于直线 ,所以数列所以数列 趋向于趋向于1.演演 示示 结结 束束n 1nn)(nf1)(nf 再观察数列再观察数列 的变化趋势的变化趋势 ,1,1,1,1,11 n1 1注意小球的变化注意小球的变化 1 2 3 4 5 6 7nny 再观察数列再观察数列 的变化趋势的变化趋势 ,1,1,1,1,11 n1 1注意小球的变化注意小球的变化 1 2 3 4 5 6 7n 正在演示正在演示ny 再观察数列再观察数列 的变化趋势的变化趋势 ,1,1,1,1,11 n1 1 1 2 3 4
8、 5 6 7n 易见小球在上下摆动中易见小球在上下摆动中,其摆动的幅度始终其摆动的幅度始终不变不变,因此因此,该数列不趋于任何常数该数列不趋于任何常数演 示 结 束ny 最后最后,观察一下数列观察一下数列,2,8,6,4,2n的变化趋势的变化趋势.12 10 8 6 4 21 2 3 4 5 6 7n注意小球的变化ny 最后最后,观察一下数列观察一下数列,2,8,6,4,2n的变化趋势的变化趋势.12 10 8 6 4 21 2 3 4 5 6 7n 正在演示正在演示ny 最后最后,观察一下数列观察一下数列,2,8,6,4,2n的变化趋势的变化趋势.12 10 8 6 4 21 2 3 4 5
9、 6 7n 显见小显见小球随着球随着 的不断增的不断增大愈来愈大愈来愈向上移动向上移动,永无止径永无止径,因此因此,数数列列 随着随着 的增大的增大,趋向于无趋向于无穷大穷大.n n2n 演示结束ny 综上可见综上可见,有的数列随着有的数列随着 的不断增大的不断增大,会逐会逐渐趋向于某一个常数渐趋向于某一个常数,而有些数列则不会趋向于一而有些数列则不会趋向于一个常数个常数nna 定义定义 在在 无限增大的变化过程中无限增大的变化过程中,如果无穷如果无穷数列数列 中的中的 无限趋近于某一个常数无限趋近于某一个常数A,那么那么A叫做数列叫做数列 的极限的极限,或叫做数列或叫做数列 收敛于收敛于A记
10、作记作 读作读作“趋向于无穷大时，趋向于无穷大时，的极限等于的极限等于A”.若该数列不能够趋向于一个常数若该数列不能够趋向于一个常数,则说该数列则说该数列发散发散(或说不收敛或说不收敛).lim nAnnnanananana数列极限数列极限归纳归纳xyo12.1(1)1nnan.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn1.23n练习练习 na 定义定义 在在 无限增大的变化过程中无限增大的变化过程中,如果无穷如果无穷数列数列 中的中的 无限趋近于某一个常数无限趋近于某一个常数A,那么那么A叫做数列叫做数列 的极限的极限,或叫做数列或叫做数列 收敛于收敛于A记作记作 读作读
11、作“趋向于无穷大时，趋向于无穷大时，的极限等于的极限等于A”.lim nAnnnanananana数列极限数列极限小结小结几个基本数列的极限几个基本数列的极限1.01limnn2.0lim,1nnqq时3.cccnlim,为常数小结小结1、判断下列数列是否有极限，如果有极限，给、判断下列数列是否有极限，如果有极限，给出它的极限，如果没有极限，说明理由。出它的极限，如果没有极限，说明理由。例题例题2341 1 1 1(1),.2 3 4 5(2)3,3,3,3,.(3)2,1,3,3,3,3,.11 1(4)1,.49 161 1 1 1(5),.2 4 8 16(6)3,3,3,3,.2、判断下列数列是否有极限，如果有极限，给、判断下列数列是否有极限，如果有极限，给出它的极限，如果没有极限，说明理由。出它的极限，如果没有极限，说明理由。221(1)1(2)()33(3)(4)831(5)53(6)()2nnnnnnnnnanaananana
7.7-1数列极限的概念课件
