一般二次曲线和一般二次曲面的讨论

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1、第四章 一般二次曲线和一般二次曲面的讨论习 题 4.1 空间直角坐标变换1.简答题.1.已知一点M(3,1,-2).若点M为平移后的新坐标系的原点，试求:(1) 旧坐标系原点在新坐标系中的坐标;(2) 点 A(4,2,0) 在新坐标系中的坐标;(3) 点A关于坐标原点的对称点在新坐标系中的坐标.解: (1)旧坐标原点的新坐标为(一3,-1,2)；点A的新坐标为(1,1,2)； (3)点A的对称点在旧坐标系中的坐标为(-4,-2,0),在新坐标系中的坐标为(-7,-3,2)2.将坐标原点平移到点Mo(l,2, x2 + y2 + z2 + xy + yz + xz - 7x - 8 y - 9z

2、 +19 = 0.解：移轴公式x = x+1, y = y+ 2, z = z+ 3 .在移轴变换下，方程(1)变为3x 一 5 +6z + 10= 0 方程(2)变为斗一半一2方程变为x 2 + y 2 + z 2 + x +x十一6 = 0 y z)处，试变换下列方程.(1) 3 x - 5 y + 6 z -1 = 0 ；(2)y-2z-33.已知转轴后的新坐标系的三个坐标向量为 i(-1 2 2)(3,3,3),k = (|,|,-1),试求转轴公式和点M(-1,1,0)在新坐标系中的坐标.解: 转轴公式为1 22x = 一一 x+ y+ z,3332 12 y = 一x-_y + z

3、 ,3 332 2 1 z = 一x + y-_z ,333点M在新坐标系中的坐标为(1,-1,0).4.由坐标系O;i, j,k经转轴变为新坐标系O;i, j,k , i, j,k在原系O;i, j,k中的分量分别为i=（歸肖 j二（-吉 W,2,-2,咅）.已知向量v在O;i, j,k中的分量为（1,1,1）,求它在O;i, j,k中的分量.提示:v二i-j+k,且i=2i-咅j-2k,j=2iVj一2k,k诂i+吉k.故v在O;i, j,k中的分量为5. 已知相互垂直的三条直线yl : x = y = z, l : x = z, l : x = z, y = 0 ,1223试求以这三条直

4、线为新坐标轴的坐标变换公式.提示: 三直线相交于点（0,0,0）. 取三直线的方向向量, 要求构成右手系并将它们单位 化, 这样便得到新坐标系的三个坐标向量. 坐标变换公式为x x +-6y+1 2 y 二 3 x 帀y,1 ,1 ,z = x +y 一存.扫z,6.试将方程2x + y + 2z + 5 = 0用适当的坐标变换变为x = 0.提示：作平移x二x 1, y二y 1, z二z 1,将原方程变为2x+ y + 2zQ取它212的法向量n。= （3,3,3）作为x轴的方向，即令i= “。.取垂直于i的任意单位向量作为j,例如j=（吉，0,-2 2迈迈_,再令k = i x j=（一,

5、）.经坐标变换6362 亠迈迈3 26y = x + z 1,33 72 迈1z = x y z 1. 26已知平面方程变为x = 0.2.选择题1.在平移变换下，一点的旧坐标为(3,2,1),而新坐标为(1,4,-2),试求平移变换公式题目编号：5.1.1题目难度：易本题分数：5A*x = x+ 2, y = y- 2, z = z+ 3Bx = x- 2, y = y- 2, z = z+ 3Cx = x- 2, y = y+ 2, z = z+ 3Dx = x- 2, y = y+ 2, z = z 一 32已知点A(-1,2,3)平移后在新坐标系的xOy平面上，点B(3,1,2)在yO

6、z平面 上,点C(4,0,1)在zOx平面上，试求满足上述条件的移轴公式题目编号：5.1.2题目难度：中本题分数：5Ax = x- 3, y = y, z = z+ 3Bx = x- 2, y = y- 2, z = z+ 3Cx = x- 2, y = y+ 2, z = z+ 3D*x = x+ 3, y = y,z = z+ 33 利用平移化简方程x 2 + y 2 一 4 z 2 一 4 x 一 y 一 4 z 一 3 = 0 ,并指出它表示何种曲面.题目编号：5.1.3题目难度：中本题分数：5A25x2 + y2 4z2它表示旋转单叶双曲面16B*25x 2 + y 2一4z 2,匕

7、表示旋转单叶双曲面4C25x 2 + y2 16z2它表示旋转单叶双曲面16D25x2 y2 +16z2它表示旋转单叶双曲面164 利用绕轴旋转消去曲面方程z = x 2 + xy + y 2中的交叉项, 并指出它表示的曲面.题目编号：5.1.4题目难度：中本题分数：5A25x 2 + y 2 一 4z 2 匕表示旋转单叶双曲面16B*31z x 2 + y 2,匕表示椭圆抛物面C25x 2 + y2 16z2它表示旋转单叶双曲面16Dz 2x 2+2 y 2匕表示椭圆抛物面.习 题 4.2 利用转轴化简二次曲面方程 1.简答题1. 试求二次曲面F (x, y, z) = a x2 + a y

8、2 + a z 2 + 2a xy + 2a xz + 2a yz11 22 33 12 13 23+ 2a x + 2a y + 2a z + a = 014 24 34 44在移轴变换x二x+ x , y二y+ y , z二z+ z下的新方程.0 0 0解:略2. 求下列二次曲面特征方程的特征根.(1) x2 + 3y2 + 3z2 一 2yz 一 2x 一 2y + 6z + 3 = 0 ；(2) 2x2 + 5y2 + 2z2 一2xy + 4xz一2yz +14x一 16y + 24z = 0；(3) x2 + y2 + z2 + 4xy 一 4 yz 一 3 = 0 ；(4) 4x

9、2 + y2 + z2 + 4xy + 4xz + 2yz一24x + 32 = 0.解:(1)特征方程一九3 + 7九2 14九+ 8二0的特征根为1,2,4;(2) 特征方程一九3 + 9九2 18九=0的特征根为6,3,0;(3) 特征方程一九3 + 3九2 + 9九+ 5 = 0的特征根为5,-1,-1;(4) 特征方程一九3 + 6九2 = 0的特征根为0,0,6.3. 试求下列曲面的主方向.(1) 2 x 2 + 2 y 2 一 5 z 2 + 2 xy 一 2 x 一 4 y 一 4 z + 2 = 0 ；(2) x2 + y 2 + 5 z 2 一 6xy 一 2xz + 2

10、yz 一 6x + 9 = 0 ；(3) 7 x2 - 8 y2 - 8z2 + 8xy - 8xz 一 2yz -16x +14 y - 5 = 0.解：(1)特征根九二1对应的主方向为1： (-1):0,特征根九二3对应的主方向为1：1： 0,12特征根九=-5对应的主方向为0: 0:1 .3(2) 特征根为 6,3,-2, 对应的主方向分别为(-1):1: 2 ,1: (-1):1 ,1:1: 0 ;(3) 特征根为 9,-9,-9, 对应于特征根9的主方向为4:1: (-1), 对应于二重特征根-9的主方向为平行于平面4x + y - z二0的一切方向.4. 用旋转变换化简下列方程,

11、并写出坐标变换公式.(1) 2 x 2 + 5 y 2 + 5 z 2 + 4 xy - 4 xz - 8 yz -1 = 0 ；(2) x2 + 3 y 2 + 3 z 2 - 2 yz - 2x - 2 = 0 ；(3) 5x2 + 8 y2 + 5z2 + 4xy - 8xz + 4yz - 27 = 0 ；(4) x2 + 4 y 2 + 9 z 2 - 4 xy + 6 xz -12 yz + 4x - 8 y +12 z + 4 = 0.解: (1)二次曲面的特征根为1,1,10.与二重特征根1对应的主方向平行于平面x + 2y-2 z = 0,可选取l : m : n二2:(-1

12、):0, l : m : n二2:4:5 .与特征根10对应的主方向 1 1 1 2 2 2l : m : n = (-1):(-2):2. 经旋转变换333(221)xx3书3142y一厉诽3y52z丿0 k3炳3丿z丿原方程化简为x 2 + y 2 +10 z 2 = 1;(2)二次曲面的特征根为1,2,4,对应的主方向分别为1:0:0, 0:1:1, 0:(-1):1,经绕x轴的旋转变换y1yT zy1y7曲面方程化简为 x 2 + 2y 2 + 4z 2 2x 2 = 0 ；曲面的特征根为9,9,0,简化方程为9x2 + 9y 2 27 = 0或x2 + y 2 = 3 ,坐标变换公式

13、为_ 1,1 , 2 , x = = x + = y + z , 23卫 3=4 1 y =近 y 3 z,1 1 2z =巨 x+ 帀 y+ 3z; 曲面的特征根为0,0,14,简化方程为14 z 2+ %T4z+ 4 = 0或(近4z+ 2)2 = 0.坐标变换公式是0/ 27515. 设空间任一点M(x,y,z)经旋转变换后的坐标为(x,y,z),证明：x2 + y2 + z2 = x2+ y2+ z2.证明：略6. 已知曲面方程为(2x + y + z)2 (x y z)2 = y z , 试判断它是什么曲面.解:考虑三个平面兀:2x + y + z = 0 ,兀：x y z = 0,

14、兀：y z = 0,它们两两垂直且1 23交于点 (0,0,0) . 以三平面的法向量作为新坐标系的三个坐标轴的方向向量, 得坐标变换为一一、 丿xyz0(x、r x、1 石yy1z丿迈丿1z丿2 一V613O1 一31 12 - - - 2爲丄6丄6丄V61V31 一2 丄761 _3丄2、 丿xyz、 丿从而曲面在新坐标系中的方程为G. 6x)2 -&3y)2二迈z,即x 2y22z故曲面是双曲抛物面.习 题 4.3 二次曲面分类 1.简答题化简下列二次曲面方程为标准形式, 并指出曲面形状.1. x 2 + y 2 + 5 z 2 一 6 xy + 2 xz 一 2 yz 一 4 x +

15、8 y 一 12 z +14 = 0 ；2. 2x2 + 2y2 + 3z2 + 4xy + 2xz + 2yz 一 4x + 6y 一 2z + 3 = 0 ；3. 2x2 + 5y2 + 2z2 一 2xy 一 4xz + 2yz + 2x 一 10y 一 2z 一 1 = 0 ；4. 4x2 一 y2 一 z2 + 2yz一 2y + 4z +1 = 0；5. x2 + y2 + 9z2 一 2xy + 6xz 一 6yz 一 2x + 2y 一 6z = 0 ；6. y2 一xy + xz一 yz + 2x一2y = 0.解：1.简化方程6x2 + 3y2一2z2 + 6二0,标准方程

16、x2y2z 2双叶双曲面.2.简化方程2x2 + 5y2-52z2 = 0,标准方程x 2y 2肓 P = 2 z，椭圆抛物面.3.简化方程3x2 + 6y 2-6二0,标准方程二 + y 2 = 1,2椭圆柱面.4.简化方程4x2-2y2 = 2z,标准方程x 2 y 2_ 二 2 z ,2 v2T T双曲抛物面.5.简化方程 llx2-2“Ix-0, 标准方程 X 2 - +，其中 x - x-晋，y - y, z - z , 它表示二平行平面.6.标准方程3x2-y2 -0,二相交平面.习 题 4.4 二次曲面的不变量1简答题l. 利用不变量求下列二次曲面的简化方程, 并指出它表示什么曲

17、面.(1) x2 + y2 + z2 + 4xy-4xz-4yz-3 - 0；(2) x2 - 2 y 2 + z 2 + 4xy - 8 xz - 4 yz -14x - 4 y +14 z +16 - 0 ；(3) 2x2 + 5 y2 + 2z2 - 2xy - 4xz + 2 yz + 2x -10 y - 2z -1 - 0 ；(4) 4x2 + 2 y 2 + 3 z 2 + 4xz - 4 yz + 6x + 4 y + 8 z + 2 - 0 ；(5) 4x2 + y2 + z2 + 4xy + 4xz + 2yz-24x + 32 - 0；(6) 5x2 + 5y2 + 8z

18、2 -8xy-4xz-4yz - 0.解：(1) I - 5 丰 0, I - 3,I - -9 0, I - -15 0 .特征根为 5, -1, -1.简化方程 31245x2 - y2 - z2 -3- 0(略去撇号,下同), 旋转双叶双曲面；(2) I -54 丰 0,I - 0,I - -27 0, I - 9, K - -108 .特征根为 3,6,0.简化方程 3x2 + 6y234212-6 - 0 , 椭圆柱面； I = 0, I =162,1 = 18, I = 9.特征根为 3,6,0.简化方程 3x2 + 6y2 - 6z = 0(或 34213x2 + 6y2 + 6

19、z二0),椭圆抛物面；(5) I = I = I = 0,K = -288,I = 6.特征根为 6,0,0.简化方程6x2 -83y = 0(或342216x2 + 8打y二0),抛物柱面；(6) I = I = K = 0, I = 18, I = 81.特征根为 9,9,0.简化方程9x2 + 9y2 = 0,直线342122. 问d为何值时，方程2y2 + 4xz + 2x - 4y + 6z + d二0表示一个锥面？解:略3. 已知二次曲面的不变量I二0,I丰0,证明I I 0.3424证明:略4. 已知二次曲面的不变量I = I = I = 0,证明：若K丰0 ,贝0IK 0.2

20、3421 2证明：略.5. 求曲面a(x2 + 2yz) + b(y2 + 2xz) + c(z2 + 2xy) = 1, abc 丰 0是旋转曲面的条件.解：1I = a + b + c , I = ab + ba + ca -a2 -b2 -c2 二一 (a -b)2 + (b-c)2 + (c-a)2 1 2 25 0 , I = 3abc a3 b3 c3 I I , I I .特征方程是一九3 +1 九2 I X +1 = 0,即 31243123(九I)(九2 +1 ) 0.特征根为 X I,九J-1 ,九、：一I .1 2112232由不变量表示二次曲面的简化方程可看出 , 二次

21、曲面为旋转曲面的条件是特征根有非零重根.据此，需I 0(即a,b,c不全相等)，且X X或X X .而2 1213X X 或 X X12 I1 21312o (a + b + c)2 a2 + b2 + c2 - ab - bc - cao ab + bc + ca 0,因此原方程表示旋转曲面的条件是ab + bc + ca 06. 证明二次方程F(x,y,z) 0表示圆柱面的条件是I I 0 , 12 41 ,3 412I K 0.12证明：若F(x, y, z) 0表圆柱面，则标准方程为Xx2 + X y 2 + K2 0, X H 0, X - K2 0且12 41 ,并且九2 0 可推

22、得I K 0.3 41212I1 22反之，若I I 0, 12 41 , IK 0和IK 1时，X ,X同号，I 0,曲面为椭圆抛物面；2 342(2) 当k 0,I 0,曲面为双曲抛物面；2 342(3) 当k = 1时，I I I 0 , K 0时，中心的轨迹是以(-,0,0)为中心的单叶双曲面，其虚轴平行于z 轴；d(2) 当a, b 0, c 0,b,c 0时，轨迹是以(-,0,0)为中心的单叶双曲面，其虚轴平行于y输习 题 4.6 二次曲面的径面1.简答题1. 求下列二次曲面的奇向.(1) 5x2+2y2+2z22xy+2xz4yz4y4z+4=0；(2) 9x24y291z2+1

23、8xy40yz36=0；(3) x2 + y2 + 4z2 + 2xy-4xz一4yz-4x-4y + 8z = 0.解:(1) 0:1:1 ； 无奇向； 平行于平面x + y - 2z二0的方向都是奇向.2. 已知曲面6x2 + 9y2 + z2 + 6xy-4xz-2y-3二0,求平行于平面x + 3y-z + 5 = 0 的径面和与它共轭的方向.解：径面方程为x + 3y-z-1二0,与之共轭的方向是2: (-1):5 .3. 求下列二次曲面的主方向和主径面, 写出曲面的简化方程以及所使用的直角坐标变换.(1) x 2 + y 2 + 5 z 2 - 6 xy - 2 xz + 2 yz

24、 - 6 x + 6 y - 6 z +10 = 0 ；(2) 2xy + 2xz + 2yz + 9 = 0；(3) 2 y2 - 2xy - 2 yz + 2xz + 2x + y - 3z - 5 = 0解: (1)与特征根6对应的主方向为-1:1:2,与它共轭的主径面为-x + y + 2z二0；与 特征根3对应的主方向为1:(-1):1，与它共轭的主径面为x-y + z-3 = 0；与特征根-2对 应的主方向为1：1：0,与它共轭的主径面为x + y二0.曲面的简化方程是6x2 + 3y2-2z2+1 = 0,双叶双曲面使用的直角坐标变换为f 111x 二一 x + y + z+1,

25、联 忑 迈1 1 1 ,y二乔x-T3y+72z-1,2 1：飞 x+苗+1；(2)与特征根2对应的主方向1:1:1,与它共轭的主径面为x + y + z二0；与二重特征根 -1对应的主方向为平行于平面x + y + z二0的一切方向，于是过曲面中心(0,0,0)且垂直于 x + y + z二0的一切平面皆为主径面.曲面简化方程为-x 2 - y 2 + 2 z 2 + 9二0,旋转单叶 双曲面. 使用的直角坐标变换为几、/ 111 )(x、苗x111yy乔葯0k21z丿忑丿z丿(3)与特征根3对应的主方向为1 : + 2),:与它共轭的主径面为2x- 4y + 2z- 1 -；0与特征根-1

26、对应的主方向为1：0：1)与它共轭的主径面为2x-2z-5 = 0；与特征根0对应的主方向为1：1：1 .曲面的简化方程是3x2 y 2 2二0,双曲柱面. 使用的直角坐标变换为_ 1 , 1 , 1 , 2x = x + = y + 尸 z + ,76 迈 书 32 1 11 y = -t= x+ = z-匚，.76 亦 6_ 1,1,1,7z 产 x = y + + = z . 来 近 品 64. 证明： 过中心二次曲面的中心的任何平面都是径面 证明：设中心曲面方程为F (x, y, z)二0,则F (x, y, z) 0,11F ( x, y, z) 0,2F (x, y, z) 03有

27、惟一解, 即曲面的中心. 方程XF(x,y,z)+YF (x,y,z)+ZF (x,y,z)0123(其中 X,Y,Z 是不全为零的任意实数 )表示过中心的任意平面 , 它恰是共轭于方向 X ：Y：Z 的径面方程, 所以过中心的任意平面一定是中心曲面的径面.5. 求下列三次二次曲面的公共径面：x2 + y2 + z 2 -2x+4y-11 0,3y2 +4xy-2xz+6z+50,6x2-3y2+2z2+4xy-8xz-4x+4y-50.解：三个曲面都是中心曲面，因13都不为零它们的中心分别是(1,-2,0) ,(3,-2,-4),(-1,0, -2).这三点确定的平面方程为2x + 3y +

28、 z + 4 0就是所求的三个已知曲面的公共径面.6二次曲面通过点(0,0,0) , (1,1,1), (0,0,1),并且主径面是下列三个平面: x + y + z = 0,2x y z = 0,y z +1 = 0,求这个曲面的方程.解: 二次曲面的三个主径面两两垂直, 说明曲面是中心曲面. 将三个主径面作为新坐标系的坐标平面, 作坐标变换(x + y + z), (2x yz), (y z +1),点 (0,0,0),(1, 1,1),(0,0,1) 在新系下的坐标分别为(0,0,0) .将点 (0,0,占丄正帀厂飞2丄不6,0) 代入上述方程, 得因为曲面是中心曲面, 可假定在新系下的

29、方程为,Ax 2 + By 2 + Cz 2 + D 01-C + D 0,2 1A + 2 B +1C + D 0,3 321A +1B + D 0.3 6解得A 4D,B 2D,C 2D ,于是式为4 x 2 + 2 y 2 2 z 2 +1 0, 将式代入上式, 得所求曲面方程为y 2 + z 2 + 2 xy + 2 xz + y 一 z 0 .2.选择题1.已知曲面 x2 + 2y2 z2 2xy一2xz一2yz一4x一7 0 ,求与方向 1: (1):0共轭的 径面方程题目编5.6.1题目难度：中本题分数：5号：A2 x - 3 y + 2 = 0B*2 x 3 y 2 = 0C2

30、 x + 3 y + 2 = 0D2 x + 3 y - 2 = 0.习 题 4.7 二次曲面的切线和切平面1.简答题1.求二次曲面 X2 - y2 + z2 + xy + 2xz + 4yz - x + y + z +12 二 0 在点（1,一2,1）处的切平面和法线方程.解切平面方程为x +10y-3z + 22二0,法线方程是2. 求椭球面x2z 2+ y 2 +24的切平面，使它平行于平面2x + 2y + z + 5 = 0.11解：曲面在点(1,-,1)的切平面2 x + 2 y + z - 4二0 ,在点(-1,，- 1的切平面厶厶2 x + 2 y + z + 4 = 0 .3

31、.求曲面4 x 2 + 6 y 2 + 4 z 2 + 4 xz - 8 y - 4 z + 3二0的切平面，使它平行于平面x + 2 y + 5 = 0.2 1 51解：曲面在点（一,）和（0,1,才）的切平面分别为x + 2y = 0与x + 2y 一 2 = 03 3 624 求通过直线x _ y 一 1 _ z +12 _并且与曲面4x2 + 6y2 + 4z2 + 4xz -8y -4z + 3 = 0相切的平面.解： x+2y-2=0, 25x-112y-54z+58=05.求通过原点并且与曲面x2 - 2yz - 2y + 4z -3 = 0相切，又与直线x -1 _ y _ z

32、 +1厂-T相交的直线方程.解：设所求直线方程为X二tX, y二tY, z二tZ .因与曲面相切，故3X 2 + Y2 + 4Z2 - 10YZ _ 0.又与已知直线相交, 因而X YZ2 1-1 _ 0,即X - Y + Z _ 0.1 0-1解得X : Y : Z二1: (-1): (-2)和5:7:2,所求直线为x _ y _ zx _ y _ z1_ -1_ -25_7_2,6. 从原点向椭球面兰+兰+兰_ 1a 2 b2c 2的切平面引垂线, 求垂足的轨迹方程.解:过曲面z _ axy上点(x0 y0, z0)的切平面万程是a(yx+xy)_z+z,0 0 0由原点向切面所作垂线的方

33、程为x _ y _ z ay ax -100又z _ ax y .00由消去xo, yo, zo,得垂足的轨迹方程为az (x 2 + y 2 + z 2) + xy = 0.7. 试证中心二次曲面(除锥面外)的切平面平行于切点与中心连线方向的共轭径面.证明：设中心曲面的方程为ax2 + by2 + cz2二1,中心为(0,0,0).过点(x , y , z )的切 000平面方程为ax x + by y + cz z-1二0,又切点与中心连线的方向为x : y : z ,与它共轭的0 0 0 0 0 0径面方程为ax x + by y + cz z二0,可见该径面与切平面平行0002,选择题

34、1求证平面8 x - 6 y - z - 5 = 0与抛物面x 22相切, 并求切点坐标.题目编5.7.1题目难度：中本题分数：5A*(8,9,5)B(8,9,6)C(8,9,-5)D(8,-9,5).2给定球面x2 + y2 + z2 -14 x 2 z + 34二0,求以点(2,1,1)为顶点的切锥面方程.题目编号：5.7.2题目难度：中本题分数：5A15(x + 2)2 - 9(y +1)2 -10(z +1)2 -10(x - 2)(y -1)二 0B15(x - 2)2 - 9(y +1)2 -10(z +1)2 -10(x - 2)(y -1)二 0C15(x - 2)2 - 9(

35、y +1)2 -10(z -1)2 -10(x - 2)(y -1)二 0D*15(x - 2)2 - 9(y -1)2 -10(z -1)2 -10(x - 2)(y -1)二 0 .3求二次曲面x2 -3y2 + z2 -2二0上具有方向1： 2: 2的切线的轨迹题目编号：5.7.3题目难度：中本题分数：5A8 x 2 +15 y 2 + 11z 2 +12 xy + 4 xz + 24 yz +14 = 0B8 x 2 +15 y 2 + 11z 2 +12 xy + 4 xz + 24 yz -14 = 0C*15(x - 2)2 - 9(y +1)2 -10(z -1)2 -10(x

36、 - 2)(y -1)二 0D8 x 2 +15 y 2 + 11z 2 +12 xy + 4 xz - 24 yz -14 二习 题 4.8 平面二次曲线简介1.简答题1. 利用旋转变换消去下列方程的交叉项.(1) x2 一2xy + y2 + 2x一2y 一3 = 0；C 兀解：取转角e二转轴公式为 9x2 - 24xy +16y2 + 20x +15y - 50 = 0 .x (x一 y )，y=2(x+ y ).简化方程为 2 y 2 - 2 迈y- 3 0.711(2)取转角e满足cos9 转轴公式为x -(4x-3y),y -(3x+ 4y),简化方IJJ程为 y 2+x 2 0.

37、2. 求下列二次曲线的中心, 主方向与主直径.(1)5x2 + 8xy + 5y2 一 18x一 18y + 9 0； 9 x 2 一 24 xy +16 y 2 一 18 x 一 101 y +19 0 ；(3) x2 + y2 + 4x 一 2 y +1 0 .解:(1)中心为(1,1),主方向为1： (一1)，1：1 .主直径方程为x一 y 0,x + y 一2 0 ；(2)无中心.主方向为3:(4), 4:3 .主直径方程为3x一I 4,I I 0,K -8 ,简化方程为 2y 2-4 0,标准方程为 y 士*2 1231y + 7 0；(3) 中心为(一2,1), 任意方向都是主方向

38、, 过中心的任意直线都是主直径3. 利用不变量求下列二次曲线的标准方程.(1) 6xy + 8 y2 一 12x 一 26 y +11 0 ；(2) x2 一2xy + y2 一 10x一6y + 25 0；(3) 5x2 一 6xy + 5y2 一 62x + 2*2y 一 4 0 ；(4) x2 一2xy + y2 + 2x一2y 一3 0.1解: (1) 1 &1 一9,/ 81,特征根为9,1,特征方程为x2- y2 1 ；1239(2) I 2, I 0, I -64 ,简化方程为 2y2 士 232x 0,标准方程为 y2 42x 或123y 2 一4、，2 x ；1(3) I 10, I 16, I -128 ,特征根为 2,8 ,标准方程为一 x 2 + y 2 1 ；12344. 化简二次曲线方程并画出它的图形.(1) x 2 一 xy + y 2 + 2 x 一 4 y = 0 ；(2) x2 + 4xy + 4 y 2 +12 x 一 y +1 = 0 .解:13(1)简化方程-x 2 + - y 2 - 4 二 0 ,变换公式为x =( x-v2y,)y =咅(x+ y)+2；简化方程x 2 5 =3x -咅y 一 521希 x+ 5y