中考数学 第七章 图形的变化 图形的轴对称复习课件1.ppt

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1、山西版 数学 图形的轴对称 第七章 图形的变化 课标解读 1 通过具体实例了解轴对称的概念 ， 探索它的基本性质；成 轴对称的两个图形中 ， 对应点所连的线段被对称轴垂直平分 2 能画出简单平面图形 (点、线段、直线、三角形等 )关于给定 对称轴的对称图形 3 了解轴对称图形的概念；探索等腰三角形、矩形、菱形、 正多边形、圆的轴对称性 4 认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形 根据山西近几年对本节内容的考查涉及对称轴、轴对称的性 质 ， 基本在选择、填空题中考查 ， 有时也会在综合题中涉及轴对 称的性质预计 2016年山西中考仍会在选择题中考查轴对称的性 质 ， 或在解答题中可能会结合折叠

2、、相似及探究性问题考查对称 的相关知识 1 轴对称与轴对称图形： (1)把一个图形沿着某一条直线折叠 ， 如果它能够与 _图 形重合 ， 那么就说这两个图形成 _， 这条直线叫做 _ ， 折叠后重合的点是对应点 (2)如果一个图形沿一条直线折叠 ， 直线两旁的部分能够互相重 合 ， 这个图形就叫做 _， 这条直线就是它的 _ 另一个 轴对称 对称轴 轴对称图形 对称轴 2 图形轴对称的性质： (1)轴对称性质：成轴对称的两个图形 _， 对应边和对应 角分别 _；如果两个图形关于某条对称轴对称 ， 那么对称 轴是任意一对对应点所连线段的 _； (2)轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任意一对

3、对应点 所连线段的 _， 对应线段 ， 对应角 _ 全等 相等 垂直平分线 垂直平分线 相等 3 图形折叠的性质： (1)折叠部分的图形折叠前后 ， 关于折痕成轴对称图形 ， 且两图 形全等； (2)折叠前后对应点的连线段被折痕垂直平分 4 作轴对称图形： 几何图形都可以看作由点组成 ， 只要分别作出这些点关于对称 轴的对应点 ， 再连接这些对应点 ， 就可以得到原图形的轴对称图 形；对于一些由直线、线段或射线组成的图形 ， 只要作出图形中 的一些特殊点 (如线段的端点 )， 连接这些对称点 ， 就可以得到原 图形的轴对称图形 5 常见的轴对称图形： 线段、角、等腰三角形 ， 等边三角形 ，

4、矩形 ， 菱形 ， 正方形 ， 正多边形 ， 圆等 1 轴对称与轴对称图形的区别和联系 区 别 ： 轴对 称 图 形是一个具有特殊 性 质 的 图 形 ， 而 图 形的 轴对 称是 说 两个 图 形之 间 的位置关系； 联 系：若把 轴对 称的两个 图 形 视为 一个整体 ， 则 它就是一个 轴 对 称 图 形；若把 轴对 称 图 形在 对 称 轴 两旁的部分 视为 两个 图 形 ， 则这 两个 图 形就形成 轴对 称的位置关系 因此 ， 它 们 是部分与整 体、形状与位置的关系 ， 是可以 辩证 地互相 转 化的 2 镜面对称原理 (1)镜 中的像与原来的物体成 轴对 称 (2)镜 子中的像

5、改 变 了原来物体的左右位置 ， 即像与物体左右位 置互 换 3 建立轴对称模型 在解决 实际问题时 ， 首先把 实际问题转 化 为 数学模型 ， 再根据 实际 以某直 线为对 称 轴 ， 把不是 轴对 称的 图 形通 过轴对 称 变换补 添 为轴对 称 图 形 有关几条 线 段之和最短的 问题 ， 都是把它 们转 化到同一条直 线 上 ， 然后利用 “ 两点之 间线 段最短 ” 来解决 C 命题点：图形的对称 1 (2013.山西 )如图 ， 正方形地砖的图案是轴对称图形 ， 该图 形的对称轴有 ( ) A 1条 B 2条 C 4条 D 8条 A 2 (2011山西 )将一个矩形纸片依次按图

6、 、图 的方式对折 ， 然后沿图 中的虚线裁剪 ， 最后将图 的纸再展开铺平 ， 所得到的 图案是 ( ) 3 (2015山西 )晋商大院的许多窗格图案蕴含着对称之美 ， 现 从中选取以下四种窗格图案 ， 其中是中心对称图形但不是轴对称 图形的是 ( ) B D 识别轴对称图形 【 例 1】 (2015绵阳 )下列图案中 ， 轴对称图形是 ( ) 【 点评 】 判断 图 形是否是 轴对 称 图 形 ， 关 键 是理解、 应 用 轴对 称 图 形的定 义 ， 看是否能找到至少 1条合适的直 线 ， 使 该图 形沿着 这 条直 线对 折后 ， 两旁能 够 完全重合 若能找到 ， 则 是 轴对 称

7、图 形；若找不到 ， 则 不是 轴对 称 图 形 对应训练 1 (1)(2015赤峰 )下面四个 “ 艺术字 ” 中 ， 轴对称图形的个数是 ( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 (2)(2015徐州 )下列图形中 ， 是轴对称图形但不是中心对称 图形的是 ( ) A 直角三角形 B正三角形 C 平行四边形 D正六边形 A B 轴对称性质的应用 【 例 2】 (2015绥化 )如图 ， 在矩形 ABCD中 ， AB 10， BC 5.若点 M， N分别是线段 AC， AB上的两个动点 ， 则 BM MN的 最小值为 ( ) A 10 B 8 C 5 D 6 【 点评 】 求两条 线

8、段之和 为 最小 ， 可以利用 轴对 称 变换 ， 使 之 变为 求两点之 间 的 线 段 ， 因 为线 段 间 的距离最短 B 对应训练 2 (2015南宁 )如 图 ， AB是 O的直径 ， AB 8， 点 M在 O上 ， MAB 20 ， N是弧 MB的中点 ， P是直径 AB上的一 动 点 若 MN 1， 则 PMN周 长 的最小 值为 ( ) A 4 B 5 C 6 D 7 B B 折叠问题 【例 3 】 ( 1) ( 20 15 泰安 ) 如图 ， 矩形 A B C D 中 ， E 是 AD 的中点 ， 将 A B E 沿直线 BE 折叠后得到 G B E ， 延长 BG 交 CD

9、 于点 F. 若 AB 6 ， BC 4 6 ， 则 FD 的长为 ( ) A 2 B 4 C . 6 D 2 3 (2)(2015嘉兴 )如 图 ， 一 张 三角形 纸 片 ABC， AB AC 5.折叠 该 纸 片使点 A落在 边 BC的中点上 ， 折痕 经过 AC上的点 E， 则线 段 AE 的 长为 _ 【 点评 】 折叠的 过 程 实际 上就是一个 轴对 称 变换 的 过 程， 轴对 称 变换 前后的 图 形是全等 图 形， 对应边 相等， 对应 角相等 2.5 对应训练 3 (2015山西百校联考 )探究学习：矩形折纸中的数学 动手操作：如图 ， 四边形 ABCD是一张矩形纸片 ，

10、 AB 3 cm ， AD 4 cm.点 E， F分别在 AD， BC边上 ， 连接 BE， DF， 且 BE DF.将 BAE， DCF分别沿 BE， DF折叠 ， 点 A， C分别 落在点 A， C处 数学思考： (1 ) 当四边形 E B F D 成为菱形时 ， 求出 AE 的长度； ( 2 ) 填空：折叠过程中 ， 点 A ， C 如果正好落在矩形的对角 线 BD 上 ， 则 AE 的长度为 _ ； 猜想探究： ( 3 ) 如图 ， 折叠过程中 ， A E 和 C D 交于点 G ， A B 和 C F 交于点 H ， 则四边形 A GC H 是什么特殊四边形？请说明理由； ( 4 )

11、 填空：如图 ， 连接 A C ， 当 A C ED 时 ， AE 的长度为 _ _ 3 2 3 解： ( 1 ) 当四边形 E BF D 是菱形时 ， 设 AE x cm ， 则 EB ED (4 x) cm . 在 Rt A BE 中 ， 勾股定理得 AE 2 AB 2 BE 2 ， 即 x 2 3 2 (4 x) 2 ， 解得 x 7 8 . 当四边形 E BF D 是菱形时 ， AE 7 8 (3)四边形 AGCH是矩形 ， 理由如下： 四边形 ABCD是矩形 ， A C ADC 90 ， AD BC， 由轴对称的性质可知 A A 90 ， C C 90 ， AEB AEB， DFC

12、DFC， CDF CDF， DF BE， ED BF， DFC EBC AEB.在 Rt DFC中 ， DFC FDC 90 ， 在 DEG中 ， DEG 180 2 AEB 180 2 DFC ， EDG 90 2 FDC， EGD 180 DEG EDG 180 (180 2 DFC) (90 2 FDC) 2( DFC FDC) 90 180 90 90 ， CGA EGD 90 ， 四边形 AGCH是矩形 试题 设 M是边长为 2的正 ABC的边 AB上的中点 ， P是边 BC 上的任意一点 ， 求 PA PM的最小值 错解 当点 P 为 BC 中点时 ， PA PM 的和最小 M 是

13、 AB 的中点 ， PM 是 AB C 的中位线 ， 且 AP BC ， PM 1 2 AC 1 2 2 1 ， PA 2 2 1 2 3 ， PA PM 1 3 . 剖析 求两条 线 段之和 为 最 小 ， 应选 用 线 段的垂直平分 线 、角平 分 线 、等腰三角形的高作 为对 称 轴 来解 题 作正 AB C 关于 BC 的对称图形 A B C ， M 是 M 的对称点 ， 故 M 是 A B 的中点 ， PM PM ， PA PM PA P M AM . 连接 C M ， 易知 A C M 90 ， AM AC 2 C M 2 2 2 （ 3 ） 2 7 正解 解： 2 0 1 6 年

14、中考预测题 1 如图 ， 已知正方形 A B CD 的对角线长为 2 2 ， 将正方形 A B CD 沿直线 EF 折叠 ， 则图中阴影部分的周长为 _ _ 8 2 如图 ， 在锐角三角形 A B C 中 ， BC 4 2 ， A B C 45 ， BD 平分 A B C ， M ， N 分别是 BD ， BC 上的动点 ， 则 CM CN 的最小值是 _ _ 4 一、选择题 (每小题 5分 ， 共 25分 ) 1 (2015日照 )下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色 食品标志 ， 在这四个标志中 ， 是轴对称图形的是 ( ) B B 2 ( 2 0 1 5 铜仁 ) 如图 ， 在矩形

15、AB C D 中 ， BC 6 ， CD 3 ， 将 B C D 沿对角线 BD 翻折 ， 点 C 落在点 C 处 ， B C 交 AD 于 点 E ， 则线段 DE 的长为 ( ) A 3 B . 15 4 C 5 D . 15 2 3 (2015遵义 )如图 ， 四边形 ABCD中 ， C 50 ， B D 90 ， E， F分别是 BC， DC上的点 ， 当 AEF的周长最小 时 ， EAF的度数为 ( ) A 50 B 60 C 70 D 80 D D 4 ( 2 0 1 5 本溪 ) 如图 ， 在平面直角坐标系中 ， 直线 AB 与 x 轴交于点 A( 2 ， 0 ) ， 与 x 轴

16、夹角为 30 ， 将 ABO 沿直线 AB 翻折 ， 点 O 的对应点 C 恰好落在双曲线 y k x (k 0) 上 ， 则 k 的值 为 ( ) A 4 B 2 C . 3 D 3 C 5 ( 2 0 1 5 北海 ) 如图 ， 在矩形 OAB C 中 ， OA 8 ， OC 4 ， 沿对角线 OB 折叠后 ， 点 A 与点 D 重合 ， OD 与 BC 交于点 E ， 则点 D 的坐标是 ( ) A (4 ， 8 ) B (5 ， 8 ) C ( 24 5 ， 32 5 ) D ( 22 5 ， 26 5 ) 二、填空题 (每小题 5分 ， 共 25分 ) 6 (2015山西中考适应性训

17、练 )如图 ， 正三角形网格中 ， 已有 两个小正三角形被涂黑 ， 再将图中其余小正三角形涂黑一个 ， 使 整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有 _ _种 3 7 (2015六盘水 )如图 ， 有一个英语单词 ， 四个字母都关于直 线 l对称 ， 请在图上补全字母 ， 并写出这个单词所指的物品 _ _ 书 8 (2015滨州 )如图 ， 在平面直角坐标系中 ， 将矩形 AOCD沿直 线 AE折叠 (点 E在边 DC上 )， 折叠后端点 D恰好落在边 OC上的点 F 处若点 D的坐标为 (10， 8)， 则点 E的坐标为 _ (10， 3) 9 (2015潜江 )如图 ， 在 Rt ABC

18、中 ， ACB 90 ， 点 D在 AB边上 ， 将 CBD沿 CD折叠 ， 使点 B恰好落在 AC边上的点 E处 若 A 26 ， 则 CDE _ 71 10 ( 2 0 1 5 安顺 ) 如图 ， 正方形 A B CD 的边长为 4 ， E 为 BC 上 一点 ， BE 1 ， F 为 AB 上一点 ， AF 2 ， P 为 AC 上一点 ， 则 PF PE 的最小值为 _ _ _ _ 17 三、解答题 (共 50分 ) 11 (10分 )(2015贺州 )如图 ， 将矩形 ABCD沿对角线 BD对折 ， 点 C落在 E处 ， BE与 AD相交于点 F.若 DE 4， BD 8. (1)求

19、证： AF EF； (2)求证： BF平分 ABD. 解： ( 1 ) 证明：在矩形 AB C D 中 ， AB CD ， A C 90 ， B E D 是 B C D 翻折而成 ， ED CD ， E C ， ED AB ， E A. 在 AB F 与 E D F 中 ， A E ， AF B E F D ， AB ED ， ABF E D F ( A A S ) ， AF EF ( 2 ) 在 Rt B C D 中 ， DC DE 4 ， DB 8 ， s in C B D DC DB 1 2 ， C B D 30 ， E B D C B D 30 ， A B F 90 30 2 3 0

20、， A B F D B F ， BF 平分 AB D 12 (10分 )(2015安徽 )如图 ， 在边长为 1个单位长度的小正方 形网格中 ， 给出了 ABC(顶点是网格线的交点 ) (1)请画出 ABC关于直线 l对称的 A1B1C1； (2)将线段 AC向左平移 3个单位 ， 再向下平移 5个单位 ， 画出平 移得到的线段 A2C2， 并以它为一边作一个格点 A2B2C2， 使 A2B2 C2B2. 解： (1)如图所示： A1B1C1即为所求 (2)如图所示： A2B2C2即为所求 13 ( 10 分 ) ( 2 0 1 5 衢州 ) 如图 ， 将矩形 A B C D 沿 DE 折叠

21、， 使顶点 A 落在 DC 上的点 A 处 ， 然后将矩形展平 ， 沿 EF 折叠 ， 使顶点 A 落在折痕 DE 上的点 G 处 再将矩形 AB C D 沿 CE 折 叠 ， 此时顶点 B 恰好落在 DE 上的点 H 处 如图 . ( 1 ) 求证： EG CH ； ( 2 ) 已知 AF 2 ， 求 AD 和 AB 的长 解： ( 1 ) 证明：由折叠知 AE AD EG ， BC CH ， 四边形 AB C D 是矩形 ， AD BC ， EG CH ( 2 ) 解： A DE 45 ， F G E A 90 ， AF 2 ， DG 2 ， DF 2 ， AD AF DF 2 2 ；由折

22、叠知 AE F GE F ， B E C HE C ， G E F H E C 90 ， A E F B E C 90 ， A E F AF E 90 ， B E C A F E ， 在 A E F 与 B C E 中 ， AF E B E C ， A B 90 ， AE BC ， AE F B C E ( A A S ) ， AF BE ， AB AE BE 2 2 2 2 2 2 14 (10分 )如图 ， 将矩形 ABCD沿直线 EF折叠 ， 使点 C与点 A重 合 ， 折痕交 AD于点 E， 交 BC于点 F， 连接 AF， CE. (1)求证：四边形 AFCE为菱形； (2)设 AE

23、 a， ED b， DC c.请写出一个 a， b， c三者之间的数 量关系式 解： (1)证明： 四边形 ABCD是矩形 ， AD BC， AEF EFC.由折叠的性质 ， 可得 AEF CEF， AE CE， AF CF， EFC CEF. CF CE. AF CF CE AE. 四边形 AFCE为菱形 (2)解： a， b， c三者之间的数量关系式为 a2 b2 c2.理由如下：由折叠的性质 ， 得 CE AE. 四边形 ABCD是矩形 ， D 90 . AE a， ED b， DC c， CE AE a.在 Rt DCE中 ， CE2 CD2 DE2， a， b， c三者之间的数量关系

24、 式可写为 a2 b2 c2 15 (10分 )(1)观察发现： 如图 ：若点 A， B在直线 m同侧 ， 在直线 m上找一点 P， 使 AP BP的值最小 ， 作法如下：作点 B关于直线 m的对称点 B， 连接 AB， 与直线 m的交点就是所求的点 P， 线段 AB的长度即为 AP BP的最小值 如图 ：在等边三角形 A B C 中 ， AB 2 ， 点 E 是 AB 的中点 ， AD 是高 ， 在 AD 上找一点 P ， 使 BP PE 的值最小 ， 作法如下： 作点 B 关于 AD 的对称点 ， 恰好与点 C 重合 ， 连接 CE 交 AD 于 一点 ， 则这点就是所求的点 P ， 故

25、BP PE 的最小值为 _ _ _ _ ( 2 ) 实践运用： 如图 ：已知 O 的直径 CD 为 2 ， AC 的度数为 60 ， 点 B 是 AC 的中点 ， 在直径 CD 上作出点 P ， 使 BP AP 的值最小 ， 则 BP AP 的最小值为 _ _ 3 2 (3)拓展延伸： 如图 ：点 P是四边形 ABCD内一点 ， 分别在边 AB， BC上作出 点 M， 点 N， 使 PM PN MN的值最小 ， 保留作图痕迹 ， 不写作 法 解： ( 1 ) 观察发现 CE 的长为 BP PE 的 最小值 ， 在等边 三角形 A B C 中 ， AB 2 ， 点 E 是 AB 的中点 CE AB ， B C E 1 2 B C A 30 ， BE 1 ， CE 3 BE 3 ( 2 ) 实践运用如 图 ， 过 B 点作弦 BE CD ， 连接 AE 交 CD 于 P 点 ， 连接 OB ， OE ， OA ， PB ， BE CD ， CD 垂直平分 BE ， 即点 E 与点 B 关于 CD 对称 ， AC 的度数为 60 ， 点 B 是 AC 的中点 ， BO C 30 ， A OC 60 ， E OC 30 ， A O E 60 30 90 ， OA OE 1 ， AE 2 OA 2 ， AE 的长就是 BP AP 的最小值故答案为 2 ( 3 ) 拓展延伸如图 ：