相遇与追及问题

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1、相遇与追及知识框架、相遇甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后两人在途中相遇，实质上是甲和乙一起走了 A,B之间这 段路程，如果两人同时出发，那么甲乙甲乙 必，3 AB0时刻隹备出发时可t后相遇相遇路程=甲走的路程+乙走的路程=甲的速度X相遇时间+乙的速度X相遇时间=（甲的速度+乙的速度）X相遇时间=速度和X相遇时间.一般地，相遇问题的关系式为：速度和X相遇时间=路程和，即S =V t和 和二、追及有两个人同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他. 这就产生了“追及问题”实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的路程，也就是 要计算两人走的路

2、程之差（追及路程）如果设甲走得快，乙走得慢，在相同的时间（追及时间）内：追及路程=甲走的路程-乙走的路程=甲的速度X追及时间-乙的速度X追及时间=（甲的速度-乙的速度）X追及时间=速度差X追及时间.一般地，追击问题有这样的数量关系：追及路程 =速度差X追及时间，即s =V t差 差例如：假设甲乙两人站在100米的跑道上，甲位于起点（0米）处，乙位于中间5米处，经过时间t后甲乙 同时到达终点，甲乙的速度分别为v和V，那么我们可以看到经过时间t后，甲比乙多跑了 5米，或者 甲 乙可以说，在时间t内甲的路程比乙的路程多5米，甲用了时间t追了乙5米甲甲乙乙 0米 3米100米100三、相遇和追及在研究

3、追及和相遇问题时，一般都隐含以下两种条件：（1）在整个被研究的运动过程中，2个物体所运行的时间相同（2）在整个运行过程中，2个物体所走的是同一路径。例题精讲例 1】一辆客车与一辆货车同时从甲、乙两个城市相对开出，客车每小时行46千米，货车每小时行48 千米。3.5小时两车相遇。甲、乙两个城市的路程是多少千米？【考点】行程问题【难度】【题型】解答解析】本题是简单的相遇问题，根据相遇路程等于速度和乘以相遇时间得到甲乙两地路程为：（46+48）X3.5=94X3.5=329 （千米）.答案】329 千米巩固】聪聪和明明同时从各自的家相对出发，明明每分钟走20米，聪聪骑着脚踏车每分钟比明明快42米，经

4、过20分钟后两人相遇，你知道聪聪家和明明家的距离吗？【考点】行程问题【难度】【题型】解答【解析】方法一：由题意知聪聪的速度是：20 + 42 = 62 （米/分），两家的距离=明明走过的路程+聪聪走过的路程=20x20 + 62x20 = 400 +1240 = 1640 （米），请教师画图帮助学生理解分析.聪聪明明注意利用乘法分配律的反向应用就可以得到公式：S = v t .对于刚刚学习奥数的孩子, 和和注意引导他们认识、理解及应用公式方法二：直接利用公式：S = v t =（20 + 62）x20 = 1640 （米）.和和答案】 1640米【例2】A、B两地相距90米，包子从A地到B地需

5、要30秒，菠萝从B地到A地需要15秒，现在包子和 菠萝从A、B两地同时相对而行，相遇时包子与B地的距离是多少米？【考点】行程问题【难度】【题型】解答【解析】包子的速度：90一30 = 3 （米/秒），菠萝的速度：90一 15 = 6 （米/秒），相遇的时间： 90一（3 + 6） = 10 （秒），包子距B 地的距离：90-3x 10 = 60 （米）.【答案】包子距B地的距离是60米巩固】两地间的路程有255千米，两辆汽车同时从两地相对开出，甲车每小时行45千米，乙车每小时 行40千米。甲、乙两车相遇时，各行了多少千米？【考点】行程问题【难度】【题型】解答【解析】根据相遇公式知道相遇时间是：

6、255一（45+40） =25585=3 （小时），所以甲走的路程为：45X3=135 （千米），乙走的路程为：40X3=120 （千米）.答案】甲走的路程为135千米，乙走的路程为120千米例 3】孙悟空在花果山，猪八戒在高老庄，花果山和高老庄中间有条流沙河，一天，他们约好在流沙河 见面，孙悟空的速度是200千米小时猪八戒的速度是150千米小时，他们同时出发2小时 后还相距500千米，则花果山和高老庄之间的距离是多少千米？【考点】行程问题【难度】【题型】解答解析】注意： “还相距”与“相距”的区别建议教师画线段图可以先求出2小时孙悟空和猪八戒走 的路程：（200 +150）x2 = 700

7、（千米），又因为还差500米，所以花果山和高老庄之间的距离： 700 + 500 = 1200 （千米）.答案】 1200 千米【巩固】乙两辆汽车从A、B两地同时相向开出，出发后2小时，两车相距141公里；出发后5小时，两 车相遇。A、B两地相距公里。【考点】行程问题【难度】【题型】填空【解析】5-2=3小时，两车合走141千米，速度和=1413=47千米/小时，故AB相距47X5=235千米。公式“相遇时间=路程和+速度和”中，对于速度不变的两车，“相遇时间”与“路程和”是 对应的.如图所示A匚5小、时相遇5小时B刖、时141千米5小时的相遇时间与A、B两地的距离相对应，（5-2 ）小时的相

8、遇时间与141千米相对应.两车的速 度之和是：1414-（5-2）= 47 （千米/时）.A、B两地相距：47x5 = 235 （千米）【答案】A、B两地间相距235千米【例4】甲、乙两辆汽车分别从A、B两地出发相对而行，甲车先行1小时，甲车每小时行48千米，乙车 每小时行50千米，5小时相遇，求A、B两地间的距离.【考点】行程问题【难度】【题型】解答解析】这题不同的是两车不“同时”.（法1 ）求A、B两地间的路程就是求甲、乙两车所行的路程和.这样可以充分别求出甲车、 乙车所行的路程，再把两部分合起来.48x（1+ 5） = 288 （千米），50x5 = 250 （千米），288 + 250

9、 = 538 （千米）.（法2 ）还可以先求出甲、乙两车5 小时所行的路程和，再加上甲车1小时所行的路程（48 + 50）x5二490 （千米），490 + 48 = 538 （千米）.答案】 538千米巩固】妈妈从家出发到学校去接小红，妈妈每分钟走75米妈妈走了3分钟后，小红从学校出发，小红 每分钟走60米再经过20分钟妈妈和小红相遇从小红家到学校有多少米？【考点】行程问题【难度】【题型】解答【解析】妈妈先走了 3分钟，就是先走了 75x3 = 225 （米）.20分钟后妈妈和小红相遇，也就是说妈妈和 小红共同走了 20分钟，这一段的路程为：（75 + 60）x20二2700 （米）这样妈妈

10、先走的那一段 路程， 加上后来妈妈和小红走的这一段路程， 就是小红家到学校的距离即 （75x 3） + （75 + 60） x 20 二 2925 （米）.答案】 2925 米例 5】乙两列火车从相距770千米的两地相向而行，甲车每小时行45千米，乙车每小时行41千米，乙 车先出发2小时后，甲车才出发甲车行几小时后与乙车相遇？【考点】行程问题【难度】【题型】解答解析】甲、乙两车出发时间有先有后，乙车先出发2小时，这段时间甲车没有行驶，那么乙车这2小时 所行的路程不是甲、乙两车同时相对而行的路程，所以要先求出甲、乙两车同时相对而行的路程， 再除以速度和，才是甲、乙两车同时相对而行的时间.乙车先行

11、驶路程：41 x2 = 82 （千米），甲、 乙两车同时相对而行路程：770-82 = 688 （千米），甲、乙两车速度和：45 + 41 = 86 （千米/时）， 甲车行的时间：688一86 = 8 （小时）.答案】 8小时巩固】甲、乙两列火车从相距144千米的两地相向而行，甲车每小时行28千米，乙车每小时行22千米， 乙车先出发2小时后，甲车才出发甲车行几小时后与乙车相遇？【考点】行程问题【难度】【题型】解答解析】甲、乙两车出发时间有先有后，乙车先出发2小时，这段时间甲车没有行驶，那么乙车这2小时 所行的路程不是甲、乙两车同时相对而行的路程，所以要先求出甲、乙两车同时相对而行的路程， 再除

12、以速度和，才是甲、乙两车同时相对而行的时间.乙车先行驶路程：22x2 = 44 （千米），甲、 乙两车同时相对而行路：144-44 = 100 （千米），甲、乙两车速度和：28 + 22 = 50 （千米），与乙车 相遇时甲车行的时间为：100-50 = 2 （小时）.答案】 2小时例 6】甲、乙二人都要从北京去天津，甲行驶10千米后乙才开始出发，甲每小时行驶15千米，乙每小 时行驶10千米，问：乙经过多长时间能追上甲？【考点】行程问题【难度】【题型】解答【解析】出发时甲、乙二人相距10千米，以后两人的距离每小时都缩短15-10=5（千米），即两人的速度 的差（简称速度差），所以10千米里有几

13、个5千米就是几小时能追上.10一（15-10）=10一5 = 2 （小时），还需要 2 个小时。答案】2 个小时巩固】一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、乙两地出发，向同一个方向前进，摩托车在前，每小时行28千 米，汽车在后，每小时行65千米，经过4 小时汽车追上摩托车，甲乙两地相距多少千米？ 【考点】行程问题【难度】【题型】解答解析】方法一：根据题意，画出线段示意图：汽车（65千米/小时）摩托车（28千米/小时）ILI甲地乙地追及地点从图中可知，甲、乙两地间的距离就是汽车与摩托车所行的路程差先求出汽车追上摩托车时，两车分别行驶的路程，再求出两地的路程，即65x4-28x4 = 260-112 =

14、148 （千米）方法二：先求 出汽车每小时比摩托车多行驶的路程（速度差）， 再求出两地相距的路程， 即： （65 - 28） x 4 = 37 x 4 = 148 （千米）答案】 148千米例 7】下午放学时，弟弟以每分钟40米的速度步行回家.5分钟后，哥哥以每分钟60米的速度也从学校 步行回家，哥哥出发后，经过几分钟可以追上弟弟？（假定从学校到家有足够远，即哥哥追上弟 弟时，仍没有回到家）.【考点】行程问题【难度】【题型】解答【解析】若经过5分钟，弟弟已到了 A地，此时弟弟已走了 40X5=200 （米）哥哥每分钟比弟弟多走20 米，几分钟可以追上这200米呢？40X5一（60-40） =2

15、0020=10 （分钟），哥哥10分钟可以追 上弟弟.答案】10 分钟巩固】解放军某部先遣队，从营地出发，以每小时6千米的速度向某地前进，12小时后，部队有急事，派通讯员骑摩托车以每小时78千米的速度前去联络，问多少时间后，通讯员能赶上先遣队？题型】解答【考点】行程问题【难度】【解析】（6x 12）一（78 6）= 1 （小时）.答案】 1小时例 8】一辆慢车从甲地开往乙地，每小时行40千米，开出5小时后，一辆快车以每小时90千米的速度 也从甲地开往乙地在甲乙两地的中点处快车追上慢车，甲乙两地相距多少千米？【考点】行程问题【难度】【题型】解答【解析】慢车先行的路程是：40x5 = 200 （千

16、米），快车每小时追上慢车的千米数是：90-40 = 50 （千米）， 追及的时间是：200一50 = 4 （小时），快车行至中点所行的路程是：90x4 = 360 （千米），甲乙两 地间的路程是：360x2 = 720 （千米）.答案】 720千米巩固】甲地和乙地相距40千米，平平和兵兵由甲地骑车去乙地，平平每小时行14千米，兵兵每小时行17 千米，当平平走了6千米后，兵兵才出发，当兵兵追上平平时，距乙地还有多少千米？【考点】行程问题【难度】【题型】解答解析】平平走了6千米后，兵兵才出发，这6千米就是平平和兵兵相距的路程.由于兵兵每小时比平平 多走17 -14 = 3 （千米），要求兵兵几小时

17、可以追上6千米，也就是求6千米里包含着几个3千米， 用6 一 3 = 2 （小时）.因为甲地和乙地相距40千米，兵兵每小时行17千米，2小时走了 17 x 2 = 34 （千 米），所以兵兵追上平平时，距乙地还有40-34 = 6 （千米）答案】 6千米例 9】王芳和李华放学后，一起步行去体校参加排球训练，王芳每分钟走110米，李华每分钟走70米， 出发5分钟后，王芳返回学校取运动服，在学校又耽误了2分钟，然后追赶李华求多少分钟后 追上李华？【考点】行程问题【难度】【题型】解答解析】已知二人出发5分钟后，王芳返回学校取运动服，这样用去了 5分钟，在学校又耽误了 2分钟，王芳一共耽误了 5 x

18、2 + 2 = 12 （分钟）.李华在这段时间比王芳多走：70 x 12 = 840 （米），速度差为： 110-70 = 40 （米/秒），王芳追上李华的时间是：840一40 = 21 （分钟）答案】 21 分钟【巩固】甲、乙两车同时从A地向B地开出，甲每小时行38千米，乙每小时行34千米，开出1小时后，甲车因有紧急任务返回A地；到达A地后又立即向B地开出追乙车，当甲车追上乙车时，两车正 好都到达B地，求A、B两地的路程.【考点】行程问题【难度】【题型】解答解析】根据题意画出线段图：千米（J人乙2小时行从图中可以看出，当甲开始追乙的时候两车的路程差正好是乙车已经行驶的2小时的路程，那么 根据

19、追及路程和速度差可以求出追及时间，而追及时间正好是甲车从A地到B地所用的时间，由 此可以求出A、B两地的路程，追及路程为：34x2 = 68 （千米），追及时间为：684-（38-34） = 17 （小 时），A、B两地的路程为：38x 17 = 646 （千米）.答案】646千米【例10】小聪和小明从学校到相距2400米的电影院去看电影.小聪每分钟行60米，他出发后10分钟小 明才出发，结果俩人同时到达影院，小明每分钟行多少米？【考点】行程问题【难度】【题型】解答解析】要求小明每分钟走多少米，就要先求小明所走的路程（已知）和小明所用的时间；要求小明所用的 时间，就要先求小聪所用的时间，小聪所

20、用的时间是： 2400460=40（分钟），小明所用的时间是： 40 - 1 0 = 30 （分钟） ，小明每分钟走的米数是： 2400430=80（米）答案】80米巩固】 六年级同学从学校出发到公园春游，每分钟走72米， 15分钟以后，学校有急事要通知学生，派 李老师骑自行车从学校出发 9分钟追上同学们，李老师每分钟要行多少米才可以准时追上同学 们？【考点】行程问题【难度】【题型】解答【解析】同学们15分钟走72x 15 = 1080 （米）即路程差.然后根据速度差=路程差一追及时间，可以求 出李老师和同学们的速度差，又知道同学们的速度是每分钟72米，就可以得出李老师的速度即 1080 4

21、9 + 72 = 192 （米）.答案】192米课堂检测【随练1】练习1 大头儿子的家距离学校3000 米，小头爸爸从家去学校接大头儿子放学，大头儿子从学 校回家，他们同时出发，小头爸爸每分钟比大头儿子多走24 米，50分钟后两人相遇，那么大头 儿子的速度是每分钟走多少米？【考点】行程问题【难度】【题型】解答【解析】大头儿子和小头爸爸的速度和：3000一50 = 60 （米/分钟），小头爸爸的速度：（60 + 24）一2 = 42 （米 /分钟），大头儿子的速度：60-42 = 18 （米/分钟）.【答案】大头儿子的速度为18米/分钟随练2】练习 2 甲乙两座城市相距530千米，货车和客车从两

22、城同时出发，相向而行货车每小时行50 千米，客车每小时行70 千米客车在行驶中因故耽误1小时，然后继续向前行驶与货车相遇问 相遇时客车、货车各行驶多少千米？【考点】行程问题【难度】【题型】解答解析】因为客车在行驶中耽误1小时，而货车没有停止继续前行，也就是说，货车比客车多走1小时.如 果从总路程中把货车单独行驶1小时的路程减去，然后根据余下的就是客车和货车共同走过的.再 求出货车和客车每小时所走的速度和，就可以求出相遇时间.然后根据路程=速度X时间，可以 分别求出客车和货车在相遇时各自行驶的路程.相遇时间：（530-50）一（50 + 70） = 480一 120 = 4（小 时）相遇时客车行

23、驶的路程：70x4 = 280 （千米）相遇时货车行驶的路程：50x（4 +1） = 250 （千米）.答案】 250 千米随练3】小明步行上学，每分钟行 70 米离家 12 分钟后，爸爸发现小明的明具盒忘在家中，爸爸带着 明具盒，立即骑自行车以每分钟 280 米的速度去追小明问爸爸出发几分钟后追上小明？当爸 爸追上小明时他们离家多远？【考点】行程问题【难度】【题型】解答解析】小明12分钟走的路程人70米/分200米/分当爸爸开始追小明时，小明已经离家：70 x 12 = 840 （米），即爸爸要追及的路程为840米，也就是爸爸与小明的距离是840 米，我们把这个距离叫做“路程差”，爸爸出发后

24、，两人同时走，每过1分，他们之间的距离就缩短280 - 70 = 210 （米），也就是爸爸与小明的速度差为280 - 70 = 210 （米/分），爸爸追及的时间：840 一 210 = 4 （分钟）.当爸爸追上小明时，小明已经出发12 + 4 = 16 （分 钟），此时离家的距离是：70x 16 = 1120 （米）答案】1120米随练4】小明以每分钟50 米的速度从学校步行回家，12 分钟后小强从学校出发骑自行车去追小明，结果 在距学校 1000米处追上小明，求小强骑自行车的速度.【考点】行程问题【难度】【题型】解答【解析】小强出发的时候小明走了 50x 12 = 600 （米）被小强追

25、上时小明又走了：（1000-600）一50 = 8 （分钟），说明小强8分钟走了 1000米，所以小强的速度为：1000-8 = 125 （米/分钟）.答案】 125 米/分钟作业检测【作业1】作业1甲、乙两车分别从相距360千米的A、B两城同时出发，相对而行，已知甲车到达B城 需4小时，乙车到达 A 城需12小时，问：两车出发后多长时间相遇？【考点】行程问题【难度】【题型】解答【解析】要求两车的相遇时间，则必须知道它们各自的速度，甲车的速度是360一4 = 90 （千米/时），乙 车的速度是360一 12 = 30 （千米/时），则相遇时间是360一（90 + 30） = 3 （小时）.【答

26、案】相遇时间是3小时【作业2】甲、乙二人分别从东、西两镇同时出发相向而行出发2小时后，两人相距54千米；出发5小 时后，两人还相距27千米问出发多少小时后两人相遇？【考点】行程问题【难度】【题型】解答【解析】根据2小时后相距54千米， 5小时后相距27千米，可以求出甲、乙二人 3小时行的路程和为 （54-27）千米，即可求出两人的速度和：（54-27）一（5-2） = 9 （千米），根据相遇问题的解题规 律；相隔距离一速度和二相遇时间，可以求出行27千米需要：5 + 27一9 = 5 + 3 = 8 （小时）.【答案】 8小时【作业3】甲、乙两列火车从相距366千米的两个城市对面开来，甲列火车

27、每小时行37千米，乙列火车每Page 9 of 11小时行36千米，甲列火车先开出2小时后，乙列火车才开出，问乙列火车行几小时后与甲列火 车相遇？【考点】行程问题【难度】【题型】解答【解析】（366-37x2）一（37 + 36） = 4 （小时）.答案】 4 小时作业4】哥哥和弟弟在同一所学校读书哥哥每分钟走65米，弟弟每分钟走40 米，有一天弟弟先走5 分钟后，哥哥才从家出发，当弟弟到达学校时哥哥正好追上弟弟也到达学校，问他们家离学校 有多远?【考点】行程问题【难度】【题型】解答【解析】哥哥出发的时候弟弟走了： 40x5 = 200 （米）哥哥追弟弟的追及时间为：200一（65-40） =

28、 8 （分 钟），所以家离学校的距离为：8x65 = 520 （米）答案】 520米作业5】小李骑自行车每小时行13千米，小王骑自行车每小时行15千米小李出发后2小时，小王在小 李的出发地点前面6千米处出发，小李几小时可以追上小王？【考点】行程问题【难度】【题型】解答解析】小李2小时走： 13 x 2 = 26 （千米），又知小王在小李的出发地点前面6千米处出发，则知道两人 的路程差是26-6=20（千米）.每小时小王追上小李 15 -13 = 2 （千米），则20千米里面有几 个2千米，则追及时间就是几小时，即：20-2 = 10 （小时）.答案】 10小时作业6】作业 6 甲、乙两架飞机同时从一个机场起飞，向同一方向飞行，甲机每小时行300千米，乙机 每小时行340千米，飞行4小时后它们相隔多少千米？这时候甲机提高速度用2小时追上乙机， 甲机每小时要飞行多少千米？【考点】行程问题【难度】【题型】解答【解析】4小时后相差多少千米：（340-300）x4 = 160 （千米）.甲机提高速度后每小时飞行多少千米: 160一2 + 340 = 420 （千米）.答案】 420 千米教学反馈学生对本次课的评价O般O特别满意O满意家长意见及建议家长签字：