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1、有心力与轨道英才一班 陈威学号:2901309029这里我们首先给有心理和轨道下个定义：有心力：任意时刻，力的方向恒指向一个确定的点的力。 轨道：物体在力的作用下其运动轨迹所组成的图形。由有心力的定义我们可知我们通常所说的向心力就是有力的一种。我们知道力是改变物 体运动状态的原因，因此力与物体的运动轨迹具有密切的联系。比如说：汽车在公路路上受 一个方向上的牵引力作用做匀加速直线运动，其运动轨迹为直线；抛向空中的石子在重力的 作用下做平抛运动，其运动轨迹为抛物线；地球绕太阳的运动轨迹为椭圆等等。生活中这样 的例子数不胜数。dv -v2 -e + e ， dt t r n为了便于说明，我们现在讨论
2、天体所受万有引力与轨道之间的关系。通过圆周运动的只是我们知道，物体作圆周运动的加速度：a = a + atnrd2p / d0、r d20 cdp d0如果我们将它转化到极坐标下：a = ap+叮赤-（P莎）巴+ P乔+ 2莎莎由此我们可以得到牛顿第二定律在极坐标形式下的表达方程：m竽-（P 字）2二dt 2dtGMmP2m p空dt 2+2空理二0 dt dt（2）d 20d P d 0对（2）,因为m丰0,所以 + 2干一厂=0，dt 2dt dt即d（ p 2字）二dt dtd0p 2击为常数。d02dt.（3 ）h 为常数）1d0 h对（1）,令九=一，有，=h九2pdtp 2d pd
3、 p d0dtd0 dt-hd九d0d 2 pdt2dtd0d 2九d0 2.d 2 入.带入(1)，得：h 2 九一 h 2X 3 = GM 九 20 2入、GM即+九一d0 2h2k2 =GM令R二九GM，原式化为：d2R + R = 0 h2d0 2这是一个微分方程，其特征根为：九=iA:.原方程的特解为R=A cos0 +A sin0 = Acos(0 +0 ) ( A = *：A2 + A 2,0 = tan f) -oy i 2 oA1即九一 GM = Acos(0 +0 )h 20+ A cos(0 + 0 )0因为GM是一个常数，不妨设k2 = GM飞 + Acos(0+0 )
4、h 20h2ed而标准的圆锥曲线方程r = E0于是我们又可以将原式化为：P=1 + e cos 0h2k 21 + A h cos(0 +0 )k20(e为离心率，p为半正交弦)则A厂相当于离心率e，当e 1时为双曲线，e = 1时为抛物线，e 1，不妨取A = 1.5,h = 2,k = 2.1，0 =兀k 20用 Mathcad 画图：h := 2k := 2.1A := 1.500 :=兀A - cos(0 + 00)+A cos( 0+00)A := 1k := 2 h := 200 := 0G iven(2)九Ih2丿 1k2 h2丿发现其确为一个双曲线。h2(2)令A = 1，不
5、妨取A = 1,h = 2,k = 2,0 = 0 k 20用 Mathcad 作图：Given九一 一=A - cos(0 + 00) 2丿h丿发现其确为抛物线。h2(3) A 1，不妨设A = l，h = 2,k = 3 , 9 = 0 k 20用 Mathcad 作图：A:=1k := 3h := 290 := 0Given=A - cos(9 + 90)017k2+ A-cos( 9)I h2丿其运动轨迹也确为椭圆。(4)当 A=0 时，用 Mathcad 作图A:=0k:= 3h:=290:=4G iven=A - cos(9 + 90)1k2 + A cos( 9) I h2丿发现其轨迹为圆。(5)通过作图发现00发生变化时会影响原轨道的方向。下面我们以抛物线为例。1+A cos( 0+00)I h2丿0 = 0.5 兀0(2+ A-cos( 0+00)0 = 1.5兀0我们发现轨道与00同周期匀速变化 结论：h,k,A,决定轨道的性质而。决定轨道的位置。参考文献】新概念物理(力学)赵凯华 罗蔚茵
有心力与轨道
