普通物理学教程力学课后答案高等教育出版社第四章

《普通物理学教程力学课后答案高等教育出版社第四章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《普通物理学教程力学课后答案高等教育出版社第四章（12页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、第 4 章动能和势能习题解答4.2.2本题图表示测定运动体能的装置。绳拴在腰间沿水平展开跨过理想滑轮，下悬重物50kg,人用 力向后蹬传送带而人的质心相对于地面不动，设传送带上侧以 2m/s 的速率向后运动，问运动员对传送带 做功否？功率如何？解：人作用在传送带上的力有向下的压力和水平向后的静摩擦力，压力方 向与传送带位移方向垂直，所以压力不做功，但静摩擦力方向与传送带位移方 向相同，所以静摩擦力对传送带做正功。分析人受力情况，由质心定理可知，人与传送带之间的静摩擦力的大小f=mg,所以，人对传送带做功的功率为：N = fv = mgv = 50 X 9.8 X 2 = 9.8X102 (瓦)

2、4.2.3 -非线性拉伸弹簧的弹性力的大小为f二kil + k213,1表示弹簧的伸长量，ki为正，研究当k20、k20时，弹簧的劲度 随弹簧 伸长量的增加而增大； k20 时，弹簧 的劲度随弹簧伸长量的增加而减小。在以上三种情况中， 劲度df/dl与弹簧伸长量1的关系如图所示。A = A (kl + k 1 3)d1 = k 12 1d1 - k 12 1 3 dl111 2 1 112 111 1 1=十 k (1 2 1 2)十 k (1 4 1 4)2 1 214 2 21=+ k + 1 k (1 2 + 1 2)(1 2 1 2)2 1 2 2 2 1 2 14.2.4 一细线系一

3、小球，小球在光滑水平桌面上沿螺旋线运动，线穿过桌中心光滑圆孔，用力F向下拉绳，证明力F对线做的功等与线作用于小球的拉力所做的功，线不可伸长。证明：以圆孔为顶点建立极坐标，设小球的位置由r1?e 1变为r2,e 2，由于忽略绳 的质量、伸长，不计摩擦，所以绳对球的拉力T=F=f F dr = f Tdr = Tf dr = T(r 一 r )r12r1r1r2A = F(r 一 r ) = T(r 一 r 2),A = AF1212T F4.2.5 一辆卡车能够沿着斜坡以15km/h的速率向上行驶，斜坡与水平面夹角的正切tga =0.02，所 受阻力等于卡车重量的 0.04，如果卡车以同样的功率

4、匀速下坡，卡车的速率是多少？解：设卡车匀速上坡时，速率为v,牵引力为F,功率为N,由质点平衡方程有，F = (0.04+sina )mg，.N = Fv = (0.04+sina )mgv设卡车匀速下坡时，速率为V,牵引力为F,功率为N,由质点平衡方程有F+ mg sina = 0.04mg,F=(0.04-sina )mg,. N= (0.04-sina )mgv.令 N= N,即(0.04+sina ) mgv = (0.04-sina )mgv，可求得:v= v(0.04+sina )/(0.04-sina ).利用三角函数关系式，可求得：sina tga =0.02 ,Av=3v =3

5、X15X103/602 m/s = 12.5m/s.4.3.1 质量为 m=0.5kg 的木块可在水平光滑直杆上滑动，木块与一不可伸长的轻绳相连，绳跨过一固定的光滑小环，绳端作用着大小不变的力T=50N,木块在A点时具有向右的速率v0=6m/s，求力T将木块从A拉至B点时的速度。解：以A为原点建立图示坐标o-x，木块由A到B,只有拉力T做功:=f F dx =f T cos) dx =x000(4 一 x) dx- (4-x)2 +32=-T 4 (4 一 x)2 + 9-1/2 d(4 一 x)2 + 9= 一 甜 x 2(4 一 x)2 + 9l/2 |42 2 0 0=5. (4 - x

6、)2 + 9 |4 = 50x (5 - 3) = 100J动能定理：A = 1 mv2 一 + mv 22 2 0v = ,-2 A / m + v 2 =x 1()/ .5 + 62 20.88m/s方向向右4mAx设木块到达B时的速度为v,由4.3.2质量为1.2kg的木块套在光滑铅直杆上，不可伸长的轻绳跨过固定的光滑小环，孔的直径远小 于它到杆的距离。绳端作用以恒力F,F=60N,木块在A处有向上的速度v0=2m/s，求木块被拉至B时的速度。解：以地为参考系，建立图示坐标A-xy,木块在由 A到B的运动过程中受三个力的作用，各力做功分别是： An= 0； AW= -mg(yB-yA)=

7、-1.2X9.8X0.5= -5.88J； F 大小 虽然不变，但方向在运动过程中不断变化，因此是变力做功。= f F dy =f0.5 F cos) dy = y0F f0.50 5-y dy0- 0.52 + (0.5-y)2=-f J0.50.52 + (0.5 - y )2 -1/2 d (0.5 - y )2=-f P50.52 + (0.5 - y )2 -1/2 d 0.52 + (0.5 - y )2 20=-fx2052 + (0.5一y)21/2 I0.52_ 0=0.5F(、. 2 -1) = 0.5 x 60 2 一 1) = 12.43J由动能定理：A + A + A

8、 = 1 mv 2 一 1 mv 2N WF 2 B 2 A代入数据，求得vB =3.86 m/s.B4.3.3质量为m的物体与轻弹簧相连，最初m处于使弹簧既未压缩也未伸长的位置，并以速度v0向 右运动，弹簧的劲度系数为k，物体与支撑面间的滑动摩擦系数为p求证物体能达到的最远距离l为一| kAkmml = -Hmgk证 能由 mv（*1 + 于 -1）|12 mg月：质点m由弹簧原长位置运动到最远位置l,弹力F和滑动摩擦力f对质点做负功，导致质点动 o2/2 变为 0。根据动能定理：AF+Af=o - mvo2/2 其中，AF =-ki0Idl = -2kl2,Af 5 mgl，代入中并整理有

9、:kll+2,mgl-m vo0=O.这是一个关 于 l 的一元二次方程，其根为：( 1 + k v02 k|12mg 2-1)l = ，负根显然不合题意，舍去，所以,l 二-m-g +1 ：(卩 mg)2 + kmv 2 k k 04.3.4圆柱形容器内装有气体，容器内壁光滑，质量为m的活塞将气体密封，气体膨胀前后的体积各为V,V2，膨胀前的压强为P，活塞初速率为v0.求气体膨胀后活塞的末速率，已知气体膨胀时气体压强 与体积满足pv=恒量.若气体压强与体积的关系为pvy =恒量，Y为常量，活塞末速率又如何？解：以活塞为研究对象，设膨胀后的速率为v,在膨胀过程中，作用在活塞上的力有重力mg,气

10、体对 活塞的压力N=pS （S为气缸横截面），忽略重力所做的功（很小），对活塞应用动能定律:IA = imv2 一 + mv 2,.v = v 2 + 2A /mN 2200N若 pV=p1V1，A =芋pSdx =芋pdV = p V 芋十 dV = p V In V2N1 1 V1 1 V1V1V1V1f2X(V 1-y 一 V 1-Y )1 一Y 21若 pVY =p1V111V1A =芋 pdV = pV Y V -y dV =NV14.3.5 o坐标系与o坐标系各对应轴平行，o相对o沿x轴以v0做匀速直线运动.对于o系质点动能定 理为:FAx = 1 mv 2 一1 mv 2 , v

11、1,v2沿x轴，根据伽利略变换证明：对于o系，动能定理也取这种形式。2 2 2 1 1 2证明：由伽利略变换：x=x+v0t , v=v+v0， x=A x+v0A t v =v+v , v =v+v ，将代入 FAx = 1 mv 2 -1 mv 2 中，有1 1 0 2 2 0 2 2 2 1FAx+ FAtv = 1 m(v +v )2 一十m(v +v )20220210据 动 量 定 理 ：=1 mv 2一 1 mv 2 + m(v -v )v = 1 mv 2一 1 mv 2 + m(v 一 v )v2 2 2 1 2 1 0 2 2 2 1 2 1 0FAt = Ap = m(v

12、 一 v )21所以，FAx = 1 mv 2-1 mv 22 2 2 14.3.6 在质量分析器中(详见教材),电量为 e 的离子自离子源 A 引出后，在加速管中受到电压为 U的电场加速设偏转磁感应强度为B，偏转半径为R.求证在D漂移管中得到的离子的质量为 m=eB2R2/2U.证明：正离子从离子源A引出后，在加速管中受到电压为U的电场加速，正离子动能的增量等于电 场力对正离子所做的功，即，mv2/2-0=eU, v=(2eU/m)1/2正离子在半径为R的弯管中受到洛仑兹力的作用而发生偏转，若能进入漂移管道，根据牛顿二定律必 须满足：qvB=mv2/R，也就是， eB=mv/R，将v=(2e

13、U/m)1/2代入，并将方程两边平方，得：e2B2=2meU/R2,；.m=eB2R2/2U.4.3.7轻且不可伸长的线悬挂质量为500g的圆柱体，圆柱体又套在可沿水平方向移动的框架内，框 架槽沿铅直方向，框架质量为200g自悬线静止于铅直位置开始，框架在水平力F=20.0N作用下移至图中 位置，求圆柱体的速度，线长20cm,不计摩擦。解：设绳长1,圆柱质量m1，框架质量m2，建立图示坐标o-xy；据题 意，圆柱在o点时，圆柱和框架的速度均为零；圆柱在图示位置时，设圆柱 的速度为V,方向与线1垂直，框架的速度为v2,方向水平向右，由圆柱与 框架的套接关系，可知v2=v1x，v1y=vxtg30

14、圆柱体m与框架m2构成一质点系,此质点系在从竖直位置运动到图示 位置的过程中，只有重力W=mg和拉力F做功：其中， AW1= - mg1(1-cos30)= - 0.13J, A F= F1 sin30 = 2J,由质点系动能定理，有A + A = + m v 2 + + m v 2 二壬m (v 2 + v 2) + + m v 2W1F 2 1 12 2 22 1 1x1y 2 2 1x=+ v 2m (1 + tg 2 30) + m a v 2 = 2(A + A )/(# m + m ) 2 1x121xW1F 3 12代入数据,v? 2=4.3, v 2=(v tg30)2=1.4

15、4Av_=(v 2+v 2)1/2=2.4m/s.1x1y 1x1 1x 1y4.4.1两个仅可压缩的弹簧组成一可变劲度系数的弹簧组，弹簧1和弹簧2的劲度系数各为k1,k2，它 们自由伸展的长度相差1，坐标原点置于弹簧2自由伸展处，求弹簧组在OWxWl和xv0时弹性势能的表达 式。解：规定两个弹簧处在坐标原点时的弹性势能为零；弹簧2的势能表达式显然为：E =1 k x2,x0 ；弹簧1的势能:p2 2 2E = -k f （1 一 x）dx = k f （1 一 x）d （1 一 x）=十 k （1 一 x）2 | xk2oxp11 1 2 1 000=1 k （1 一 x）2 - 12=十

16、k x 2 一 k lx, （x 1）2 1 2 1 1当 0WxWl 时，E = E = 士k x2 k lxpp1 2 1 1当 x0 时，E = E + E = 士（k + k ）x2 k lx pp1p2 2 1 2 14.5.1滑雪运动员自A自由下落，经B越过宽为d的横沟到达平台C时，其速度v刚好在水平方向, c已知A、B两点的垂直距离为25m.坡道在B点的切线方向与水平面成30角，不计摩擦，求：运动员离 开B处的速率vB；B、C的垂直高度差h及沟宽d；运动员到达平台时的速率v.Bc解：运动员在整个运动过程中,只有重 力做功,故机械能守恒， B 点为势能零点。*.* mgH = mv

17、B2/2v =七 2gH = ： 2 x 9.8 x 25 = 22.1m/ s运动员由B到C作斜抛运动，据题意,C点即为最高点。由斜抛运动规律可知,v = vBcos30o = 19.1m/s cB*.*mvB2/2 = m vc2/2+mgh .*.h = (vB2-vc2)/2g = 6.3m；由竖直方向的速度公式可求跨越时间:*.*0 = vBsin30 -gt .*.t = vo/2g =1.13s，由水平方向的位移公式可求得跨越距离d = v cos30t = 21.6m.BB4.5.2装置如图所示，球的质量为5kg,杆AB长lm, AC长0.1m, A点距o点0.5m,弹簧的劲度

18、系 数为800N/m，杆AB在水平位置时恰为弹簧自由状态，此时释放小球，小球由静止开始运动，求小球到 铅垂位置时的速度，不计弹簧质量及杆的质量，不计摩擦。解：取小球在水平位置时，势能为零，小球运动到竖直位置时的速度为v, 弹簧原长：l = v0.52 + 0.12 = 0.51，在小球从水平位置运动到竖直位置的 0过程中，只有保守内力做功，因而机械能守恒：0 = 1 mv2 一 mgAB +1 k(OA + AC 一 / )2，可求得：2 2 0v =、2gAB k(OA + AC -1 )2 /m2 x 9.8 x 1 - 800(0.5 + 0.1 - 0.51)2/5 = 4.28m /

19、 s4.5.3物体Q与一劲度系数为24N/m的橡皮筋连接，并在一水平(光滑)圆环轨道上运动，物体Q在A 处的速度为1.0m/s,已知圆环的半径为0.24m,物体Q的质量为5kg，由橡皮筋固定端至B为0.16m,恰等于橡 皮筋的自由长度求:物体Q的最大速度；物体Q能否达到D点，并求出在此点的速度.在 D 点的弹性势能，E =k(2R)2/2=2kR2=2 X 24 X 0.242=2.76：E E 物体 Q 能达到 D 点.m vD2/2=E-E , vD=2(E-E )/m1/2 pDp Dp代入数据，求得 vD=0.58m/s4.6.1卢瑟福在一篇文章中写道：可以预言，当a粒子和氢原子相碰时

20、，可使之迅速运动起来.按正碰 考虑很容易证明，氢原子速度可达a粒子碰撞前速度的1.6倍，即占入射a粒子能量的64%.试证明此结论(碰 撞是完全弹性的，且a粒子质量接近氢原子质量的四倍).证明：设氢原子质量为m,碰前速度为零，碰后速度vH, a粒子质量为4m,碰前速度为v，碰后速度为v . Haa根据完全弹性碰撞基本公式：4mv = 4mv +mv 4v = 4v +v (1)1 aaH即，aa HIv = v - v v =v - v (2)a Haa Ha(1)+X4，得 8 v = 5vH,aHvH= 8v /5 = 1.6 vaa牛二 mvH 2/2 二(1 6Va)2 二 0.64Ea

21、4 m v 2 / 24 v 2aa4.6.2 m为静止车厢的质量，质量为M的机车在水平轨道上自右方以速率v滑行并与m碰撞挂钩.挂 钩后前进了距离s然后静止。求轨道作用于车的阻力。解：整个过程可分为两个阶段：第一阶段，机车与车厢发生完全非性碰撞而获得共同速度v,由于阻 力远小于冲力，可认为质点系动量守恒，Mv=(M+m)v,v=Mv/(M+m)第二阶段，机车与车厢挂钩后，在摩擦阻力的作用下向前移动了S,速度由v变为零，由动能定理，有-fs = 0 - (M+m) v2/2,将v代入，可求得4.6.3 两球具有相同的质量和半径，悬挂于同一高度.静止时,两球恰能接触且悬线平行.碰撞的恢复系数为e.

22、若球A自高度坷释放，求该球弹回后能达到的高度。又问若二球发生完全弹性碰撞，会发生什么现象，试描述之。解：设两球质量均为m,球A由坷高处运动到水平位置获得的 速度vA，可由能量守恒方程求出：i=mvA2/2.vA：设A,B两球碰后速度分别为vA和vB，根据非完全弹性碰撞的基AB本公式，有fmv = mv +mv vB, 方向如图示。由能量守恒，有mAgh = mAv02/2 ,v0 = (2gh)1/2(1)根据完全弹性碰撞基本公式，有m v = -m v + m v (2)A 0 A A B Bv + v = v(3)A B 0(1),，联立求解，得v = (m - mA B A) 2gh (

23、m + mV Z A BvB =加八莎(mA叫发生两次碰撞的条件是： vAvB , 即 mB-mA2mA mB3mA4.6.9 钢球静止地放在铁箱的光滑地面上，如图示。CD长1,铁箱与地面间无摩擦，铁箱被加速至 v0时开始做匀速直线运动，后来，钢球与箱壁发生完全弹性碰撞，问碰后再经过多长时间钢球与BD壁相 碰？解：以地为参考系，设v10，V为钢球与AC端碰撞前后的速度，v20,v2为铁箱碰撞前后的速度，据题意, v10=0,v20=v0.对于完全弹性碰撞，碰前接近速度等于碰后分离速度：v0=v1-v2，分离速度V-v2也就是碰后球相对箱的速度v,所以钢球由AC端运动到BD端所需时间为:At 二

24、 l/v二 l/(v - v )二 l/v1 2 04.6.10两车厢质量均为M,左边车厢与其地板上质量为M的货箱共同向右以v0运动，另一车厢以2v0 从相反方向向左运动并与左车厢碰撞挂钩，货箱在地板上滑行的最大距离为1,求：货箱与车厢地板间 的摩擦系数；车厢在挂钩后走过的距离，不计车地间摩擦。第二阶段是两节车厢以速度v在摩擦力作用下与货箱发生相对移动，移动距离是1,最后都静止下来。在此过程中，一对滑动摩擦力V。1做功之和为：Af=-p mgl,对质点系应用动能定理：1MMJ 匚Mpmgl = 0 1 Mv 2 1(2M)(1 v )2,卩=v 2 /(4gl)解：整个过程可分为两个阶段：第一

25、阶段是两个车对撞获得共同速度v (向左)，由动量守恒:M(2v0)-Mv0=2Mv, v=vJ22 0 2 20 0设货箱相对车的速度为v,显然，v=v0+v=2v+v=3v，两边同乘摩擦力作用时间At,即为对应的距离, l=3d, d=l/34.7.1质量为M的氘核以速率u与静止的质量为2M的a粒子发生完全弹性碰撞。氘核以与原方向成 90角散射。求a粒子的运动方向，用u表示a粒子的末速度，百分之几的能量由氘核传给a粒子？解：以氘核碰前速度u和碰后速度u的方向建立图示坐标0-xy;设0粒子碰后速度为v二v i + v j由动量守恒：Mu = Mu+2Mv，投影式为x： M u = 2M v .

26、*xy： 0 = Mu+2M vy由能量守恒,1 Mu 22v =u /2(1)x. v = - u/2(2)y二十 Mu2 + 十 x 2M (v 2 + v 2) (3)22xy将、代入中，可求得u=才u将代入中，求得vy 一才u ,卩与 x轴的夹角,0 = arctg v /v = arctg ( 3) = -30y x3(2) v =、:v 2 + v 2 = (u /2)2 + ( 3u /6)2 =二uxy3 E = 1(2M )v 2 = i Mu 2 =乞 x i Mu 2 =王 Ea 233 23 h4.7.2桑塔纳车的总质量m1=113X10kg,向北行驶，切诺基车的总质量

27、m2=152X10kg,向东行驶。两车 相撞后连成一体，沿东偏北0 =30滑出d=16m而停止。路面摩擦系数p =0.8。该地段规定车速不得超过 80km/h .问哪辆车违背交通规则？因碰撞损失多少动能？解：设碰撞前，桑塔纳和切诺基的速度分别为v1,v2.在发生完全非弹性碰撞可认为动量守恒，有m v + m v = (m + m )v11 22 1 2向北投影：miVi =(化+叮血3向东投影：m v = (m + m )vcos30 (2)2 2 1 2碰后两车连在一起，以速度 v 滑行 d 后停止，应用动能定理一卩(m + m )gd = 0 一 + (m + m )v2(3)1 2 2

28、1 2由(3)可求得v = p2卩gd = 57km/h，分别代入、中，可求得,v = mi+m2 vsin30 = 66.8km/h v = mi+m2 vcos30 = 86km/h 1m12m 2v280km/h切诺基汽车违反交通规则。损失动能芈=青mivi2 + 1 m2v22寸(m +m2i4.7.3球与台阶相碰的恢复系数为e,每级台阶的宽度和高度相同，均等于l,该球在台阶上弹跳，每 次均弹起同样高度且在水平部分的同一位置，即AB=CD,求球的水平速度和每次弹起的高度，球与台阶 间无摩擦。解：球每次弹起的速度V都相同，每次落地的速度v2也相同，由能量守恒:1 mv 2 + mgl =

29、 1 mv 22 i22v 2 一 v 2 = 2 gl, v 2 + v 2 一 v 2 一 v 2 = 2gl 2 1 2x 2 y 1x 1y 由牛顿碰撞公式： 一 v = ev 1y 2y在水平方向动量守恒： mv = mv , v = v 1 x2 x 1 x 2 x由可求得：v1yv2yy = v t + 士 gt2 1y2平抛公式：v = v + gt，l = v t,y 1y1x令vy=v2y，由可求得球从弹起到落地的时间:1 + e12/ (1 + e)gg (1 - e)代入中即可求得球的水平速度：v1x_l/ .21 (1 + e)_ 21 (1 + e) g(1-e)l :gl(1 -e)tg (1 - e) g (1 - e) 21 (1 + e)2(1 + e)令Vy=0,由可求得球达最大咼度所需时间:121=e (-g g (1 - e2)代入中即可求得球所能达到的最大咼度：i1 _21121e 27-e+ ge 2=1： g(1 -e2)2 g(1 e2)g 1 -e2