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1、第第6 6节对数与对数函数节对数与对数函数知识链条完善知识链条完善考点专项突破考点专项突破知识链条完善知识链条完善 把散落的知识连起来把散落的知识连起来知识梳理知识梳理1.1.对数的概念对数的概念如果如果a ax x=N(a0,=N(a0,且且a1),a1),那么那么x x叫做以叫做以a a为底为底N N的对数的对数,记作记作 ,其中其中a a叫做对数的底数叫做对数的底数,N,N叫做真数叫做真数.x=logx=loga aN N2.2.对数的性质、换底公式与运算性质对数的性质、换底公式与运算性质N N(2)(2)对数的运算法则对数的运算法则如果如果a0a0且且a1,M0,N0,a1,M0,N0
2、,那么那么logloga a(MN)=(MN)=;logloga aM+logM+loga aN Nlogloga aM-logM-loga aN N logloga aM Mn n=(n(nR R););nlognloga aM M(3)(3)换底公式换底公式:(a,b(a,b均大于零且不等于均大于零且不等于1).1).loglogb bN=N=loglogaaNb3.3.对数函数对数函数(1)(1)概念概念:函数函数y=logy=loga ax(a0,x(a0,且且a1)a1)叫做对数函数叫做对数函数,其中其中x x是自变量是自变量,函数的函数的定义域是定义域是(0,+).(0,+).(2
3、)(2)对数函数的图象与性质对数函数的图象与性质a1a10a10a1x1时时,y0;,y0;当当0 x10 x1时时,y0,y1x1时时,y0;,y0;当当0 x10 x0,y0在在(0,+)(0,+)上是上是 .在在(0,+)(0,+)上是上是 .(0,+)(0,+)R R(1,0)(1,0)增函数增函数减函数减函数4.4.指数函数与对数函数的关系指数函数与对数函数的关系指数函数指数函数y=ay=ax x(a0,(a0,且且a1)a1)与对数函数与对数函数y=y=(a0,(a0,且且a1)a1)互为反函互为反函数数,它们的图象关于直线它们的图象关于直线 对称对称.logloga ax xy=
4、xy=x2.2.在第一象限内在第一象限内,不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.对点自测对点自测D D(A)abc(A)abc(B)acb(B)acb(C)cba(C)cba(D)cab(D)cabD D2 2.(2018.(2018安徽皖西高中教学联盟期末质量检测安徽皖西高中教学联盟期末质量检测)计算计算loglog2 29 9loglog3 34+2log4+2log5 510+10+loglog5 50.250.25等于等于()(A)0 (A)0 (B)2 (B)2 (C)4 (C)4 (D)6(D)6解析解析:原式原式=2log=2log
5、2 23 3(2log(2log3 32)+log2)+log5 5(10(102 20.25)=4+log0.25)=4+log5 525=4+2=6.25=4+2=6.D D3.3.已知函数已知函数y=logy=loga a(x+c)(a,c(x+c)(a,c为常数为常数,其中其中a0,a0,且且a1)a1)的图象如图的图象如图,则下列结则下列结论成立的是论成立的是()(A)a1,c1(A)a1,c1(B)a1,0c1,0c1(C)0a1(C)0a1(D)0a1,0c1(D)0a1,0c1解析解析:由题图可知由题图可知,函数在定义域内为减函数函数在定义域内为减函数,所以所以0a1.0a0,
6、y0,即即logloga ac0,c0,所以所以0c1.0c1.4 4.(2018.(2018全国全国卷卷)已知函数已知函数f(x)=logf(x)=log2 2(x(x2 2+a),+a),若若f(3)=1,f(3)=1,则则a=a=.解析解析:因为因为f(x)=logf(x)=log2 2(x(x2 2+a)+a)且且f(3)=1,f(3)=1,所以所以1=log1=log2 2(9+a),(9+a),所以所以9+a=2,9+a=2,所以所以a=-7.a=-7.答案答案:-7-7答案答案:考点专项突破考点专项突破 在讲练中理解知识在讲练中理解知识考点一对数的运算考点一对数的运算【例例1 1
7、】(1)(1)(2017(2017全国全国卷卷)设设x,y,zx,y,z为正数为正数,且且2x=3y=5z,2x=3y=5z,则则()(A)2x3y5z(A)2x3y5z(B)5z2x3y(B)5z2x3y(C)3y5z2x(C)3y5z2x(D)3y2x5z(D)3y2x0,N(a0,且且a1)a1)是解决有关指数、对数问题的有效方法是解决有关指数、对数问题的有效方法,在在运算中应注意互化运算中应注意互化.反思归纳反思归纳考点二对数函数的图象及应用考点二对数函数的图象及应用【例例2 2】(1)(1)(2018(2018郑州一模郑州一模)若函数若函数y=ay=a|x|x|(a0,(a0,且且a
8、1)a1)的值域为的值域为y|y1,y|y1,则函数则函数y=logy=loga a|x|x|的图象大致是的图象大致是()解析解析:(1)(1)由于由于y=ay=a|x|x|的值域为的值域为y|y1,y|y1,所以所以a1,a1,则则y=logy=loga ax x在在(0,+)(0,+)上是增函数上是增函数,又函数又函数y=logy=loga a|x|x|的图象关于的图象关于y y轴对称轴对称.因此因此y=logy=loga a|x|x|的图象应大致为选项的图象应大致为选项B.B.答案答案:(1)B(1)B解析解析:(2)(2)如图如图,在同一坐标系中分别作出在同一坐标系中分别作出y=f(x
9、)y=f(x)与与y=-x+ay=-x+a的图象的图象,其中其中a a表示表示直线在直线在y y轴上的截距轴上的截距.由图可知由图可知,当当a1a1时时,直线直线y=-x+ay=-x+a与与y=logy=log2 2x x的图象只有一个交点的图象只有一个交点.答案答案:(2)(1,+)(2)(1,+)反思归纳反思归纳(1)(1)在识别函数图象时在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项排除不符合要求的选项.(2)(2)一些对数型方程、不等式问题
10、常转化为相应的函数图象问题一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形利用数形结合法求解结合法求解.【跟踪训练跟踪训练2 2】(1)(1)(2018(2018全国全国卷卷)下列函数中下列函数中,其图象与函数其图象与函数y=ln xy=ln x的的图象关于直线图象关于直线x=1x=1对称的是对称的是()(A)y=ln(1-x)(A)y=ln(1-x)(B)y=ln(2-x)(B)y=ln(2-x)(C)y=ln(1+x)(C)y=ln(1+x)(D)y=ln(2+x)(D)y=ln(2+x)(2)(2)已知函数已知函数f(x)=logf(x)=loga a(2(2x x+b-1
11、)(a0,a1)+b-1)(a0,a1)的图象如图所示的图象如图所示,则则a,ba,b满足的关满足的关系是系是()(A)0a(A)0a-1-1b1b1(B)0ba(B)0ba-1-111(C)0b(C)0b-1-1a1a1(D)0a(D)0a-1-1bb-1-111.a1.函数图象与函数图象与y y轴的交点坐标为轴的交点坐标为(0,log(0,loga ab),b),由函数图象可知由函数图象可知-1log-1loga ab0,b0,所以所以a a-1-1b1.b1.综上有综上有0a0a-1-1b1.b0,0,即即x x2 2-2x-30,-2x-30,解得解得-1x3.-1xbc(A)abc
12、(B)bac (C)cba (B)bac (C)cba (D)cab (D)cab反思归纳反思归纳(1)(1)比较对数值的大小主要是利用对数函数的单调性比较对数值的大小主要是利用对数函数的单调性.若底数不同若底数不同,真数相同真数相同,则可以先用换底公式化为同底后则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较再进行比较.若底数与真数都不同若底数与真数都不同,则常借助则常借助1,01,0等中间量进行比较等中间量进行比较.(2)(2)形如形如logloga axlogxloga ab b的不等式的不等式,借助借助y=logy=loga ax x的单调性求解的单调性求解,如果如果a a的取值不确的取值不确
13、定定,需分需分a1a1与与0a10ab0,0cb0,0c1,则则()(A)log(A)loga aclogclogb bc c(B)log(B)logc calogalogc cb b(C)a(C)ac cbccb b考查角度考查角度3:3:对数函数性质的综合应用对数函数性质的综合应用【例例5 5】已知函数已知函数f(x)=logf(x)=loga a(3-ax).(3-ax).(1)(1)当当x0,2x0,2时时,函数函数f(x)f(x)恒有意义恒有意义,求实数求实数a a的取值范围的取值范围;(2)(2)是否存在这样的实数是否存在这样的实数a,a,使得函数使得函数f(x)f(x)在区间在区
14、间1,21,2上为减函数上为减函数,并且最大值并且最大值为为1?1?如果存在如果存在,试求出试求出a a的值的值;如果不存在如果不存在,请说明理由请说明理由.反思归纳反思归纳(1)(1)确定函数的定义域确定函数的定义域,研究或利用函数的性质研究或利用函数的性质,都要在其定义域上进行都要在其定义域上进行.(2)(2)在利用单调性时在利用单调性时,一定要明确底数一定要明确底数a a的取值对函数增减性的影响的取值对函数增减性的影响,及真数及真数必须为正的限制条件必须为正的限制条件.答案答案:9 9备选例题备选例题【例例2 2】(2018(2018衡阳八中衡阳八中)函数函数f(x)=xf(x)=x满足
15、满足f(2)=4,f(2)=4,那么函数那么函数g(x)=g(x)=|log(x+1)|log(x+1)|的图象大致为的图象大致为()解析解析:由函数由函数f(x)=xf(x)=x满足满足f(2)=4,f(2)=4,即即2 2=4,=4,所以所以=2,f(x)=x=2,f(x)=x2 2,则则g(x)=|logg(x)=|log2 2(x+1)|,(x+1)|,将函数将函数h(x)=logh(x)=log2 2x x的图象向左平移的图象向左平移1 1个单位长度个单位长度(纵坐标不变纵坐标不变),),然后将然后将x x轴下轴下方的图象折上去方的图象折上去,即可知选即可知选C.C.(1)(1)求求
16、a a的值与函数的值与函数f(x)f(x)的定义域的定义域;(2)(2)若当若当x(1,+)x(1,+)时时,f(x)+log,f(x)+log2 2(x-1)m(x-1)m恒成立恒成立,求实数求实数m m的取值范围的取值范围.解解:(2)f(x)+log(2)f(x)+log2 2(x-1)=log(x-1)=log2 2(1+x),(1+x),当当x1x1时时,x+12,x+12,所以所以loglog2 2(1+x)log(1+x)log2 22=1.2=1.因为因为x(1,+),f(x)+logx(1,+),f(x)+log2 2(x-1)m(x-1)m恒成立恒成立,所以所以m1,m1,所以所以m m的取值范围是的取值范围是(-,1.(-,1.点击进入点击进入 应用能力提升应用能力提升
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