2017高三球的内接与外接课件.ppt

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1、球与多面体的内切、外接 定义 1：若一个多面体的各面都与一个球 的球面相切， 则称这个多面体是这个球的 外切多面体，这个球是这个多面体的内切球 . 定义 2：若一个多面体的各顶点都在一个球 的球面上，则称这个多面体是这个球的内接 多面体，这个球是这个多面体的外接球。 . r a 解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即 根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面 图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进 而将空间问题转化为平面问题 . 球的内接正（长）方体的对角线等于球直径。 一、直接法 A B C D D1 C 1 A1 O B1 A 1A C 1C O 对角面 2

2、23R 设棱长为 1 27 变式 1： 一个正方体的各顶点均在同一球的球 面上，若该正方体的表面积为 24，则该球的 体积为 . 43 例 1、 若棱长为 3的正方体的顶点都在同 一球面上，则该球的表面积为 . 变式 2： 一个长方体的各顶点均在同一球面 上，且一个顶点上的三条棱长分别为 1,2,3 ，则此球的表面积为 . 14 变式 3： 已知各顶点都在一个球面上的正四 棱柱高为 4，体积为 16，则这个球的表面积 为（ ） A. B. C. D. 16 20 24 32 C 甲图 乙图 丙图 例 1 甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱， 丙球外接于该正方体，则三球表面面积之

3、比为 ( ) A. 1:2:3 B. C. D. 1: 2 : 3 1: 8 : 2 73 31: 4 : 9 球的外切正方 体的棱长等于 球直径。 214=SR甲 正方形的对角线 等于球的直径。 224 = 2SR 乙 球的内接正方体的对 角线等于球直径。 234 = 3SR丙 A A C B P O 二、构造法 例 1、 （ 2012辽宁 16）已知正三棱锥 P-ABC，点 P,A,B,C都在半径为 的球面上，若 PA,PB,PC 两两互相垂直，则球心到截面 ABC的距离 为 。 3 3 3 1、构造正方体 变式题、已知球 O的面上四点 A、 B、 C、 D， 则球 O的体积为 。 3,

4、BCABDABCABA B CDA ，平面 29 构造边长为根号 3 的正方体即可 。 例 5、 求棱长为 a 的正四面体 P ABC 的外 接球的表面积。 求正多面体外接球的半径 求正方体外接球的半径 变式题： 一个四面体的所有棱长都为 ，四 个顶点在同一球面上，则此球的表面积（ ） A. B. C. D. 2 3 4 33 6 A 2、构造长方体 思路分析：此题欲计算所求值，应首先把它们放在一个封闭的 图形内进行计算，所以应构造熟悉的几何体并与球有密切的关 系，便于将球的条件与之相联 2、构造长方体 思路分析：正四棱柱也是长方体 .由长方体的体积 16及高 4可以 求出长方体的 底面边长为

5、 2，可得长方体的长、宽、高分别为 2， 2， 4，长方体内接于球，它的体对角线正好为球的直径 . 例（福建高考题） 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 ， 则其外接球的表面积是 . 3 思路分析： 此题用一般解法，需要作出棱锥的高，然后再设出球心，利用 直角三角形计算球的半径 . 而作为填空题，三条侧棱两两垂直，使我们很快联想到长方体 的一个角，马上构造长方体，由侧棱长均相等，所以可构造正方体 模型 . 2、构造长方体 变式 点 A、 B、 C、 D在同一个球面上， ，则 B、 C 两点间的球面距离是 _ B B C DA 平 面 BC DC 6 , A C= 2 1 3 ,A D =

6、 8AB 3 4 ， ， 变式、 (2013郑州质检 )在三棱锥 中， ,则该三棱 锥的内接球的表面积为 。 A B C D 6 , 5A B CD A C B D A D B C 43 三、确定球心位置法 球与三棱锥四个面相切，球心到四 个面的距离相等，都为球半径这样求 球的半径可转化为球球心到三棱锥面的 距离，故可采用等体积法解决，即四个 小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积 . 三、确定球心位置法 三棱锥的各个顶点在球面上，根 据截面图的特点，可以构造直角三 角形进行求解 . 球与一些特殊的棱锥进行组合，一定要抓住棱锥的几何 性质，可综合利用截面法、补形法等进行求解 . 例如，四个面都是直角

7、三角形的三棱锥，可利用直角三 角形斜边中点几何特征，巧定球心位置 . 球与旋转体切接问题 画出球及其它旋转体的公共轴截面，然后寻找两几何体元 素之间的关系 例 求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比 思路分析：首先画出球及它的外切圆柱、等边圆锥，它们公共 的轴截面，然后寻找几何体与几何体之间元素的关系 四、构造直角三角形 例、正四面体的棱长为 a，则其内切球 和外接球的半径是多少？ 解：如图 1所示，设点 o是内切球的球心，正四面体 棱长为 a由图形的对称性知，点 o也是外接球的球 心设内切球半径为 r，外接球半径为 R 正四面体的表面积 正四面体的体积 在 中， 即 ，得 22 3 4

8、34 aaS 表 2222 12 34 331 BEABaAEaV B C DA 3222 12 2 3 3 12 3 aaaa B C DAVrS 表3 1 a a a S Vr B C DA 12 6 3 12 23 3 2 3 表 BEORt 222 EOBEBO 2 2 2 3 3 raR aR 46 rR 3 五、寻求轴截面圆半径法 例 1、正四棱锥 S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为 ，点 S,A,B,C,D都在同一球面上，则此球的体积为 . C D A B S O 1 图 3 解 设正四棱锥的底面中心为 ，外接球的球心为 O， 如图 3所示 . 由球的截面的性质， 可得 又 ，

9、 球心 O必在 所在的直线上 . 的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接 圆的半径就是外接球的半径 . 在 中，由 是外接圆的半径，也是外接球的半径 .故 1O A B C DOO 平面1 1SO ASC ASC 1 2 . .,2,2 222 AC RtACA SC ACSCSAACSCSA 为斜边的是以 得 3 4 球V A BC DSO 平面1 2 解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答 时首先要 找准切点，通过作截面来解决 . 如果外切的是多面体， 则作截面时主要 抓住多面体过球心的对角面 来作； 把 一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接 问题 解决这类问题的关键是抓住内接的特点， 即球心到多面体的 顶点的距离等于球的半径 发挥空间想象力，借助于数形结合进 行转化，问题即可得解 如果是一些特殊的几何体，如正方体、正四面体等可以借助 结论直接求解 ,此时结论的记忆必须准确 . 高考题往往与三视图相结合。 例 在棱长为 1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切 （ 1）求两球半径之和； （ 2）球 的半径为多少时，两球体积之和最小 思路分析：此题的关键在于作截面，一个球在正方体内，一般作 对角面，而两个球的球心连线也应在正方体的体对角线上，故仍 需作正方体的对角面 ，得如图的截面图，在图中，观察 R与 r和 棱长间的关系即可