华中师范大学微分几何试题答案

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1、华中师范大学2004 -2005学年第二学期期末考试试卷（A卷）答案题型填空计算证明应用总分分值10701010100得分得分评阅人一、填空题：（共5题，每题2分,课程名称 微分几何 课程编号任课教师 周振荣1曲线的伏雷内公式为共10分）2设曲面的参数表示为r = r（u,v），则I r x r I用第一基本量表示为 uvvEG-F23曲面的高斯方程为R三L L -L Lmjkmk j mj ik4曲面的科达齐方程为生(ri l -ril)duk dujik j j lk/5.第二类克氏符号r/ =x 1 gki(監+处-叟j) j 2dujduidui70分）i得分评阅人二、计算题：（共3题

2、，1圆柱螺线的参数表示为r = （cos t,sin t,t）。计算它在（1,0,0）点的切线、密切平面、法平面方程以及在任意点处的曲率和挠率。（35分）解：r(0) = 1,0,0, r(0)二0,1,1,r(0) = -1,0,0，所以切线：罟=干=罕法平面：(X -1).0 + (Y -0) .1 + (Z -0) .1 二 0，即 Y + Z = 0X -1 Y Z密切平面：0 11二0，即-Y + Z = 0-10 0r（t） = -cost，sint,0, r（t） = sin t,-cost,0。I门=辽 r x r = sin t, - cos t ,1,I r x rl=+

3、远,2计算抛物面z = x2 + y2的第一基本形式、第二基本形式、高斯曲率、平均曲率、脐点。（35分）解：r = x, y,x2 + y2， r = 1,0,2x, r = 0,1,2y，xy所以有L=2r n =xxM =r n =0，xyN=得分评阅人在脐点有II = XI，由此得x = y = 0，即唯一的脐点是原点。三、证明题：（共1题，10分）若曲面的两族渐近线交于一定角，则主曲率之比为常数。证明：取渐进网为曲纹坐标网，则v曲线与u曲线的夹角为常数9，且v曲线方向的法曲率为零。根据欧拉公式有k cos2 9 + k sin2 9 = 0得分评阅人12四、应用题：（共1题， 10分）

4、用高斯-波涅定理证明极小曲面上不存在简单闭测地线。解： k + k = 012由于在测地线上k =0g由高斯-波涅公式有口 Kdo = 2兀 0。矛盾华中师范大学2005 - 2006学年第二学期期末考试试卷（A卷）课程名称 微分几何 课程编号任课教师 周振荣题型叙述填空计算证明总分分值10303030100得分得分评阅人一、叙述题：（共4题，每题5分，共10分）1高斯定理：高斯曲率是内蕴量，或K = -R / g12122高斯-波涅公式： J! Kd q + Jk ds +艺（兀-a ） = 2兀,其中a是3G的第i个 giiGdGi=1内角的角度，兀-a是外角的角度.得分评阅人二、填空题：

5、 （共5空，每空6分，共30分）3 设有曲线x = et cos t, y = et sin t, z = et，当t = 0时的切线方程为x-1= y = z -1。4设曲面的参数表示为r = r（u,v），则Ir xr I用第一基本量表示为uvEG - F 2。5曲线x二tsint,y二tcost,z二妙在原点的切向量为a二(0耳耳)，主法向、副法向量为量为卩二广6得分评阅人3、计算题：共 2 题，每题 15 分，共 30 分)6圆柱螺线的参数表示为r = (a cos t, a sin t, bt)。计算它的曲率和挠率。解 r = (-a sin t, a cos t, b)，r = (

6、-a cos t, -a sin t,0)，r = (a sin t, -a cos t,0)， I r 1= a2 + b2，rxr = (absint,-abcost,a2)，I r x r I= a2b2 + a4 所以有a2+b2a2+b27计算正螺面 r =(ucosv,usinv, av) 的高斯曲率、平均曲率解 r =(cosv,sin v,0) ， r =(-usinv,ucosv,a)， uvr =(0,0,0) ， r =(-sinv,cosv,0) ， r =(-ucosv,-usinv,0)， uu uv vvr x rn = uvI r xr Iuv(asinv,-a

7、cosv,u) ，=E = r - r = 1,uuF = r - r = 0 , G = r - r = a 2 + u 2, u vv vijr x r =cos vsin vuv-u sin vu cos vk0 = (a sin v, -a cos v, u),aLN - M 2a2得分评阅人EG F2(a2 + u 2)2四、证明题：（共 2 题，每题 15 分，共 30 分） 8求证1）如果测地线是渐近线，则它必定是直线。2）如果测地线是曲率线，则它必定是平面曲线。证明（1）由K2 =K2 +K2，如果曲线是测地线（K = 0 ）且是渐近线 gg（K = 0 ），则K = 0，所以

8、曲线是直线。n（2）由伏雷内公式有0 = Ka +ty。由于曲线是测地线，有卩=n。综合这两个等式有n = ka +t丫。因为曲线是曲率线，所以a是Weingarten所Xa = Ka +t y，工=0 变换川的特征向量，即a a，其中九是主曲率。再由Weingarten变换的定义 a =(r u + r V)= n u n v = n ,u vu v9 证明球面r = （a cos u cos v, a cos u sin v, a sin u）上曲线的测地曲率为K = 一gd s证明d sin u竺，其中9是曲线与球面上经线（u-曲线）的夹角。 ds因为经线是u-曲线，所以9是曲线与u-曲

9、线的夹角。直接计算F =0， G = a2 cos2 u 。因为drrrrr=cos9 +sin9 = = cos9 += sin9 ,dsI r II r IEGuV另一方面，由链式法则有匹=r+ r dv。比较这两式得dsu dsv dssin 9 = JG dv , cos 9 = ：E 包 dsds代入刘维尔公式得华中师范大学2006 - 2007学年第二学期期末考试试卷（A卷）答案课程名称 微分几何 课程编号任课教师 郭驼英、周振荣题型简述填空计算证明总分分值15204520100得分得分评阅人一、简述题：（共3题，军1什么叫内蕴量请举两个内蕴量的例子。5分，共15分）答由第一基本形

10、式决定的量叫内蕴量。如高斯曲率、曲面区域的面积。2请叙述曲面的基本定理答给定两个二次型I二工g duiduj和II二工L duiduj，其中I0。如果g ijijiji, ji, j与L满足高斯、科达齐方程，则存在曲面S : r = r （u, v）,使得第一基本形 ij式是I，第二基本形式是II ；如果忽略空间的位置差别，这样的曲面是唯 一的。3 .第二基本形式II = drdn吗为什么答II = -dr -dn。这是因为dr n = 0，两边微分得d2r -n + dr -dn = 0。再由第二基本形式的定义即得。得分评阅人共4空，每空5分，共20分）4设有曲线x = et cost,y

11、= et sint,z = et，则当t = 0时的切线方程为x 1 = y = z 1。5设曲面S :r = r(u,v)的第一基本形式为I = du2 + sinh2 udv2，则其上的曲线 u = v 从 v = v 到 v = v 的弧长为 I sinh v - sinh v I。(这里 sinh t =-)1 2 1 26设曲面S :r = r(u,v)在某点处的第一基本量为E = G = 1,F = 0，第二基本量为L = a,M = 0,N = b，则曲面在该点沿方向(d) = (1:2)的法曲率为7设曲面S :r = r(u,v)在某点处的第二基本量为L = 1,M = 0,N

12、 = 1，贝V曲面在该点的渐近方向为(d) = (1: 1)。8.得分评阅人共 3 题，每题 15 分，共 45 分)求曲线r(t) = (a cosh t, a sinh t, at)的曲率和挠率,其中 cosht =et + etet etsinh t =2解由一般参数的曲率公式K (t) = 土匸和挠率公式T (t) = I I以及 r 半r x r |2有I r 1= p2a cosh t,I r xr 1=、：2a2 cosh21,(r , r , r ) = a 2 ，9计算抛物面z = x2 + y2的高斯曲率和平均曲率.解 设抛物面的参数表示为r(x, y) = (x, y,x

13、2 + y2)，则r = (1,0, 2 x) ， xr = (0,1,2y) ， yr = (0,0, 2)，xxr = r = (0,0,0) ， r = (0，0，2) ， xy yxyyr x r =xy=(2x, 2y,1),r x rn = x| r xr |xy(2 x，-2 y,l)E = r - r = 1 + 4 x 2，F = r - r = 4 xy， G = r - r = 1 + 4 y 2，yy yxxL = r - n =xx4 x 2 + 4 y 2 +1M = r - n = 0， xyN = r - n =:yyJ4 x 2 + 4 y 2 +104x2+

14、4y2+1LN M 2 EG 一 F 2(1+ 4 x 2)(1+ 4 y 2) 一 (4 xy)2 (4 x 2 + 4 y 2 +1)2口 1 GL 一 2 FM + EN 4 x 2 + 4 y 2 + 2H = 2EG F 23(4 x 2 + 4 y 2 +1)210求位于正螺面 r = (u cos v, u sin v, av)上的圆柱螺线x = u cos v , y = u sin v , z = av 的测地曲率。 00解 因为F二0，所以是正交网。圆柱螺线是v-曲线，由刘维尔定理有kgv=1 a In G2 迁 du O直接计算得E = 1,G =u 2 + a 2，所以

15、k =-。gv u 2 + a20得分评阅人四、证明题：(共2题，每题10分，共20分)11.求证直纹面的高斯曲率K 0，则存在曲线C:r = r(s)，使得其曲 率是k，挠率是工；如果忽略空间的位置差别，这样的曲线是唯一的。3叙述第二基本形式的定义。II = Ldu2 + 2Mdudv + Ndv2，其中 L = r -n,M = r -n,N = r -n。 uuuvvv得分评阅人二、填空题：(共4空，每空 5分，共20分)4设有曲线x = et cost,y = et sint,z = et，则当t = 0时的切线方程为5设曲面S :r = r(u,v)的第一基本形式为I = du2 +

16、 sinh2 udv2，则其上的曲线 u = v 从 v = v 到 v = v 的弧长为 I sinh v - sinh v I。（这里 sinh t =-）1 2 1 2 26设曲面S :r = r(u,v)在某点处的第一基本量为E = G = 1,F = 0，第二基本量为L = a,M = 0,N = b，则曲面在该点沿方向(d) = (1:2)的法曲率为7.设曲面S :r = r(u,v)在某点处的第一类基本量为E = 1,G = 1，且曲面在该点的切向量r ,r相互平行，则F在该点等于1。得分评阅人uv三、计算题：(共3题,每题15分,共45分)8.圆柱螺线的参数表示为r = (a

17、cos t, a sin t, bt)。计算它的曲率和挠率。解 r = (-a sin t, a cos t, b),r = (-a cos t, -a sin t,0),r = (a sin t, -a cos t,0) , I r 1= a2 + b2 ,rxr = (absint,-abcost,a2),I r x r I= a2b2 + a4 .所以有a2 +b2a2 +b29计算抛物面z = x2 + y2的高斯曲率和平均曲率.解 设抛物面的参数表示为r(x, y) = (x, y,x2 + y2)，则r =(1,0,2x),xr = (0,1,2y) , yr = (0,0, 2)

18、,xxr = r = (0,0,0) , r = (0,0,2) , yyxy yxr x r =xy= (-2x, -2 y,1)，n = x-=I r xr I xy4 x 2 + 4 y 2 +1E = r - r =1 + 4 x 2,F = r - r = 4 xy ,xxxyL = r - n =2,M = rr x rG = r - r = 1 + 4 y 2, yy4 x 2 + 4 y 2 +1-n = 0 , xyN = r - n =:04x2 + 4 y2 +1yyJ4 x 2 + 4 y 2 +1LN M2 EGF2(1+ 4x2 )(1+ 4 y2 ) (4xy)2

19、 (4x2 +4y2 +1)21 GL 2 FM + EN _ 4 x 2 + 4 y 2 + 2 2 EG F 23(4 x 2 + 4 y 2 +1)210求位于正螺面 r = (u cosv,u sin v, av) 上的圆柱螺线x = u cos v, y = u sin v, z = av 的测地曲率。 00解 因为F二0，所以是正交网。圆柱螺线是v-曲线，由刘维尔定理有k1 a In G 。 gv2、：Edu直接计算得 E = 1,G =u 2 + a 2,得分评阅人四、证明题：所以k 仃gv u 2 + a2 0共 2 题，每题 10 分，共 20 分)11.求证直纹面的高斯曲率

20、K 0 ,等号成立的充要条件是直纹面可展。证明直纹面的参数表示为r = a(u) + vb(u)。由此得r =a (u)+vb (u)， r =b(u)， uvr = a + v b ， r = b ， r = 0 ， uuuvvvr(b,b,b)v 2 + (a,b,b) + (b, ar, b)v + (a, ar , b)L =、：EG F 2M 巴心 b) , N = 0。EG F 2所以 K = LN -M2 = (b ：叭bEG F 2(EG F 2)2等式成立的充要条件是b ab=o，即曲面是可展曲面。12设有曲面r = r(u,v)，其单位法向量是n，咼斯曲率是k。证明 n x

21、 n = Kr x r。u v u v证明因n ,n是切向量，所以n xn /r xr。u vu v u v设n xn = Xr xr。两边与r xr作内积得u v u vu v(n x n ) - (r x r ) = X (r x r ) - (r x r )。u v u vu v u v得分评阅人由拉格朗日公式得九二K。四、证明题：(共 2题，每题10分，共 20分)11.求证直纹面的高斯曲率K 0，等号成立的充要条件是直纹面可展。证明 直纹面的参数表示为r = a(u) + vb(u)。由此得r = a(u) + vb(u)， r = b(u)， uvr = a + vb， r = b

22、， r = 0， uuuvvva x b + vb x b n =EG - F 2r(b ,b , b)v 2 + (a ,b , b) + (b ”, a ,b)v + (a ”, a ,b)：EG - F 2L =M = (ba；b)，N = 0。(bf, a, b)2EG F 2所以 K = LN - M 2 =- 0,EG F 2(EG F 2)2等式成立的充要条件是(b,a,b) = 0，即曲面是可展曲面。12设有曲面r = r(u,v)，其单位法向量是n，咼斯曲率是K。证明 n x n = Kr x r。u v u v证明因n ,n是切向量，所以n xn /r xr。u vu v u v设n xn = Xr xr。两边与r xr作内积得u v u vu v(n x n ) - (r x r ) = X (r x r ) - (r x r )。u v u vu v u v由拉格朗日公式得 X = K 。