2020年广东省广州市天河区高考数学一模试卷(理科)

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1、I223B2020 年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的1已知集合A = x | x -x -6 1 ，则 ( A) B =(R)A 3 ， +)B (1 ， 3C (1,3)D (3, +)2设复数 z 满足 ( z +2i) gi =3 -4i ，则复数 z 在复平面内对应的点位于 ( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3设等差数列 a 的前 n 项和为 S ，若 a +a =15 -a ，则 S 等于 ( )n n 2 8 5 9A18 B36 C45 D

2、604已知 m ， n )是两条不同的直线， a ， b ， g是三个不同的平面，则下列命题正确的是 (A若 m / /a， n / /a ，则 m / / nB若 a g， bg，则 a / /bC若 m / /a ， n / /a ，且 m b， n b，则 a / /bD若 m a， n b，且 a b，则 m n5( x 2 +2)(1x2-1)5的展开式的常数项是 ( )A -3B -2C2D36已知1x =1n ， x =e 1 2-12， x 满足 e3-x=lnx ，则下列各选项正确的是 ( ) 3A x x x B x x x C x x x D x x x1 3 2 1 2

3、 3 2 1 3 3 1 27中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同 长短的小木棍如图，是利用算筹表示数1 9 的一种方法例如：3 可表示为“ ”，26可 表示为“ =”现有6 根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1 9 这 9 数字 表示两位数的个数为 ( )A13 B14 C15 D168在矩形 ABCD 中， AB =3 ， AD =4 ， AC 与 BD 相交于点 O ，过点 A 作 AE BD ，垂足uuur uuur 为 E ，则 AE gEC =()A72 125 25C125D14425第1页（共19页）p 31 21 21p3

4、229函数2f ( x ) =( -1)sin x 1 +e x图象的大致形状是 ( )A BC D102 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排，若 3 位女生中有且只有两位女生相邻，则 不同排法的种数是 ( )A36 B24C72 D14411 已 知 函 数 f ( x) =sin(2 x - ) ， 若 方 程 f ( x) = 的 解 为 x ， x (0 x x p6 5) ， 则sin( x -x ) =(1 2)A-35B -45C -23D -3312已知函数4 4 -x 2f ( x ) =( k + )lnx + ， k 4 ， +)，曲线 y = f ( x) 上总

5、存在两点 M ( x ，k xy ) ， N ( x ， y ) ，使曲线 y = f ( x ) 在 M ， N 两点处的切线互相平行，则 x +x 的取值范 1 2 2 1 2围为 ( )A8 16( , +) B ( , +) 5 58C , +)516D , +)5二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分13已知数列 a 满足 a =1 ， a =1 +a +a ( n N *, n2) ，则当 n1 时， a =n 1 n 1 n -1 n14设当 x =q时，函数 f ( x ) =sin x + 3 cos x 取得最大值，则 tan(q+ ) = 415已

6、知函数f ( x ) =x +ax +bx +a 在 x =1 处有极小值 10，则 a -b =16 在三棱锥 S -ABC 中， SB =SC =AB =BC =AC =2 ，侧面 SBC 与底面 ABC 垂直，则 三棱锥 S -ABC 外接球的表面积是 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考 题，每个试题学生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题： 共 60 分。17 （ 12 分 ） 在 锐 角 DABC 中 ， 角 A ， B ， C 对 应 的 边 分 别 是 a3pcos2 A +sin( -A)

7、+1 =0 2， b ， c， 且（1） 求角 A 的大小；（2） 若 DABC 的面积 S =3 3 ， b =3 求 sin C 的值18（12 分）在等比数列 a 中，公比 q (0,1) ，且满足 a =2 ， a 2 +2a a +a a =25 n 4 3 2 6 3 7（1）求数列 a 的通项公式；n第2页（共19页）n2 nnn（2）设的值S S S Sb =log a ，数列 b 的前 n 项和为 S ，当 1 + 2 + 3 + n 取最大值时，求 n1 2 3 n19（12分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形 ABCD 是边长为4 33的菱形，BCD =60，AC

8、与 BD 交于点 O ，平面 FBC 平面 ABCD ， EF / / AB ， FB =FC ， EF =2 33（1） 求证： OE 平面 ABCD ；（2） 若 DFBC 为等边三角形，点 Q 为 AE 的中点，求二面角 Q -BC -A 的余弦值20（12分）某种规格的矩形瓷砖(600mm 600mm) 根据长期检测结果，各厂生产的每片瓷砖质量 x (kg ) 都服从正态分布N (m,s2) ，并把质量在 (u -3s,u +3s) 之外的瓷砖作为废品直接回炉处理，剩下的称为正品（）从甲陶瓷厂生产的该规格瓷砖中抽取 10 片进行检查，求至少有 1 片是废品的概率； （）若规定该规格的每

9、片正品瓷砖的“尺寸误差”计算方式为：设矩形瓷砖的长与宽分别为 a(mm ) 、 b ( mm) ，则“尺寸误差” ( mm) 为 | a -600 | +| b -600 | ，按行业生产标准，其 中“优等”、“一级”、“合格”瓷砖的“尺寸误差”范围分别是0，0.2 、0.2 ，0.5 、0.5 ， 1.0 （正品瓷砖中没有“尺寸误差”大于 1.0mm 的瓷砖），每片价格分别为 7.5 元、 6.5 元、5.0 元现分别从甲、乙两厂生产的该规格的正品瓷砖中随机抽取 100 片瓷砖，相 应的“尺寸误差”组成的样本数据如下：尺寸误差00.10.20.30.40.50.6频数103030510510

10、（甲厂瓷砖的“尺寸误差”频数表）用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率（）记甲厂该种规格的 2 片正品瓷砖卖出的钱数为 x（元 ) ，求 x的分布列及数学期望 E (x) （）由如图可知，乙厂生产的该规格的正品瓷砖只有“优等”、“一级”两种，求 5 片该第3页（共19页）5a()p规格的正品瓷砖卖出的钱数不少于 36 元的概率附：若随机变量 Z 服从正态分布N (m,s2) ，则 p (m-3sZ 1,使f x +x 成立，求整数 a 的最小值x（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的 第一题计分。选修 4-4：坐标系与参数方程22（

11、10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为x =cos a+ 3sin a y =sin a- 3 cos a(a为参数），坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l 方程为 rcos(q+ ) =2 6（1）求曲线 C 和直线 l 的直角坐标方程；的极坐标（2 ）直线 l与 y 轴的交点为 P ，经过点 P 的动直线 m 与曲线 C 交于 A 、 B 两点，证明：| PA |g| PB | 为定值选修 4-5：不等式选讲（10 分）23已知函数 f ( x ) =|x -1| +| 2 x +m | ( m R) （1）若 m =2 时，

12、解不等式 f ( x) 3 ；（2）若关于 x的不等式 f ( x) | 2 x -3| 在 x 0 ， 1 上有解，求实数 m 的取值范围第4页（共19页）IR995952020 年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的1已知集合A = x | x2-x -6 1 ，则 ( A) B =(R)A 3 ， +)B (1 ， 3C (1,3)D (3, +)【思路分析】先确定 A ，再求出 A ，而后可求 ( A) R RIB 【解析】：A = x | -2

13、 x 3， A = x | x -2 或 x3 ，( A)I B =x | x3 =3 ， +)R故选： A 【总结与归纳】此题考查了交、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键 2设复数 z 满足 ( z +2i) gi =3 -4i ，则复数 z 在复平面内对应的点位于 ( )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【思路分析】利用复数的运算法则，进行正确的计算即可【解析】：设复数 z =a +bi ， ( z +2i)gi =ai -(b +2) =3 -4i b +2 =-3， a =-4； a =-4， b =-5； 复数 z =-4-5i， z =-4+5i，复数 z

14、 在复平面内对应的点位于第二象限故选： B 【总结与归纳】本题考查了复数代数式形式的乘除运算，考查了学生的计算能力，属于基础 题3设等差数列 a 的前 n 项和为 S ，若 a +a =15 -a ，则 S 等于 ( )n n 2 8 5 9A18 B36 C45 D60【思路分析】由等差数列的通项公式知 公式知 S = 2 a 2a +a =15 -a a =5 ，再由等差数列的前 n 项和 2 8 5 5【解析】：Q a +a =15 -a ，2 8 5 a =5 ，59 S = 2 a =45 2故选： C 【总结与归纳】本题考查等差数列的性质和应用，解题时要注意等差数列的通项公式和前

15、n 项和公式的合理运用4已知 m ， n )是两条不同的直线， a ， b ， g是三个不同的平面，则下列命题正确的是 (A若 m / /a ， n / /a ，则 m / / nB若 a g， bg，则 a / /b第5页（共19页）51-2311xx-xC若 m / /a， n / /a，且 m b， n b，则 a / / bD若 m a， n b，且 a b，则 m n【思路分析】在 A 中， m 与 n相交、平行或异面；在 B 中，a 与 b相交或平行；在 C 中，a与 b相交或平行；在 D 中，由线面垂直、面面垂直的性质定理得 m n 【解析】：由m ， n是两条不同的直线， a

16、， b， g是三个不同的平面，知：在 A 中，若 m / /a， n / /a，则 m 与 n相交、平行或异面，故 A 错误；在 B 中，若 a g， bg，则 a 与 b相交或平行，故 B 错误；在 C 中，若 m / /a ， n / /a ，且 m b， n b，则 a 与 b 相交或平行，故 C 错误；在 D 中，若 m a， n b，且a b，则线面垂直、面面垂直的性质定理得 m n ，故 D 正确故选： D 【总结与归纳】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基 础知识，是中档题5( x2+2)(1x 2-1)5的展开式的常数项是 ( )A -3B -2C

17、2 D3【思路分析】( x21+2)( -1)5x2的展开式的常数项是第一个因式取 x2，第二个因式取1x2；第一个因式取 2，第二个因式取( -1)5，故可得结论【解析】：第一个因式取x2，第二个因式取1x2，可得1 C 45( -1)4=5 ；第一个因式取 2，第二个因式取( -1)5，可得 2 ( -1)=-21 ( x 2 +2)( -1)5 的展开式的常数项是 5 +( -2) =3x2故选： D 【总结与归纳】本题考查二项式定理的运用，解题的关键是确定展开式的常数项得到的途径6已知1x =1n ， x =e 2 ， x 满足 e 2-x3=lnx ，则下列各选项正确的是 ( ) 3

18、A x x x B x x x C x x x1 3 2 1 2 3 2 1 3 【思路分析】本题可以选择 0，1 两个中间值采用搭桥法处理D x x x 3 1 2【解析】：依题意，因为 y =lnx 为 (0, +)上的增函数，所以1x =1n 0 ，所以 0 x =e2-12， 0 ，所以 e-x3 0 ， 3所以 lnx 0 =ln1 ，3又因为 y =lnx 为 (0, +)的增函数， 所以 x 1 ，3综上： x x x 1 2 3故选： B 第6页（共19页）A BC D【总结与归纳】本题考查了指数函数，对数函数的单调性，函数值的大小比较等，属于中档 题7中国古代十进制的算筹计数

19、法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同 长短的小木棍如图，是利用算筹表示数1 9 的一种方法例如：3 可表示为“ ”，26可 表示为“ =”现有6 根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1 9 这 9 数字 表示两位数的个数为 ( )A13 B14 C15 D16【思路分析】根据题意，分析可得 6 根算筹可以表示的数字组合，进而分析每个组合表示 的两位数个数，由加法原理分析可得答案【解析】：根据题意，现有 6 根算筹，可以表示的数字组合为 1、5，1、9，2、4，2、8， 6、4，6、8，3、3，3、7，7、7；数字组合 1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3

20、、7 中，每组可以表示 2 个两位数， 则可以表示 2 7 =14 个两位数；数字组合 3、3，7、7，每组可以表示 2 个两位数，则可以表示 2 2 =4 个两位数； 则一共可以表示 12 +4 =16 个两位数；故选： D 【总结与归纳】本题考查排列、组合的应用，关键是理解算筹的定义8在矩形 ABCD 中， AB =3 ， AD =4 ， AC 与 BD 相交于点 O ，过点 A 作 AE BD ，垂足uuur uuur 为 E ，则 AE gEC =()72 12 125 25 514425【思路分析】根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标写出 AE 与 BD 的方程，求出点 E 的uuu

21、r uuur坐标，再利用向量坐标表示计算 AE gEC 的值【解析】：建立平面直角坐标系，如图所示；第7页（共19页） 4 2536 4864 27uuur uuur所以矩形 ABCD 中， AB =3 ， AD =4 ， 则 A(0,3) ， B (0,0) ， C (4,0) ， D (4,3) ；直线 BD 的方程为3y = x ；4由 AE BD ，则直线 AE 的方程为4 4y -3 =- x ，即 y =- x +3 ；3 3 3 36y = x x =由 ，解得 ，4 27y =- x +3 y = 3 2536 27E ( ， )25 25uuur uuur所以 AE =( ，

22、 - ) ， EC =( ， - ) ，25 25 25 2536 64 48 27 144AE gEC = +( - ) (- ) = 25 25 25 25 25故选： D 【总结与归纳】本题考查了平面向量的坐标表示与数量积计算问题，是基础题9函数2f ( x ) =( -1)sin x 1 +e x图象的大致形状是 ( )A BCD【思路分析】根据条件先判断函数的奇偶性，和对称性，利用 f （1）的值的符号是否对应 进行排除即可【解析】：2 1 -e xf ( x ) =( -1)sin x = gsin x ， 1 +e x 1 +e x则1 -e-x e x -1 1 -e xf (

23、 -x) = gsin(-x) = g( -sin x) = gsin x = f ( x) ，1 +e -x ex +1 1 +e x则 f ( x ) 是偶函数，则图象关于 y 轴对称，排除 B ， D ，第8页（共19页）p 31 21 215211 2111 2 211112当 x =1 时， f （1）=1 -e1 +egsin1 0，排除 A ，故选： C 【总结与归纳】本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数奇偶性和对称性的性质以及 函数值的对应性利用排除法是解决本题的关键102 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排，若 3 位女生中有且只有两位女生相邻，则 不同排法的种

24、数是 ( )A36 B24 C72 D144【思路分析】把 3 位女生的两位捆绑在一起看做一个复合元素，和剩下的一位女生，插入 到 2 位男生全排列后形成的 3 个空中的 2 个空中，问题得以解决【解析】：根据题意，把 3 位女生的两位捆绑在一起看做一个复合元素，和剩下的一位女生， 插入到 2 位男生全排列后形成的 3 个空中的 2 个空中，故有 A2 A2 A2 3 2 3故选： C =72 种，【总结与归纳】本题考查排列中相邻问题和不相邻问题，相邻用捆绑，不相邻用插空11 已 知 函 数 f ( x) =sin(2 x - ) ， 若 方 程 f ( x) = 的 解 为 x ， x (0

25、 x x p6 5) ， 则sin( x -x ) =(1 2)A-35B -45C -23D -33【 思 路 分 析 】 由 已 知 可 得x =22 p3-x ， 结 合 x x 求 出 x 的 范 围 ， 再 由 1 1 2 1sin( x -x ) =sin(2 x - 1 2 12p p ) =-cos(2 x - )3 6求解即可【解析】：因为0 x p，p p 11p 2 x - ( - , )6 6 6，又因为方程3f ( x) = 的解为 x ， x (0 x x p1 2 1 2) ，x +x p 2p 1 2 = ， x = -x ，2 3 32p p sin( x -

26、x ) =sin(2 x - ) =-cos(2 x - ) ，3 6因为2p px x , x = -x ， 0 x k 4kf (x ) = f (x )( x ， x 0 ，且 x x ) 1 2 1 2 1 2对 k 4 ， +)都成立，令4g ( k ) =k + ， k 4 ， +)，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出k【解析】：函数4 4 -x 2 4 1 4f ( x ) =( k + )lnx + ，导数 f (x) =( k + ) g - -1 k x k x x 2由题意可得 f (x ) = f (x )( x ， x 0 ，且 x x )1 2 1 2 1 2

27、4 4k + k +4 4- -1 = - -1 ，x x 2 x x 21 1 2 2化为 4( x +x ) =( k + ) x x ，1 2 1 2而x +x x x ( 1 21 2)2，4 x +x 4( x +x ) 1 216k +4k对 k 4 ， +)都成立，令4g ( k ) =k + ， k 4 ， +)，k4g (k) =1 - 0 ，对 k 4 ， +)恒成立，k 2即 g ( k ) 在 4 ， +)递增， g ( k )g （4） =5 ，16 16 ，4 5k16 16 x +x ，即 x +x 的取值范围是 (5 5， +)故选： B 【总结与归纳】本题考查

28、了利用导数研究函数的单调性极值与最值、问题的等价转化方法、 基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分13已知数列 a 满足 a =1 ，a =1 +a +a ( n N *, n2) ，则当 n1 时，a = 2n -1 n 1 n 1 n -1 n【思路分析】根据已知条件写出数列的前几项，分析规律，并归纳出数列的通项公式即可【解析】：Q 数列 an满足 a =1 ，1第10页（共19页）23p23 222a =1 +a +a n 1则 a =1 =2 0 ， 1n -1( n N*， n2) ，a =2 =21 2，

29、a =4 =2 ， 3a =8 =2 ， 4由此可得当 n1 时， 故答案为： 2 n -1 a =2nn -1【总结与归纳】本题考查了用归纳法求数列的通项公式，关键是能够根据数列的前几项分析 规律，并大胆猜想，属于基础题14设当 x =q 时，函数 f ( x ) =sin x + 3 cos x 取得最大值，则 tan(q+ ) = 2 + 3 4【思路分析】f ( x) 解析式提取，利用两角和与差的正弦公式化为一个角的正弦函数，由x = 时函数 f ( x ) 取得最大值，得到 q 的取值，后代入正切公式中计算求值q【解析】： f ( x) =sin x + 3 cos x =2sin(

30、 x + Q 当 x =q时，函数 f ( x) 取得最大值p3)；q+p3=p2+2 kp, k z；p+2 k p， k z ；q=6p p p p p tan(q+ ) =tan( +2 k p+ ) =tan( + ) =4 6 4 4 61 +1 -3333=2 + 3故答案为： 2 + 3 【总结与归纳】本题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，熟练 掌握公式是解本题的关键15已知函数f ( x ) =x3+ax2+bx +a 在 x =1 处有极小值 10，则 a -b = 15 【思路分析】根据函数f ( x ) =x3+ax2+bx +a2在 x =1 处

31、有极小值 10 得 f （1）=0，f （1）=10 即可求出 a -b 的值【解析】：Q f (x) =3 x2+2 ax +b ，Q 函数 f ( x ) =x +ax +bx +a 在 x =1 处有极小值 10， f （1）=0 ， f （1） =10 ， 3 +2 a +b =0 ， 1 +a +b +a2=10 ，解得 a =4 ， b =-11 或 a =-3， b =3 ， 当 a =4 ， b =-11 时，f (x) =3 x +8 x -11 =(3 x +1)(x -1) ， 此时 x =1 是极小值点；当 a =-3， b =3 时，f (x) =3 x2-6 x +

32、3 =3( x -1)2，此时 x =1 不是极小值点第11页（共19页）13p13p a =4 ， b =-11 ， a -b =15 故答案：15【总结与归纳】本题考查利用导数求函数极值的处理策略，关键是 f （1）=0，f （1）=10 ， 属于基础题16 在三棱锥 S -ABC 中， SB =SC =AB =BC =AC =2 ，侧面 SBC 与底面 ABC 垂直，则三棱锥S -ABC 外接球的表面积是 3【思路分析】如图所示，取 BC 的中点 D ，连接 SD ， AD 设 G 为 DABC 的中心， O 为三 棱锥 S -ABC 外接球的球心连接 OG ，OG ， OS 取 SD

33、的中点 E ，连接 OE 可得 OD 为 棱锥 S -ABC 外接球的半径 OEDG 为矩形利用勾股定理及其球的表面积计算公式即可 得出【解析】：如图所示，取 BC 的中点 D ，连接 SD ， AD 设 G 为 DABC 的中心， O 为三棱锥 S -ABC 外接球的球 心连接 OG ， OG ， OS 取 SD 的中点 E ，连接 OE 则 OD 为棱锥 S -ABC 外接球的半径 OEDG 为矩形 OD = DG2+DE21 1 39 = ( 3) 2 +( 3) 2 =3 2 6 三棱锥 S -ABC 外接球的表面积 =4p( 故答案为： 339 13p) 2 = 6 3【总结与归纳】

34、本题考查了三棱锥的性质、等边三角形的性质、球的性质及其表面积计算公 式、矩形的性质、勾股定理、线面位置关系，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力， 属于中档题三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考 题，每个试题学生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题： 共 60 分。17 （ 12 分 ） 在 锐 角 DABC 中 ， 角 A ， B ， C 对 应 的 边 分 别 是 a ， b ， c3pcos2 A +sin( -A) +1 =0 2（1） 求角 A 的大小；（2） 若 DABC 的面积 S =3 3

35、， b =3 求 sin C 的值第12页（共19页）， 且3p（2）DABC（2）设n2 nnn2n1n【思路分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 cos A 的值，结合 A 的范 围，可求 A 的值（2）利用三角形的面积公式可求 bc 的值，从而解得 c 弦定理可求 sin C 的值【解析】：（1）Qcos2 A +sin( -A) +1 =0 2的值，由余弦定理可求 a的值，由正 cos2 A -cos A +1 =0 ，可得： 2cos2A -cos A =0 ，解得： cos A =12，或 cos A =0 ，Q DABC 为锐角三角形， cos A =12， 可

36、得： A =p31 1 3Q S = bc sin A = bc g =3 3 ，可得： bc =12 ，2 2 2又 b =3 ，可得： c =4 ，在 DABC 中，由余弦定理可知，a2=b2+c2-2bc cos A =16 +9 -2 3 4 12=25 -12 =13 ， a = 13 ，在 DABC 中，由正弦定理可知：a c=sin A sin Cc gsin A，可得： sin C = =a33 213=2 3913【总结与归纳】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式，余弦定理， 正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题18（12 分

37、）在等比数列 a 中，公比 q (0,1) ，且满足 a =2 ， a 2 +2a a +a a =25 n 4 3 2 6 3 7（1）求数列 a 的通项公式；nS S S Sb =log a ，数列 b 的前 n 项和为 S ，当 1 + 2 + 3 + n 取最大值时，求 n1 2 3 n的值【思路分析】（1）由条件判断 a 0 ，再由等比数列的性质和通项公式，解方程可得首项和n公比，进而得到所求通项公式；（2）求得b =log a =log 2 n 2 n 25 -n9n -n S 9 -n=5 -n ，可得 S = ， n = ，再由等差数列的求2 n 2和公式和配方法，可得所求最大

38、值时的 n的值【解析】：（1）a2 +2a a +a a =25 ，3 2 6 3 7可得 a 2 +2a a +a 2 =( a +a ) 2 =25 ，3 3 5 5 3 5由 a =2 ，即 a q3 =2 ，由 0 q 0 ， a 0 ， 4 1 1 n可得 a +a =5 ，即 a q 2 +a q 4 =5 ，3 5 1 1由解得 q = (2 舍去），a =16 ，2 1则1 a =16g( )2n -1=25 -n；（2）b =log a =log 2 n 2 n 25 -n=5 -n ，第13页（共19页）n可得1 9n -n 2 S = n(4 +5 -n) = ，2 2S

39、 9 -nn = ，n 2则S S S 7 9 -n 1 + 2 + n =4 + +1 2 n 2 21 9 -n 17n -n 2 1 17 289 = n(4 + ) = =- ( n - ) 2 +2 2 4 4 2 16，可得 n =8 或 9 时，S S S1 + 2 + n 取最大值 18 1 2 n则 n的值为 8 或 9【总结与归纳】本题考查等比数列的通项公式和性质，同时考查等差数列的通项公式和求和 公式的运用，以及最值求法，考查化简运算能力，属于中档题19（12分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形 ABCD 是边长为4 33的菱形，BCD =60，AC 与 BD 交于

40、点 O ，平面 FBC 平面 ABCD ， EF / / AB ， FB =FC ， EF =2 33（1） 求证： OE 平面 ABCD ；（2） 若 DFBC 为等边三角形，点 Q 为 AE 的中点，求二面角 Q -BC -A 的余弦值【思路分析】（1）取BC 中点 G ，连接 FG ，OG ，证明 FG 平面 ABCD ，FG / / OE ，则OE 平面 ABCD ；（2）以 AC 所在直线为 x轴， BD 所在直线为 y 轴， OE 所在直线为 z 轴建立空间坐标系，分别求出平面 ABC ，平面 QBC 的法向量，将二面角Q -BC -A 转化为两个法向量夹角余弦 值的问题【解答】证

41、明：（1）如图，取 BC 中点 G ，连接 FG ， OG ，因为 FB =FC ，所以 FG BC ，又因为平面 FBC 平面 ABCD ，平面 FBC 平面 ABCD =BC ， FG 平面 FBC ， 所以 FG 平面 ABCD ，O ， G 分别为 BD ， BC 中点，所以 OG / / AB ，1OG = AB2因为2 3 1EF = = AB ， EF / / AB ， 3 2所以四边形 EFGO 为平行四边形， 所以 OE / / FG ，第14页（共19页）r ruuurrrx - y +1 =0 3r 1 3所以 OE 平面 ABCD （2）如图，以 AC 所在直线为 x

42、轴， BD 所在直线为 y 轴， OE 所在直线为 z 轴建立空间坐 标系，显然二面角 Q -BC -A 为锐二面角，设该二面角为 q ，向量 n =(0 ，0， 1) 是平面 ABC 的法向量，设平面 QBC 的法向量 v =( x ， y ， 1) ， 由题意可知 FG =OE =BF sin60 =2，所以 C ( -2 ，0， 0) ， B (0 ，2 33， 0) ， E (0 ，0， 2) ， Q (1，0， 1)uuur所以 BQ =(1 ，2 3- ， 1) ， CQ =(3 3，0， 1) ，则uuur v gBQ =0uuur v gCQ =0 2 3，即 ， 3 x +1

43、 =0所以所以v =( - ， ， 1) ，3 3r r| n gv | 1 3 13cos q = r r = =| n | v | 13 1313【总结与归纳】本题考查了线面垂直的判定，二面角的求法，向量法在求二面角中的应用等， 属于中档题20（12分）某种规格的矩形瓷砖(600mm 600mm) 根据长期检测结果，各厂生产的每片瓷砖质量 x (kg ) 都服从正态分布N (m,s2) ，并把质量在 (u -3s,u +3s) 之外的瓷砖作为废品直接回炉处理，剩下的称为正品（）从甲陶瓷厂生产的该规格瓷砖中抽取 10 片进行检查，求至少有 1 片是废品的概率； （）若规定该规格的每片正品瓷砖

44、的“尺寸误差”计算方式为：设矩形瓷砖的长与宽分别为 a(mm ) 、 b ( mm) ，则“尺寸误差” ( mm) 为 | a -600 | +| b -600 | ，按行业生产标准，其 中“优等”、“一级”、“合格”瓷砖的“尺寸误差”范围分别是0，0.2 、0.2 ，0.5 、0.5 ， 1.0 （正品瓷砖中没有“尺寸误差”大于 1.0mm 的瓷砖），每片价格分别为 7.5 元、 6.5 元、5.0 元现分别从甲、乙两厂生产的该规格的正品瓷砖中随机抽取 100 片瓷砖，相 应的“尺寸误差”组成的样本数据如下：尺寸误差频数第15页（共19页）1000.10.20.30.40.50.6103030510510（甲厂瓷砖的“尺寸误差”频数表）用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率（）记甲厂该种规格的 2 片正品瓷砖卖出的钱数为 x（元 ) ，求 x的分布列及数学期望 E (x) （）由如图可知，乙厂生产的该规格的正品瓷砖只有“优等”、“一级”两种，求 5 片该 规格的正品瓷砖卖出的钱数不少于 36 元的概率附：若随机变量 Z 服从正态分布N (m,s2) ，则 p (m-3sZ 1,使f x +x 1 ，使a xlnx +2 x -1 xlnx +2 x -1g ( x ) =x -1 x -1， x 1 ，根据函数的单调性求出 a的最小值即可【解析】：（1）由题意可知，