南京市初三数学竞赛选拔试题及答案

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1、22南京市初三数学竞赛选拔试题（本卷满分：120 分，时间：120 分钟）一、选择题（每小题 5 分、共 40 分）1、方程|xy |+|x+y|=1 的整数解的组数为（ ）。（A）8 (B) 6 (C) 4 (D) 22、菱形的两条对角线之和为 L,面积为 S,则它的边长为( ).(A)124 S -L2(B)124 S +L2(C)12L2-4 S(D)12L2+4 S3、方程( x2+x -1)x +3=1的所有整数解的个数是（ ）（A）5 个 （B）4 个 （C）3 个 （D）2 个4、已知梯形 ABCD 中，ADBC，对角线 AC、BD 交于 O，AOD 的面积为 4， BOC 的面

2、积为 9，则梯形 ABCD 的面积为（ ）（A）21（B）22（C）25（D）265、如果多项式 p =a2+2b2+2 a +4b +2008 ，则 p 的最小值是（ ）(A) 2005 (B) 2006 (C) 2007 (D) 20086、已知一组正数x , x , x , x , x 1 2 3 4 5的方差为：S2=15( x 2 +x 2 +x 2 +x 2 +x 1 2 3 4 52-20)，则关于数据x +2, x +2, x +2, x +2, x +2 1 2 3 4 5的说法：方差为 S；平均数为 2；平均数为 4；方差为 4S 。其中正确的说法是（ ）(A) (B) (

3、C) （D）7 、 一 名 模 型 赛 车 手 遥 控 一 辆 赛 车 ， 先 前 进 1m ， 然 后 ， 原 地 逆 时 针 方 向 旋 转 角a(0 180)。被称为一次操作若五次操作后，发现赛车回到出发点，则角 ( )(A) 7 2 （B）108或 14 4 （C）144 （D） 7 2或 144 为8、如图，已知圆心为 A、B、C 的三个圆彼此相切，且均与直线 l 相切若A、B、C 的半径分别为 a、b、c(0cab)，则 a、b、c 一定满足的关系式为 ( )（A）2b=a+c （B）b =a + cx2 2（C）1 1 1= +c a b(D)1 1 1= +c a b二、填空题

4、（每小题 5 分，共 30 分）9、已知 ab 为正整数,a=b-2005,若关于 x 方程 x2-ax+b=0 有正整数解,则 a 的最小值是 _AG10、如图，在ABC 中，AB=AC, AD BC, CGAB, BG 分别交EF a GEAA ,AC 于 E,F.若 = ，那么 等于 .AA b BEEF11、已知二次函数y =ax2+bx +cBCD的图象与 轴交于点(-2，0)，(x1，0)，且 1x12，与y 轴正半轴的交点在(0，2)的下方，下列结论：ab0；4a+cx -3 8( S -15) 6( S -1) -3， 解得S 55.5-（8 分） S 为正整数， S56，即到

5、第 56 辆车开出后，停车场内第一次出现无车辆此时 x =6(56 -1) =330，6+33060=11.5（时）答：到 11 时 30 分时，停车场内第一次出现无车辆- （12 分）17、解：不妨设ABC 中B=36.（1）若剖分线不过点 B。不妨设剖分线为 AD，此时，BAD 是（36，36，108）或者（36，72，72）的三角形。若BAD 是（36，36，108）的三角形，则CAD或者是（144，18，18）(如图 1)，或者是（72，54，54）(如图 2)，或者是（36， 72，72）（如图 3、4）。- （6 分）（2）若剖分线过点 B。不妨设剖分线为 BE，那么，ABE 必定

6、是（132，24，24）， CBE 是（156，12，12）的三角形（如图 5）。所以，原三角形的最大内角可能是 72，90，108，126，132。-（12 分）18、解：（1）方法一：A 、A 、A 三点的横坐标依次为 1、2、3，1 2 3A B =1 11 1 1 1 9 12 = 2 2 =2 3 2 =2 2 2 2 2.设直线 A A 的解析式为 y=kx+b. 1 31292=k +b=3k +b解得k =2 3b =- 2CA =CB -A B =.，A B =，A B =2 23 312，A B =，A B =2 23 3，A B =，A B =2 23 312=直线 A

7、A 的解析式为 1 3y =2 x -32.CB =223 5 5 1 2 - = 2 2 2 2 -2 =2 2 2 2.方法二：A 、A 、A 三点的横坐标依次为 1、2、3，1 2 3A B =1 11 1 1 1 9 12 = 2 2 =2 3 2 =2 2 2 2 2.由已知可得 A B A B ，CB = (A B +A B )=1 1 3 3 2 1 1 3 31 1 9 5( + ) =2 2 2 2.CA =CB -A B = 2 2 2 25 1-2 =2 2. -（4 分）（2）方法一：设 A 、A 、A 三点的横坐标依次为 n-1、n、n+1 .1 2 3则 A B =

8、1 11 1 1 ( n -1) 2 -( n -1) +1 n 2 -n +12 2 2( n +1)2-( n +1) +1.设直线 A A 的解析式为 y=kx+b. 1 3( n -1) k +b = ( n +1) k +b = 1212( n -1) 2 -( n -1) +1( n +1) 2 -( n +1) +1解得k =n -1 1 3 b =- n 2 + 2 2直线 A A 的解析式为 1 31 3y =( n -1) x - n 2 +2 2. -(8 分)CB =21 3 1 3n (n -1) - n 2 + = n 2 -n +2 2 2 2.CA =CB -A

9、 B = 2 2 2 21 3 1 1 n 2 -n + - n 2 +n -1 =2 2 2 2. -（10 分）方法二：设 A 、A 、A 三点的横坐标依次为 n-1、n、n+1 .1 2 3则 A B =1 11 1 1 ( n -1) 2 -( n -1) +1 n 2 -n +12 2 2( n +1)2-( n +1) +1由已知可得 A B A B ，CB = (A B +A B )1 1 3 3 2 1 1 3 3=1 1 1 1 3 ( n -1) 2 -( n -1) +1 + ( n +1) 2 -( n +1) +1 n 2 -n +2 2 2 2 2.CA =CB -A B =2 2 2 21 3 1 1 n 2 -n + -( n 2 +n -1 ) =2 2 2 2.（3）当 a0 时，CA =a；当 a0 时，CA =-a. -（14 分）2 2