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1、【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。】勾股定理（基础）责编：杜少波【学习目标】1. 掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条 边长求出第三条边长2. 掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题 3. 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题【要点梳理】【 勾股定理 知识要点】要点一、勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 . 如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为 c ，那么a2+b2=c2.要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数
2、量关系.（2） 利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线 段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解 决问题的目的.（3） 理解勾股定理的一些变式：a2=c2-b2，b2=c2-a2，c2=(a+b)2-2ab.要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.图（1）中 ，所以 .方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.图（2）中 ，所以 .方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.1，所以 .要点三、勾股定理的作用1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2. 用于解决带有平方关系的证明
3、问题；3. 利用勾股定理，作出长为 【典型例题】类型一、勾股定理的直接应用的线段.1、在ABC 中，C90，A、B、C 的对边分别为 a 、 b 、 c （1）若a5，b12，求c；（2）若c26，b24，求a【思路点拨】利用勾股定理a2 +b 2 =c 2来求未知边长【答案与解析】解：（1）因为ABC 中，C90，a 2 +b 2 =c 2，a5，b12，所以c2 =a 2 +b 2 =5 2 +12 2=25 +144 =169 所以 c 13（2）因为ABC 中，C90，a2 +b 2 =c 2，c26，b24，所以a 2 =c 2 -b 2 =26 2 -24 2 =676 -576
4、=100所以a10【总结升华】已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是 斜边，再决定用勾股原式还是变式举一反三：【变式 1】在ABC 中，C90，A、B、C 的对边分别为a、b、c（1）已知 b 2， c 3，求 a ；（2）已知【答案】a : c =3:5 ， b 32，求 a 、 c 解：（1） C90，b2，c3，a = c 2 -b2 = 32 -2 2 = 5；（2）设a =3k，c =5k C90， b 32，a 2 +b 2 =c 2即(3k ) 2 +32 2 =(5 k ) 22222222 2 2 222 22 22 22 2 2222解得 k
5、8a =3k =3 8 =24 ， c =5k =5 8 =40【变式 2】（2015 秋永登县期中）分析探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问 题OA =（2） +1=2 ，S =1；OA32=（） +1=3，S =2；OA =（4） +1=4，S =3（1）请用含有 n（n 为正整数）的等式 S =_；n（2）推算出 OA =_10（3）求出 S +S +S +S 的值1 2 3 10【答案】解：（1）+1=n+1Sn=（n 是正整数）；故答案是：（2）OA =1，1；OA =（ ） +1=2， 2OA =（ ） +1=3， 3OA4=（ ） +1=4，OA12= ，OA = ，2
6、OA = ，3OA = ；10故答案是： ；（3）S +S +S +S 1 2 3 102=（ ） +（） +（） +（）2= （1+2+3+10）= 32 2 2 2即：S +S +S +S = 1 2 3 10类型二、勾股定理的证明2、如图所示，在 ABC 中，C90，AM 是中线，MNAB，垂足为 N，试说明AN2 -BN 2 =AC 2【答案与解析】解：因为 MNAB，所以AN 2 +MN 2 =AM 2 ， BN 2 +MN 2 =MB 2，所以AN2 -BN 2 =AM 2 -BM 2因为 AM 是中线，所以 MCMB又因为C90，所以在 AMC 中， AN 2 -BN 2 =AC
7、 2所以AM2 -MC 2 =AC 2，【总结升华】证明带有平方的问题，主要思想是找到直角三角形，利用勾股定理进行转化若 没有直角三角形，常常通过作垂线构造直角三角形，再用勾股定理证明类型三、利用勾股定理作长度为 n 的线段3、作长为 、 、的线段.【思路点拨】由勾股定理得，直角边为 1 的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和 1 的直角三角形斜边长就是 【答案与解析】作法：如图所示，类似地可作 .（1）作直角边为 1（单位长度）的等腰直 ACB，使 AB 为斜边；（2）作以 AB 为一条直角边，另一直角边为 1 的 Rt，斜边为；（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边、 、4
8、的长度就是 、 、 、 .【总结升华】（1）以上作法根据勾股定理均可证明是正确的；（2）取单位长度时可自定，一 般习惯用国际标准的单位，如 1 cm 、1 m 等，我们作图时只要取定一个长为单位即可. 类型四、利用勾股定理解决实际问题4、（2015 春遵义期末）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街 路上行驶速度不得超过 70km/h如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻 刚好行驶到路对面车速检测仪 A 处的正前方 30m 的 C 处，过了 2s 后，测得小汽车与车速检 测仪间距离为 50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s=3.6km/h）【思路点拨】本
9、题求小汽车是否超速，其实就是求 BC 的距离，直角三角形 ABC 中，有斜边 AB 的长，有直角边 AC 的长，那么 BC 的长就很容易求得，根据小汽车用 2s 行驶的路程为 BC， 那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了【答案与解析】解：在 RtABC 中，AC=30m，AB=50m；据勾股定理可得：（m）小汽车的速度为 v= =20（m/s）=203.6（km/h）=72（km/h）；72（km/h）70（km/h）；这辆小汽车超速行驶答：这辆小汽车超速了【总结升华】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角 三角形中，进行解决要注意题目中单位的统一举一反三
10、：【变式】如图所示，一旗杆在离地面 5 m 处断裂，旗杆顶部落在离底部 12 m 处，则旗杆折 断前有多高？【答案】解：因为旗杆是垂直于地面的，所以C90，BC5 m ，AC12 m ，AB2 =BC 2 +AC 2 =52 +12 2=1695AB = 169 =13(m) BCAB51318(m) 旗杆折断前的高度为 18 【 勾股定理 例 3】m5、如图，长方形纸片 ABCD 中，已知 AD8，折叠纸片使 AB 边与对角线 AC 重合，点 B 落在点 F 处，折痕为 AE，且 EF3，则 AB 的长为（ ）A3 B4 C5 D6【答案】D； 【解析】解：设 ABx，则 AFx， ABE 折叠后的图形为AFE， ABE AFEBEEF， ECBCBE835，在 RtEFC 中，由勾股定理解得 FC4，在 ABC 中，x2 +82=(x+4)2，解得x =6 .【总结升华】折叠问题包括“全等形”、“勾股定理”两大问题，最后通过勾股定理求解6
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