数学一高等数学习题集大集合

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1、数学一高等数学习题集大集合 第一章 函数极限连续 一. 填空题 a?1?x?1设lim-?tetdt, 那么a = _2._. -?x-?x?ax2. =_112n-_.lim?2?2-?2? n-2n?n?n-n?n?1n?n?23. 函数f(x)- ?1?0|x|?1|x|?1, 那么ff(x) _1_. 4. lim(n?3n?n?n)=_limn-n-n?3n?n?nn?3n?n?n?2_. 5. limcotx?x?01-1-=_. ?sinxx?解. limcosxx?sinxx?sinx1?cosxsinx1-lim?lim?lim? x?0sinxx?0x?0x?06xxsin

2、xx33x26n19906. limk?A(? 0 ? ?), 那么A = _, k = _. n-n?(n?1)k所以 k1=1990, k = 1991; 111?A，A- kk1991 二. 选择题 1. 设f(x)和?(x)在(?, +?)内有定义, f(x)为连续函数, 且f(x) ? 0, ?(x)有连续点, 那么 (a) ?f(x)必有连续点 (b) ?(x)2必有连续点 (c) f ?(x)必有连续点 (d) 所以(d)是答案. 2. 设函数f(x)?x?tanx?esinx?(x)必有连续点 f(x), 那么f(x)是 (a) 偶函数 (b) 无界函数 (c) 周期函数 (d

3、) 单调函数 解. (b)是答案. 3. 极限lim?352n?1?的值是 -2222?n-12?222?3n?(n?1)-?(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 不存在 解., 所以(b)为答案. (x?1)95(ax?1)54. 设lim?8, 那么a的值为 250x-(x?1) 1 (a) 1 (b) 2 (c) 解.所以(c)为答案. 5. 设lim58 (d) 均不对 (x?1)(x?2)(x?3)(x?4)(x?5)-, 那么?, ?的数值为 x-(3x?2)?111 (b) ? = 5, ? = (c) ? = 5, ? = 5 (d) 均不对 333(a) ? = 1,

4、? = 解. (c)为答案. 6. 设f(x)?2x?3x?2, 那么当x?0时 (a) f(x)是x的等价无穷小 (b) f(x)是x的同阶但非等价无穷小 (c) f(x)比x较低价无穷小 (d) f(x)比x较高价无穷小 解. 所以(b)为答案. 7. 设lim(1?x)(1?2x)(1?3x)?a?6, 那么a的值为 x?0x(a) 1 (b) 1 (c) 2 (d) 3 解.所以(a)为答案. 8. 设limx?0atanx?b(1?cosx)cln(1?2x)?d(1?e?x)2?2，其中a2?c2?0, 那么必有 (a) b = 4d (b) b =4d (c) a = 4c (d

5、) a =4c 解.所以(d)为答案. 三. 计算题 1. 求以下极限 (1) lim(x?e) x-?x1x解. lim(x?e)?limex-?x-?x1xln(x?ex)x?eln(x?ex)x-?xlim?ex-?x?e?e1?e xlim1?ex21?cos)x x-xx1解. 令y? x(2) lim(sinlim21xy?0ylim(sin?cos)?lim(sin2y?cosy)=ex-y?0xx1ln(sin2y?cosy)y?e2cos2y?sinyy?0sin2y?cosylim?e2 ?1?tanx?(3) lim-x?01?sinx-?1?tanx?解. lim-x?

6、01?sinx- 1x3 11x3tanx?sinx-?lim?1-x?01?sinx-2 x3 taxn?sixn?tanx?sinx- ?lim-1-x?0?1?sinx-?limsinx(1?cosx)x31?sixntaxn?sixnn)x3?(1?sixtanx?sinxlim3?=ex?0x -sinx?2sin2 =ex?0=ex?0limx3x2?e. 122. 求以下极限 (1) limx?1ln(1?3x?1)arcsin2x?132 解. 当x?1时, ln(1?3x?1)3x?1, arcsin23x2?123x2?1. 按照等价无穷小代换 limx?1ln(1?3x?

7、1)arcsin23x2?1?x? ?3?limx?1x?123x2?1?lim11 ?3x?123x?122(2) lim-12?cotx?0x2?解. 方法1： ?1lim?2?cot2x?0x-sin2x?x2cos2?1cos2x-x?=lim?=lim-?22-x?0x2sin2xsinx?x?0-xx-? -1?(x2?1)cos2 =lim?x?0?x4-?2xcos2x?2(x2?1)cosxsinx?x? -?3?=lim?x?0?4x-2xcos2x?sin2x2x2cosxsinx?lim =lim 33x?0x?04x4x?2cos2x?4xcosxsinx?2cos2

8、x1? =limx?012x22?2cos2x?2cos2x114cosxsinx?4sin2x11-?lim- =lim2x?0x?012x3224x32 =lim?2sin2x111112-? x?024x3263233. 求以下极限 (1) limnn(n?1) n-lnnnxnnn?1?1 解. lim(n?1)?limn 令nn?1?x limx?0ln(n-lnnn-lnn1?x) 3 1?e?nx(2) lim n-1?e?nx1?en-1?e?nx?nx解. limx?0?1-?0 x?0 -1x?0?n?na?nb-, 其中a 0, b 0 (3) lim-n-?2-解. l

9、im-a?b-1?c? x?1/n,c?b/a alim-n-?x?02?2-nnnx-ae?1xln(1?cx)?ln2xx?0?lim =aeln(1?cx)?ln2xx?0?lim?aex?0?1?c?ac?alimcxlncxb?ab a 4. 求以下函数的连续点并判别类型 (1) f(x)?2?12?11x1x 解. f(0)?lim?x?0?2?12?11x1x?1, f(0?)?lim?x?02?12?11x1x-1 所以x = 0为第一类连续点. ?x(2x-)x?0-2cosx( 2 ) f(x)- ?sin1x?0-x2?1解. f(+0) =sin1, f(0) = 0.

10、 所以x = 0为第一类跳跃连续点; sin limf(x)?limx?1x?11不存在. 所以x = 1为第二类连续点; x2?1x- f(-2)不存在, 而lim?2x(2x-)-,所以x = 0为第一类可去连续点; 2cosx2 x-k-lim?2?x(2x-)-, (k = 1, 2, ) 所以x =?k-为第二类无穷连续点. 22cosx1-xsinx?0?5. 讨论函数f(x)- 在x = 0处的连续性. x x?0x?e-? 4 1)不存在, 所以x = 0为第二类连续点; x?0x1?(xsin)?0, 所以 当-0, limx?0?x(x?sin解. 当-0时lim? -?1

11、时,在 x = 0连续, -?1时, x = 0为第一类跳跃连续点. 6. 设f(x)在a, b上连续, 且a b, 试证在(a, b)内至少存在一个?, 使f(?) = ?. 证明: 假设F(x) = f(x)x, 那么F(a) = f(a)a 0 于是由介值定理在(a, b)内至少存在一个?, 使f(?) = ?. 8. 设f(x)在0, 1上连续, 且0 ? f(x) ? 1, 试证在0, 1内至少存在一个?, 使f(?) = ?. 证明: (反证法) 反设?x?0,1,?(x)?f(x)?x?0. 所以?(x)?f(x)?x恒大于0或恒小于0. 不妨设?x?0,1,?(x)?f(x)?

12、x?0. 令m?min?(x), 那么m?0. 0?x?1因此?x?0,1,?(x)?f(x)?x?m. 于是f(1)?1?m?0, 矛盾. 所以在0, 1内至少存在一个?, 使f(?) = ?. 9. 设f(x), g(x)在a, b上连续, 且f(a) g(b), 试证在(a, b)内至少存在一个?, 使 f(?) = g(?). 证明: 假设F(x) = f(x)g(x), 那么F(a) = f(a)g(a) 0 于是由介值定理在(a, b)内至少存在一个?, 使f(?) = ?. 10. 证明方程x53x2 = 0在(1, 2)内至少有一个实根. 证明: 令F(x) = x53x2, 那么F(1) =4 0 所以 在(1, 2)内至少有一个?, 满足F(?) = 0. ?2?x2(1?cosx)?11. 设f(x)-1?1x-cost2dt?x0x?0x?0 x?0试讨论f(x)在x?0处的连续性与可导性. 5 第 7 页 共 7 页