第一章行列式-2.行列式的性质

1 第二节第二节 ：行列式的性质：行列式的性质 。行列式的性质除了可以简化高阶行列式的计算行列式的性质除了可以简化高阶行列式的计算外外 ，在理论上也是很有意义的，在理论上也是很有意义的 。111212122212,nnnnnnaaaaaanDaaaDnG 设设阶阶行行列列式式将将的的行行 列列互互换换得得 阶阶行行列列式式2112111222212,.nnnnnnTaaaaaaGDaaaGD 称称为为的的转转置置行行列列式式 记记为为TDD .1性性质质.,1.:1111TTDDaDaDnnD 用用归归纳纳法法的的阶阶数数对对证证明明假设定理对假设定理对 n-1 n-1 阶行列式成立阶行列式成立 ,3D D 为为 n n 阶时阶时 ，注意到，注意到 D D 的第的第 i i 行恰好是行恰好是 niiDT2,1,列列的的第第 1111111,1,2TjjTjjjjDADAnAAAAjn 的的第第一一行行元元素素的的代代数数余余子子式式与与的的第第一一列列元元素素的的代代数数余余子子式式均均为为阶阶行行列列式式 且且恰恰有有由由归归纳纳假假设设.1112121111TnnDAaAaAaD ,按按第第一一列列展展开开按按第第一一行行展展开开恰恰好好是是TDD性质性质1 1 说明行列式说明行列式行行所具有的性质所具有的性质 ,列列也一样具有也一样具有,反之反之 ,列列所具有的性质所具有的性质 ,行行也一样具有也一样具有 。4性质性质 2.2.行列式互换两行行列式互换两行(或两列或两列)行列式的值反号行列式的值反号 。11,.Di jDDD 即即设设互互换换两两行行 或或两两列列 得得则则证明证明 ：1)1)先证互换相邻两行的情形先证互换相邻两行的情形 。1211121iiiniiinaaaDaaa 设设第第 i i 行行第第 i+1 i+1 行行两行两行互换互换ji,其它行的元素不变其它行的元素不变511121112iiiniiinaaaDaaa 第第 i i 行行第第 i+1i+1 行行11,DiDi中中第第 行行元元素素的的余余子子式式与与中中第第行行元元素素的的余余子子式式对对应应相相等等 1111,1,2i jiji jijDiADiAAAjn 而而中中第第 行行元元素素的的代代数数余余子子式式与与中中第第行行元元素素的的代代数数余余子子式式相相差差一一个个负负号号即即61112211112121,1iiiiininiiiiininDiDiDa Aa Aa ADa Aa Aa A 将将按按第第 行行展展开开按按第第行行展展开开.1DD 2)2)再证交换任意两行的情形再证交换任意两行的情形 。.1,1 lijDjiD且且设设两两行行得得互互换换设设11,21,1,2.DjjjiiiijD 这这相相当当于于将将的的第第 行行依依次次与与第第行行互互换换 再再将将第第 行行依依次次与与第第行行互互换换就就得得到到7 211121,11.llDDD 共共经经过过次次相相邻邻两两行行互互换换 由由性质性质 3.3.行列式行列式 D D 中若有两行中若有两行(或两列或两列 )元素元素 对应相等对应相等 ，则，则 D=0 D=0。111:,.0.Di jDi jDDDDDD 证证明明 设设中中两两行行元元素素对对应应相相等等将将 互互换换两两行行得得且且推论推论:行列式行列式 D D 中一行中一行(列列)元素与另一行元素与另一行(列列)对应对应 元素的代数余子式乘积之和为零元素的代数余子式乘积之和为零 。即。即ljAaAaAakiAaAaAalnjnljljnknikiki 002211221181212:iii nkkk naaaDaaa 证证明明 设设第第 i i 行行第第 k k 行行11221,2.kkkkk nk nk ji jDkDaAaAaAaajn 将将按按第第行行展展开开将将换换成成i ki k1122ikiki nk na Aa AaA 912120iii niii naaaaaa 第第 i i 行行第第 k k 行行这个行列式这个行列式中有两行中有两行相同相同将上述推论与行列式展开定理合起来将上述推论与行列式展开定理合起来 ，有，有10111111221122:00nnn nikiki nk njljln jn laaDaaDika AaAaAikDjlaAaAaAjl 定定理理 设设则则有有下节克莱姆法则的证明要用到这个定理下节克莱姆法则的证明要用到这个定理 。性质性质 4 4 用数用数 k k 乘行列式乘行列式 D D，等于用数，等于用数 k k 乘乘 行列式行列式 D D 中某一行中某一行(或某一列或某一列)的每个元素的每个元素 。11 本性质也可以叙述为本性质也可以叙述为 ：行列式某行：行列式某行或某列或某列的的 公因子可以提到行列式的外面公因子可以提到行列式的外面 。1:ii nDk ak a 证证明明 设设第第 i i 行行,行行展展开开按按第第将将iD 112211221.iiiii ni niiiii ni nDk aAk aAk aAk a Aa AaAk D 1*,.DDi与与除除了了第第 行行不不同同外外 其其余余各各行行元元素素对对应应相相等等12112,.iii nDDiAAA与与中中第第 行行元元素素的的代代数数余余子子式式对对应应相相等等均均为为 性质性质 5 5 若行列式若行列式 D D 中有两行中有两行(或两列或两列 )的元素对应成比例的元素对应成比例 ，则，则 D=0 D=0。证明证明 ：由性质：由性质 3 3，4 4 可得可得 。略略 。性质性质 6 6（行列式按某行或列分解）（行列式按某行或列分解）11iii ni nDabab 设设第第 i i 行行本性质本性质对对列列也成立也成立 131112ii nii nDaabbDD 则则 称为将称为将 D D 按第按第 i i 行分解为两个行列式之和行分解为两个行列式之和 。12,.DDiD*其其中中除除了了第第 行行外外 其其余余各各行行的的元元素素与与中中对对应应行行的的元元素素相相等等1212,.iii nD DDiAAA第第 行行各各元元素素的的代代数数余余子子式式对对应应相相等等 记记为为 111:,iiii ni ni nDiDabAabA 证证明明 将将按按第第 行行展展开开14 111112.iii ni niii ni na Aa Ab Ab ADD 12127.iii nkkk naaaDaaa 性性质质设设第第 i i 行行第第 k k 行行 1.DikD 将将的的第第 行行 或或列列 乘乘数数对对应应加加到到第第行行 或或列列上上得得同同阶阶行行列列式式1DD 则则有有151211122iii nkikik ni naaaDaaaaaa 其其中中11:6,4,5.DkDDD 证证明明 对对的的第第行行用用性性质质 分分解解成成两两个个行行列列式式其其中中一一个个为为另另一一个个两两行行成成比比例例由由性性质质即即可可得得 这条性质在行列式的计算中用的最多这条性质在行列式的计算中用的最多。下面通过几个例子看行列式计算常用方法下面通过几个例子看行列式计算常用方法。16133021.343297.222031330213300132:43297433004332220322200223DD 例例 计计算算 阶阶行行列列式式解解,5032233423101 D1711321321324330155015522322304113201555.1003D 其其中中012310122.4,21013210D 例例计计算算阶阶行行列列式式18:41,13,01233333101210122101210132103210D 解解 观观察察发发现现将将第第行行加加到到第第 行行上上后后 第第 行行的的元元素素全全成成了了再再提提取取公公因因子子可可得得11111101233,21013210D 19111111111101201012101012132100123D 其其中中 .4221120002200101011114200220010101111 所以所以 D=3 D1=12 。20D1 还有另一种算法还有另一种算法,观察观察 D1 发现发现,对角线以下的元对角线以下的元素具有性质素具有性质：第第 1 行加第行加第 2 行等于第行等于第 3 行的元素行的元素，第第 1 行加第行加第 3 行等于第行等于第 4 行的元素行的元素。可利用！。可利用！111111111101201014.2101002232100002D ,.利利用用行行列列式式的的性性质质将将一一个个行行列列式式化化成成等等值值的的上上 或或下下 三三角角行行列列式式后后 再再求求出出行行列列式式的的值值这这是是计计算算行行列列式式常常用用方方法法之之一一21例例 3.计算计算 n 阶行列式阶行列式12111110,1,2.1111inaaDaina 其其中中解：将第一行乘解：将第一行乘(1)加到其余各行上加到其余各行上，得，得naaaaaaD00000011113211 按第一列分解按第一列分解222211111110001000000000100nnaaaaa 第第 i 列乘列乘1a i 加到第加到第 1 列上列上，i=2,3.n 。2322231111100000000niinnaaa aaaa .11111321232132 niinniinnaaaaaaaaaaaaa24,5200035200035200035200035.4 计计算算行行列列式式例例 555443432321:5,130002530525610253002556,56,1DDDDDDDDDDDD 解解 将将题题中中所所给给的的阶阶行行列列式式记记为为将将按按第第 列列展展开开得得类类似似地地有有代代入入2552121565114,5319,5,2565191145665.DDDDDD 而而 利用利用递推公式递推公式计算行列式也是常用方法之一计算行列式也是常用方法之一！有时也会用有时也会用数学归纳法数学归纳法证明有关行列式的一些题证明有关行列式的一些题 目目,这时递推公式更有用这时递推公式更有用！26.0000:11111111111111111111ttttsssstttstttsssssbbbbaaaabbccbbccaaaa 定定理理27证明证明：对：对 s 用数学归纳法用数学归纳法。s=1 时时，用定义按第一行展开即得结论，用定义按第一行展开即得结论。假设假设 s=m 1 时时，命题成立，命题成立。s=m 时时，将左边按第一行展开，将左边按第一行展开 t ttmtttmmmmmt ttmtttmmmmmbbccbbccaaaaabbccbbccaaaa121111122222111111111111110000000028 2121212111111111111111111100001iimmmimimmiiiimtttititmtttaaaaaaaaaccccbbccccbb t ttmtttmmmmmmmbbccbbccaaaaa11111111111112211100001 29由归纳假设可得由归纳假设可得 t tstmmmmmmmmimimmmiiiimmmmbbbbaaaaaaaaaaaaaaaaaaa11111112211111121212211122221111 30.11111111t tttmmmmbbbbaaaa 根据归纳法原理根据归纳法原理，定理普遍成立，定理普遍成立！*第二步用了归纳假设第二步用了归纳假设，第三步用定义按，第三步用定义按 第一第一行展开行展开。本节要求理解掌握本节要求理解掌握行列式的性质行列式的性质，灵活应用灵活应用！进行！进行行列式的计算行列式的计算。