09ch10电路中的谐振

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1、第第10章章 电路中的谐振电路中的谐振10.1 串联电路的谐振串联电路的谐振10.2 并联电路的谐振并联电路的谐振10.3 串并联电路的谐振串并联电路的谐振谐振谐振(resonance)是正弦电路在特定条件下所产生的一种是正弦电路在特定条件下所产生的一种特殊物理现象，作为电路计算没有新内容，主要分析谐振电特殊物理现象，作为电路计算没有新内容，主要分析谐振电路的特点。路的特点。10.1 串联电路的谐振串联电路的谐振含有含有L、C的电路，当电路中端口电压、的电路，当电路中端口电压、电流同相时，称电路发生了谐振。电流同相时，称电路发生了谐振。一、一、谐振的定义谐振的定义R,L,C电路电路UI相相，电

2、电路路发发生生谐谐振振。纯纯电电阻阻。电电压压、电电流流同同为为时时当当入入端端阻阻抗抗RZXjXRZ ,0,XRXXRCLRZCLj )(j)1(j IRj L+_Cj1 U二、二、RLC串联电路的谐振串联电路的谐振1、谐振条件：（谐振角频率）、谐振条件：（谐振角频率）谐振角频率谐振角频率(resonant angular frequency)谐振频率谐振频率(resonant frequency)谐振周期谐振周期(resonant period)时，电路发生谐振。时，电路发生谐振。当当CL001 2、使、使RLC串联电路发生谐振的条件串联电路发生谐振的条件（1）.L C 不变，改变不变，改

3、变 。（2）.电源频率不变，改变电源频率不变，改变 L 或或 C(常改变常改变C)。0由电路本身的参数决定，一个由电路本身的参数决定，一个 R L C 串联电路只能有一串联电路只能有一个对应的个对应的 0 ,当外加频率等于谐振频率时，电路发生谐振。当外加频率等于谐振频率时，电路发生谐振。通常收音机选台，即选择不同频率的信号，就采用改变通常收音机选台，即选择不同频率的信号，就采用改变C使电路达到谐振。使电路达到谐振。3、RLC串联电路谐振时的特点串联电路谐振时的特点.).1(同相同相与与 IU根据这个特征来判断电根据这个特征来判断电路是否发生了串联谐振。路是否发生了串联谐振。(2).入端阻抗入端

4、阻抗Z为为纯电阻，即纯电阻，即Z=R。电路中阻抗值。电路中阻抗值|Z|最小。最小。|Z|0 0O OR(3).电流电流I达到最大值达到最大值I0=U/R (U一定一定)。IRj L+_Cj1 U+_RU LU CU 相当于短路。相当于短路。LCUUCL ,0 (4).LC上串联总电压为零，上串联总电压为零，即即。上上，电电源源电电压压全全部部加加在在电电阻阻UUR 串联谐振时，电感上的电压和串联谐振时，电感上的电压和电容上的电压大小相等，方向相反，电容上的电压大小相等，方向相反，相互抵消，因此串联谐振又称相互抵消，因此串联谐振又称电压电压谐振谐振。LU CU RU I谐振时的相量图谐振时的相量

5、图当当 0L=1/(0C)R时，时，UL=UC U 。(5).功率功率P=RI02=U2/R，电阻功率达到最大。，电阻功率达到最大。即即L与与C交换能量，与电源间无能量交换。交换能量，与电源间无能量交换。2002001 ,0ICQLIQQQQCLCL 三、特性阻抗和品质因数三、特性阻抗和品质因数1.特性阻抗特性阻抗(characteristic impedance)单位：单位：与谐振频率无关，仅由电路参数决定。与谐振频率无关，仅由电路参数决定。2.品质因数品质因数(quality factor)Q它是说明谐振电路性能的一个指标，同样仅由电路它是说明谐振电路性能的一个指标，同样仅由电路的参数决定

6、。的参数决定。无量纲无量纲谐振时的感抗或容抗谐振时的感抗或容抗(a)电压关系：电压关系：RIUUR 0 UQIRRLILULjjj0000UQIRCRCIUCj1jj0000 品质因数的意义：品质因数的意义：即即 UL0=UC0=QU谐振时电感电压谐振时电感电压UL0(或电容电压或电容电压UC0)与电源电压之比。与电源电压之比。表明谐振时的电压放大倍数。表明谐振时的电压放大倍数。UL0和和UC0是外施电压是外施电压Q倍，如倍，如 0L=1/(0C)R，则，则 Q 很高，很高，L 和和 C 上出现高电压上出现高电压,这一方面可以利用，另一方面这一方面可以利用，另一方面要加以避免。要加以避免。例：

7、例：某收音机某收音机 C=150pF，L=250mH，R=20 但是在电力系统中，由于电源电压本身比较高，一旦但是在电力系统中，由于电源电压本身比较高，一旦发生谐振，会因过电压而击穿绝缘损坏设备。应尽量避免。发生谐振，会因过电压而击穿绝缘损坏设备。应尽量避免。如信号电压如信号电压10mV,电感上电压电感上电压650mV 这是所要的。这是所要的。65 RQ 1290 CL(b)功率关系：功率关系：电源发出功率：无功电源发出功率：无功电源不向电路输送无功。电电源不向电路输送无功。电感中的无功与电容中的无功感中的无功与电容中的无功大小相等，互相补偿，彼此大小相等，互相补偿，彼此进行能量交换。进行能量

8、交换。200cosRIUIP 0sin0 UIQ有功有功+_PQLCR(c)能量关系：能量关系：tLItCUCuwcmCC cos21cos2121220m2202 tICLtCItUuCC cos)90 sin()90 sin(m0o0m0om0 tLILiwL sin2121220m2 tUu sinm0 设设tItRUi sin sinm00m 则则电场能量电场能量磁场能量磁场能量电感和电容能量按正弦规律变化，最大值相等电感和电容能量按正弦规律变化，最大值相等 WLm=WCm。总能量是常量，不随时间变化，正好等于最大值。总能量是常量，不随时间变化，正好等于最大值。电场能量和磁场能量不断相

9、互转换，有一部分能量在电场能量和磁场能量不断相互转换，有一部分能量在电场和磁场之间作周期振荡，不管振荡过程剧烈程度如何，电场和磁场之间作周期振荡，不管振荡过程剧烈程度如何，它都无能量传给电源，也不从电源吸收能量。它都无能量传给电源，也不从电源吸收能量。电感、电容储能的总值与品质因数的关系：电感、电容储能的总值与品质因数的关系：UC0=QU，则，则 UCm0=QUm品质因数越大，总的能量就越大，振荡程度就越剧烈。品质因数越大，总的能量就越大，振荡程度就越剧烈。Q是反映谐振回路中电磁振荡程度的量，一般讲在要是反映谐振回路中电磁振荡程度的量，一般讲在要求发生谐振的回路中总希望尽可能提高求发生谐振的回

10、路中总希望尽可能提高Q值。值。与与 Q2 成正比成正比由由Q 的定义：的定义：从这个定义，可以对品质因数的本质有更进一步的了解：从这个定义，可以对品质因数的本质有更进一步的了解：维持一定量的振荡所消耗的能量愈小，则振荡电维持一定量的振荡所消耗的能量愈小，则振荡电路的路的“品质品质”愈好。愈好。四、四、RLC串联谐振电路的谐振曲线和选择性串联谐振电路的谐振曲线和选择性1.阻抗的频率特性阻抗的频率特性RXRXXRCLCL111tgtg1tg)()(|)(|)1(jZCLRZ 222222)()1(|)(|XRXXRCLRZLL 幅频幅频特性特性相频相频特性特性2.电流谐振曲线电流谐振曲线谐振曲线：

11、表明电压、电流大小与频率的关系。谐振曲线：表明电压、电流大小与频率的关系。幅值关系：幅值关系：可见可见I()与与|Y()|相似。相似。X()|Z()|XL()XC()R 0 Z()O阻抗幅频特性阻抗幅频特性 ()0 O/2/2阻抗相频特性阻抗相频特性电流谐振曲线电流谐振曲线 0 O|Y()|I()I()U/R从电流谐振曲线看到，谐振时电流达到最大，当从电流谐振曲线看到，谐振时电流达到最大，当 偏偏离离 0 0时，电流从最大值时，电流从最大值U/R降下来。换句话说，串联谐振降下来。换句话说，串联谐振电路对不同频率的信号有不同的响应，对谐振信号最突出电路对不同频率的信号有不同的响应，对谐振信号最突

12、出(表现为电流最大表现为电流最大)，而对远离谐振频率的信号加以抑制，而对远离谐振频率的信号加以抑制(电电流小流小)。这种对不同输入信号的选择能力称为。这种对不同输入信号的选择能力称为“选择性选择性”。3.选择性与通用谐振曲线选择性与通用谐振曲线(a)选择性选择性(selectivity)0 OI()例例.一接收器的电路参数为：一接收器的电路参数为：L=250m mH,R=20,C=150pF(调好调好),U1=U2=U3=10m mV,0=5.5 106 rad/s,f0=820 kHz.+_+_+LCRu1u2u3_f(kHz)北京台北京台中央台中央台北京经济台北京经济台 L82064010

13、26X1290166010340 660577129010001611I0=0.5I1=0.0152I2=0.0173I=U/|Z|(m mA)C1从多频率的信号中取出从多频率的信号中取出 0 的那个信号，即的那个信号，即选择性选择性。选择性的好坏与谐振曲线的形状有关，愈尖选择性愈好。选择性的好坏与谐振曲线的形状有关，愈尖选择性愈好。若若LC不变，不变，R大，大，曲线平坦，选择性差。曲线平坦，选择性差。I0=0.5I1=0.0152I2=0.0173I=U/|Z|(m mA)%04.301 II小得多小得多收到北京台收到北京台820kHz的节目。的节目。Q 对选择性的影响：对选择性的影响：R

14、变化对选择性的影响就是变化对选择性的影响就是Q对选择性的对选择性的 影响。影响。8206401200I(f)f(kHz)0%46.302 II为了方便与不同谐振回路之间进行比较，把电流谐振为了方便与不同谐振回路之间进行比较，把电流谐振曲线的横、纵坐标分别除以曲线的横、纵坐标分别除以 0和和I(0)，即，即000)()()()(,IIIII (b)通用谐振曲线通用谐振曲线2220)1(11)1(/|/)()(RCRLCLRRRUZUII 20020000)(11)1(11QQRCRL Q越大，谐振曲线越尖。当稍微偏离谐振点时，曲线就越大，谐振曲线越尖。当稍微偏离谐振点时，曲线就急剧下降，电路对非

15、谐振频率下的电流具有较强的抑制能力，急剧下降，电路对非谐振频率下的电流具有较强的抑制能力，所以选择性好。所以选择性好。Q=10Q=1Q=0.51 2 10)(II0.7070 通用谐振曲线：通用谐振曲线：因此，因此，Q是反映谐振电路性质的一个重要指标。是反映谐振电路性质的一个重要指标。Q=10Q=1Q=0.51 2 10)(II0.7070.,707.02/1/210II和和标分别为标分别为对应横坐对应横坐点点与每一谐振曲线交于两与每一谐振曲线交于两处作一水平线处作一水平线在在 .,12022011 12 称为通频带称为通频带BW(Band Width)可以证明：可以证明：.1 ,112012

16、12QQ 即即I/I0=0.707以分贝以分贝(dB)表示：表示：20log10I/I0=20lg0.707=3 dB.所以，所以，1，2称为称为3分贝频率。分贝频率。Q=1 0 2 1I0.707I00 4.UL()与与UC()的频率特性的频率特性UL()：当当 =0，UL()=0；0 0，电流开始减小，但速度不快，电流开始减小，但速度不快，XL继续增大，继续增大，UL 仍有增大的趋势，但在某个仍有增大的趋势，但在某个 下下UL()达到最大值，然后减小。达到最大值，然后减小。，XL，UL()=U。类似可讨论类似可讨论UC()。UUC(Cm)QU Cm Lm 0UL()UC()U()1根据数学

17、分析，当根据数学分析，当 =Cm时，时，UC()获最大值；获最大值；当当 =Lm时，时，UL()获最大值。且获最大值。且UC(Cm)=UL(Lm)。)2/1(Q条条件件是是Q越高，越高，Lm和和 Cm 越靠近越靠近 0。Lm Cm =0。020m211Qc 0220m122QQL QUQQUUULLcC 2mm411)()(上面得到的都是由改变频率而获得的，如改变电路上面得到的都是由改变频率而获得的，如改变电路参数，则变化规律就不完全与上相似。参数，则变化规律就不完全与上相似。上述分析原则一般来讲可以推广到其它形式的谐振上述分析原则一般来讲可以推广到其它形式的谐振电路中去，但不同形式的谐振电路

18、有其不同的特征，要电路中去，但不同形式的谐振电路有其不同的特征，要进行具体分析，不能简单搬用。进行具体分析，不能简单搬用。由于电压最大值出现在谐振频率附近很小的范围内，由于电压最大值出现在谐振频率附近很小的范围内，因此同样可以用串联谐振电路来选择谐振频率及其附近的因此同样可以用串联谐振电路来选择谐振频率及其附近的电压，即对电压也具有选择性。电压，即对电压也具有选择性。一、简单一、简单 G、C、L 并联电路并联电路对偶：对偶：R L C 串联串联G C L 并联并联LC10)1(jCLRZ )1(jLCGY 10.2 并联电路的谐振并联电路的谐振+_S IGCL ULC10 R L C 串联串联

19、G C L 并联并联|Z|0 0O OR 0 OI()U/R 0 OU()IS/GLU CU UUR ICI LI SGII U|Y|0 0O OGR L C 串联串联G C L 并联并联电压谐振电压谐振电流谐振电流谐振UL(0)=UC(0)=QUIL(0)=IC(0)=QIS LCGGLGCQ1100 CLRRCRLQ1100 推导过程如下：由定义得推导过程如下：由定义得GC0 22212GUTCUQCm GCf02 二二、电感线圈与电容并联、电感线圈与电容并联 上面讨论的电流谐振现象实际上是不可能得到的，因为上面讨论的电流谐振现象实际上是不可能得到的，因为电感线圈总是存在电阻的，于是电路就

20、变成了混联，谐振现电感线圈总是存在电阻的，于是电路就变成了混联，谐振现象也就较为复杂。象也就较为复杂。BGj LRCYj1j )(j)(2222LRLCLRR 谐振时谐振时 B=0，即，即0)(20200 LRLC由电路参数决定。由电路参数决定。求得求得CLR此电路参数发生谐振是有条件的，参数不合适可能不此电路参数发生谐振是有条件的，参数不合适可能不会发生谐振。会发生谐振。在电路参数一定时，改变电源频率是否能达到谐振，在电路参数一定时，改变电源频率是否能达到谐振，要由下列条件决定：要由下列条件决定：当电路发生谐振时，电路相当于一个电阻：当电路发生谐振时，电路相当于一个电阻：可以发生谐振可以发生

21、谐振时时即即当当 ,)(1 2CLRLRLC .,0是虚数是虚数因因不会发生谐振不会发生谐振时时当当CLR CLR等效电路：等效电路：其中：其中：C不变。不变。)(j)(2222LRLCLRRY 22)(LRRGe 。或或 ,CRLRLCRGee 谐振时：谐振时：LLRLLRLLee22222)(,)(1 GeCLe近似等效电路：近似等效电路：)1()1()1()()1()1)(CLjRLRjCLCLjRCRjCLCLjRCjLjRZ CLR当线圈当线圈Q值很高时，即：值很高时，即：1RL 时，上式可近似为：时，上式可近似为：LjCjLRCCjLjRCLZ 111 LjCjLCRZY 11 G

22、eCL近似等效电路：近似等效电路：其中，其中，L、C不变，不变，。或或 ,CRLRLCRGee 讨论由纯电感和纯电容所构成的串并联电路：讨论由纯电感和纯电容所构成的串并联电路：(a)(b)10.3 串并联电路的谐振串并联电路的谐振L1L3C2L1C2C3上述电路既可以发生串联谐振上述电路既可以发生串联谐振(Z=0)，又可以发生并联谐，又可以发生并联谐振振(Z=)。可通过求入端阻抗来确定串、并联谐振频率。可通过求入端阻抗来确定串、并联谐振频率。对对(a)电路，电路，L1、C2并联，在低频时呈感性。随着频率并联，在低频时呈感性。随着频率增加，在某一角频率增加，在某一角频率 1下发生并联谐振。下发生

23、并联谐振。1时，并联部时，并联部分呈容性，在某一角频率分呈容性，在某一角频率 2下可与下可与L3发生串联谐振。发生串联谐振。对对(b)电路可作类似定性分析。电路可作类似定性分析。L1、C2并联，在低频时并联，在低频时呈感性。在某一角频率呈感性。在某一角频率 1下可与下可与C3发生串联谐振。发生串联谐振。1时，时，随着频率增加，并联部分可由感性变为容性，在某一角频随着频率增加，并联部分可由感性变为容性，在某一角频率率 2下发生并联谐振。下发生并联谐振。定量分析：定量分析：(a)1)(j 1 jj1j)j1(jj)(2123123132121321213 CLLLCLLCLLLCLCLLZ 当当Z

24、()=0，即分子为零，有：，即分子为零，有：0)(31223132 LLCLLL1L3C2可解得：可解得：)(02舍舍去去 当当Y()=0，即分母为零，有：，即分母为零，有：012121 CL可见，可见，1 2。L1L3C2)1()(1j1 j j1j1 jj1 j j1)(2123321221213212131CLCCCLCLLCCLCLCZ (b)分别令分子、分母为零，可得：分别令分子、分母为零，可得：串联谐振串联谐振并联谐振并联谐振L1C2C3阻抗的频率特性：阻抗的频率特性：1 X()O 2Z()=jX()1 X()O 2(a)(b)例：例：激励激励 u1(t)，包含两个频率，包含两个频率 1、2分量分量(1 1，滤去高频，得到低频。，滤去高频，得到低频。CRC2C3L1+_u1(t)+_u2(t)其它形式的滤波电路：其它形式的滤波电路：L2L1C2L3C1C3L2L1C2C1L3C3带通滤波器带通滤波器(band-pass filter)带阻滤波器带阻滤波器(band elimination filter)UU2I例例:10V10ABIU1U2U4ISUSusisI