2.4.1抛物线及其标准方程

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1、抛物线及其标准方程抛物线及其标准方程一、温故而知新：一、温故而知新：我们知道我们知道,椭圆、双曲线有共同的几何特征：椭圆、双曲线有共同的几何特征：都可以看作是都可以看作是,在平面内与一个在平面内与一个定点定点的距离和的距离和一条一条定直线定直线的距离的比是的距离的比是常数常数e的点的轨迹的点的轨迹.(其中定点不在定直线上其中定点不在定直线上)那么那么,当当时时，它又是什么曲线它又是什么曲线？(1)当当0e1时时,是椭圆是椭圆MFl0e 1H(2)当当e1时，是双曲线时，是双曲线;lFMe1HMHMFe ml（1 1）平面内一个定点平面内一个定点F 和一条不经过定点和一条不经过定点F 的定直线的

2、定直线，交，交的垂直平分线的垂直平分线mHFM（3 3）作线段作线段 于于lHM （2 2）在直线在直线上任取点上任取点H，过点，过点H 作作l二、活动探究：二、活动探究：（一）探究一（一）探究一几何画板观察几何画板观察探究？探究？HMlFHM当当e=1时，即时，即|MF|=|MH|，点，点M的轨迹是什么？的轨迹是什么？H2MmMmH3mMH4mMH5M1M2M5M4M3C探究？探究？点点M随着随着H运动的过程中运动的过程中,总有总有 ，即平，即平面内与一个定点面内与一个定点F 和定直线和定直线l 距离距离 的点的轨迹的点的轨迹是曲线是曲线C。我们把这样的一条曲线叫做我们把这样的一条曲线叫做

3、.MFle=1H探究思考：探究思考：当当e=1时，即时，即|MF|=|MH|，点点M的轨迹是什么？的轨迹是什么？|MF|=|=|MH|相等相等抛物线抛物线CMFle=1H 在平面内在平面内,与一个定点与一个定点F 和一条和一条不经过点不经过点F的的定直线定直线l的的距离相等距离相等的点的轨迹叫的点的轨迹叫抛物线抛物线.定点定点F 叫抛物线的叫抛物线的焦点焦点,定直线定直线l 叫抛物线的叫抛物线的准线准线准线准线焦焦点点（二）抛物线的定义（二）抛物线的定义:课题：抛物线的标准方程和几何性质课题：抛物线的标准方程和几何性质dd 为为 M 到到 l 的距离的距离如何建立坐标系，如何建立坐标系，使抛物

4、线的方程更简单呢？使抛物线的方程更简单呢？CMFle=1H问题一：问题一：如何建立坐标系呢如何建立坐标系呢？思考思考：抛物线是抛物线是轴对称图形吗轴对称图形吗？xy0 xy0 xy0（三）探究二：抛物线的标准方程（三）探究二：抛物线的标准方程那么焦点那么焦点F 的坐标为的坐标为 ，准线，准线l 的方程为的方程为 ，设抛物线上的点设抛物线上的点 ，动点动点M 满足的几何条件是满足的几何条件是 则有则有化简方程得化简方程得方程方程 叫做抛物线的标准方程。叫做抛物线的标准方程。问题二：抛物线的标准方程的推导问题二：抛物线的标准方程的推导如图所示，取经过点如图所示，取经过点F 且垂直且垂直l 的直线为

5、的直线为x 轴，垂足为轴，垂足为K，以，以FK 的中点的中点O为原点，为原点，建立直角坐标系，设建立直角坐标系，设)0(ppKF)0,2(p2px ),(11yxMMDMF 2)2(22pxypx )0(22 ppxy)0(22 ppxyCMFlDKOxy（四）数形结合思考：（四）数形结合思考：在方程在方程 中，因为一次项含中，因为一次项含x且其系数为且其系数为 ，可以得到焦点坐标可以得到焦点坐标 。可以说：一次项可以说：一次项x的系数是的系数是 ，则焦点在，则焦点在 上，上，且焦点的横坐标等于一次项且焦点的横坐标等于一次项x的系数的四分之一，的系数的四分之一，同时也可以得到准线方程同时也可以

6、得到准线方程 。反之，如果已知焦点的坐标是反之，如果已知焦点的坐标是 ，可以写出，抛物线方程可以写出，抛物线方程 ；同理，同理，如果已知准线方程是如果已知准线方程是 ，也可以写出抛物线方程也可以写出抛物线方程 。CFlKOxy)0(22 ppxy)0(22 ppxy2p)0,2(p2px轴轴2px )0,2(pFpxy22 2px pxy22 （1）已知抛物线标准方程是）已知抛物线标准方程是 ，则它的焦点坐标为则它的焦点坐标为 ，准线，准线l 的方程为的方程为 。（2）已知抛物线的焦点坐标是）已知抛物线的焦点坐标是F ，则它的标准方程是则它的标准方程是 。（3）已知抛物线的准线方程是）已知抛物

7、线的准线方程是 ，则它的标准方程是则它的标准方程是 。（4）点）点M与点与点F 的距离和它到直线的距离和它到直线 的距离相等，则点的距离相等，则点M的轨迹方程是的轨迹方程是 。xy62 xy82 xy82)0,23()0,2(2 x23 x)0,4(04:xlxy162 三、实践感知三、实践感知例例1 1：变式：变式：（5）点）点M与点与点F（4，0）的距离比它到直线）的距离比它到直线 的距离的距离 小小1，求点，求点M的轨迹方程。的轨迹方程。MF（4，0）lDOxy05:xl解法二：（直接法）解法二：（直接法）设设M（x，y），），则则M点到点到l的距离为的距离为d，依题意依题意则则化简为化

8、简为xy162 5 xd1 MFd1)4(522 yxx 解法一：解法一：可知原条件可知原条件 M点到点到F（4，0）和到和到 距离相等，距离相等，由抛物线的定义，由抛物线的定义，点点M的轨迹是以的轨迹是以F（4，0）为焦点，为焦点，为准线的抛物线。为准线的抛物线。4:xl4:xl8 p，所求方程是，所求方程是xy162 l-5-4四、探究三四、探究三：抛物线：抛物线 的几何性质的几何性质抛物线抛物线1.范围范围2.对称性对称性3.顶点顶点4.离心率离心率FlKOxy)0(22 ppxy)0(22 ppxy)(1MHMFe MH)0(0 px，当，当 x 值越大，值越大，的值也越大的值也越大坐

9、标原点坐标原点Oy以以y代代y，方程不变，这条抛物线关于，方程不变，这条抛物线关于 对称对称x轴轴五、实践感知五、实践感知例例2（1）抛物线）抛物线 上一点上一点 到焦点到焦点F 的距离是的距离是 。xy42),1(mP （2）抛物线）抛物线 上一点上一点 到焦点到焦点F 的距离是的距离是 。)0(22 ppxy),(0mxP2 p212 pF（1，0）Ox1 xxy42 y焦点焦点准线准线)0,2(p2px 02xp),1(mP22FOxy)0,2(p2px pxy22),(0mxPD 20pxPD归纳总结：归纳总结：2200pxpxPF 抛物线抛物线 的焦半径公式是的焦半径公式是)0(22

10、 ppxy（3）斜率为）斜率为1的直线经过抛物线的直线经过抛物线 的焦点，与抛物线相交的焦点，与抛物线相交 于两点于两点A、B，求线段求线段AB的长。的长。xy42 x y C D B A F O定义：抛物线上任意一点定义：抛物线上任意一点 与抛物线焦点与抛物线焦点F 的连线段，的连线段，叫做抛物线的叫做抛物线的焦半径焦半径，),(00yxP归纳总结：抛物线归纳总结：抛物线 的的焦点弦长公式焦点弦长公式_)0(22 ppxypxxAB 21引申探究：引申探究：（4）求经过抛物线）求经过抛物线 的焦点的弦的焦点的弦AB的中的中点的轨迹方程。点的轨迹方程。xy42 CFlKOxyxy42 A1HBM2H1.1.抛物线的定义抛物线的定义:2.2.p的几何意义是的几何意义是:焦焦 点点 到到 准准 线线 的的 距距 离离作业：作业：1.(作业本作业本)P73A组组1(2)(4),3,4(1).补充：补充：2.同步：同步：P53-54.