王升瑞数项级数及审敛法

1主讲教师主讲教师:高等数学 第二十九讲2二、交错级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛 第二节第二节一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 第十二章 3一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法若,0nu1nnu定理定理 1.正项级数1nnu收敛部分和序列nSnSSSS321,有界.若1nnu收敛,收敛则nS,0nu部分和数列nSnS有界,故nS1nnu从而又已知故有界.则称为正项级数.单调递增,收敛,也收敛.证证:“”“”4定理定理2(比较审敛法比较审敛法)1,1nnu 21nnv且存在,ZN对一切,Nn 有1、若级数（2)则级数(1)2、若级数（1）则级数（2）证略证略则有收敛,也收敛;发散,也发散.nnvku 两个正项级数,(常数 k 0),5121.1nn解解 1：21nun1nnv发散,例例1：判断下列级数的敛散性11.2nn11nnvn211nnn1112nnn而收敛由比较判别法可知原级数收敛解解 2：nun1nvn1nn11而由比较判别发可知原级数发散。11nn6证明级数1)1(1nnn发散.证证:因为2)1(1)1(1nnn),2,1(11nn而级数111nn21nn发散根据比较审敛法可知,所给级数发散.例例2.2.7例例3.讨论 p 级数pppn131211(常数 p 0)的敛散性.解解:1)若,1p因为对一切,Zn而调和级数11nn由比较审敛法可知 p 级数11npnn1发散.发散,pn12）若,1p顺序地把一项、两项、四项、八项括在一起ppppppp1518171514131211pppppp8181414121211312112121211ppp收敛121pq此式由比较判别法可知 p1 时，p 级数收敛。8发散时当收敛时当级数,1,1ppP重要参考级数重要参考级数:几何级数几何级数,P-,P-级数级数,调和级数调和级数.调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.若存在,ZN对一切,Nn,1)1(nun,)1(1)2(pnupn.1收敛则nnu;1发散则nnu11111123Ppppnnn 9.211的敛散性判别级数nnn:解nnnnvnu21211nnv而级数.211收敛级数nnn例例4 4收敛121nn10的敛散性！判别级数3)!2(!2!1nnn:解1!2!(2)!nnun)!2(!nnn！)2()!1(nnnnn2)3(21）（21n收敛而级数121nn收敛！级数3)!2(!2!1nnn例例5 511证明收敛设正向级数,1nnu收敛12)1(nnu收敛11)2(nnnuu:证明)(1收敛，1nnu0nu10,0nuNnN时，有当,2nnuuNn时，当收敛，而Nnnu收敛Nnnu2收敛即12nnu例例6 6121nnuu,)(11111收敛而nnnnnnnuuuu收敛11nnnuu收敛11)2(nnnuu证明收敛设正向级数,1nnu证证例例6 61nnuu)(211nnuu13定理定理3.(比较审敛法的极限形式),1nnu1nnv,limlvunnn则有两个级数同时收敛或发散;(2)当 l=0,1收敛时且nnv;1也收敛nnu(3)当 l=+,1发散时且nnv.1也发散nnu证明略！证明略！设两正项级数满足(1)当 0 l 1,则原级数收敛。261!.4nnnen解：解：nnnuu1limnlimnne111比值法失效，但的，的增大单调上升趋于是随ennn11,11nnuun都有对任何故级数发散。11)1()1(!limnnnnnen!nennnnnnnne)1(lim27 limn例例2.讨论级数)0(11xxnnn的敛散性.解解:nnnuu1limnxn)1(1nxnx根据定理4可知:,10时当 x级数收敛;,1时当 x级数发散;.1发散级数nn,1时当 x28nlim 0!2nnn解：解：考虑以 2!nnn为通项的级数 21!nnnn用比值法知级数收敛，nnulim 2!nnnnlim0例例3：求证29定理定理5.根值审敛法(Cauchy判别法)设 1nnu为正项级,limnnnu则;,1)1(级数收敛时当.,1)2(级数发散时当 证明证明:略！数,且时,级数可能收敛也可能发散.1例如,p 级数:11pnnpnnnnu1)(1n说明说明:,1pnnu 但,1p级数收敛;,1p级数发散.30例例1：判断下列级数的敛散性12.1nnnnnnu2解：解：nlimnnnulimnnn221由正项级数的根值判别法可知原级数发散。1.2nnnen解：解：nnnenu nnnulimnlimen由正项级数的根值判别法可知原级数收敛。1313.3nnnnnnnu34313解：解：nvnnnvlimnlimnn3431由正项级数的根值与比较判别法可知原级数收敛。31例例2.证明级数11nnn收敛于S,近似代替和 S 时所产生的误差.解解:nnnnnu1n1)(0n由定理5可知该级数收敛.令,nnSSr则所求误差为21)2(1)1(10nnnnnr21)1(1)1(1nnnn1)1(1nnnnn)1(11111n并估计以部分和 Sn32定理定理6.（积分判别法）设()kff ku xf在),1 上非负非负单调连续函数，则 1nf n与 1f x d x有相同的敛散性。证明证明 不妨设 xf是单减函数，于是当1kxk有 kfxfkf1从而有 111kkkuf kf x d x以及111nnkkku xdxfkk11nkku即11nSu xdxfn11nS于是，若 xdxf1收敛，表示 xdxf1为常数，1kk33有有1nS xdxfun111 11uf x d x可知nS有界，根据定理级数收敛。xdxf1发散，因为 xf在),1 上非负，xdxf1故当n.11xdxfn可推得nS无界，级数发散。只能有11nSu xdxfn11nS若34例例3.判别级数的敛散性.解解:xdxxp2)(ln1xdxpln)(ln1212lnlnpx12)(ln111pxpp所以，当1p时，反常积分发散，原级数发散；时，反常积分收敛，原级数收敛；1p2)(ln1npnn35二二、交错级数及其审敛法、交错级数及其审敛法 则各项符号正负相间的级数nnuuuu1321)1(称为交错级数交错级数.定理定理7.(Leibnitz 判别法)若交错级数满足条件:则级数;),2,1()11nuunn,0lim)2nnunnnu11)1(收敛,且其和,1uS 其余项满足.1nnur,2,1,0nun设定义定义36证证:)()()(21243212nnnuuuuuuS)()()(1222543212nnnuuuuuuuS1u是单调递增有界数列,nS212limuSSnn又)(limlim12212nnnnnuSSnnS2lim故级数收敛于S,且,1uS:的余项nS0nu2nnSSr)(21nnuu21nnnuur故S37收敛收敛nn1)1(4131211)11!1)1(!41!31!211)21nn用Leibnitz 判别法判别法判别下列级数的敛散性:nnn10)1(104103102101)31432收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?;1)11nn;!1)21nn.10)31nnn发散收敛收敛nnu10138(4)12()1(1nnn解解 设 0121xxfx由 02ln2112xxxf知 0 xxf单调减少，从而有,2,111nunfnfunnlimlim(21)0nnnnu所以，交错级数)12()1(1nnn收敛。39三、任意项级数的判敛法三、任意项级数的判敛法 定义定义:对任意项级数,1nnu若若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,111)1(nnn,!1)1(11nnn1110)1(nnnn1nnu收敛,1nnu则称原级数1nnu为条件收敛.均为绝对收敛.例如例如：绝对收敛绝对收敛；则称原级数条件收敛条件收敛.nu可正可负可为零。40定理定理8.绝对收敛的级数一定收敛.证证:设1nnunv),2,1(n根据比较审敛法显然,0nv1nnv收敛,收敛12nnvnnnuvu 2,1nnu1nnu也收敛)(21nnuu 且nv,nu收敛,令41例例1.证明下列级数绝对收敛:;sin)1(14nnn证证:(1),1sin44nnn而141nn收敛,14sinnnn收敛因此14sinnnn绝对收敛.42解解,2nnenunnnulim11e因此12)1(nnnen12)1(nnnen收敛,绝对收敛.)1()2(12nnnen例例1.证明下列级数绝对收敛:43例例2：判断下列级数是绝对收敛、条件收敛还是发散。1111.1nnnn分析：分析：此为交错级数，是否绝对收敛用正项级数判别法，关键是将通项绝对值如何放大或缩小。nlim又nunnn11lim0nnuu1nunn1nn11121nnv解：解：原级数条件收敛！1而nnv是发散的级数，即原级数非绝对收敛441112.(1)ln(1)nnnnnun0)1ln(1)1ln(1nun1)2ln(1nun条件收敛11)1ln(1)1(nnn:解)1ln(1nun11)1ln(1nn即发散1)1ln(1nn例例2：判断下列级数是绝对收敛、条件收敛还是发散。即原级数非绝对收敛45)0(1)1(.31anannn:解aannauunnnnnn1)1(limlim11;,1级数发散时当 a;,1级数绝对收敛时当 a.)1(,11条件收敛级数时当nnna例例2：判断下列级数是绝对收敛、条件收敛还是发散。461114.(1)23nnnn:解021limnnu发散11321)1(nnnn例例2.判断下列级数是绝对收敛、条件收敛还是发散。47证明下列各题.,)1(112绝对收敛则收敛若nnnnnuu:证明12122nununn,11212收敛和而nnnnu.1绝对收敛nnnu例例3 32122baab48收敛则存在若12,lim)2(nnnnuun:证明,lim2存在nnunMunMn2,0 使存在,2nMun收敛而12nnM收敛1nnu收敛即1nnu49内容小结内容小结1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.利用正项级数审敛法必要条件0limnnu不满足发 散满足比值审敛法 limn1nunu根值审敛法nnnulim1收 敛发 散1不定 比较审敛法用它法判别积分判别法部分和极限1503.任意项级数审敛法为收敛级数1nnu设Leibniz判别法:01nnuu0limnnu则交错级数nnnu1)1(收敛概念:,1收敛若nnu1nnu称绝对收敛,1发散若nnu条件收敛1nnu称51思考与练习思考与练习设正项级数1nnu收敛,能否推出12nnu收敛?提示提示:nnnuu2limnnu lim0由比较判敛法可知12nnu收敛.注意注意:反之不成立.例如,121nn收敛,11nn发散.52 作业作业 P268 1(1),(3),(5);2(2),(3),(4);3(1),(2);4(1),(3),(5),(6);5(2),(3),(5)53备用题：备用题：),3,2,1(0nun设,1limnunn且则级数).()1(11111nnuunn(A)发散;(B)绝对收敛;(C)条件收敛;(D)收敛性根据条件不能确定.分析分析:,1limnunn由,11nun知(B)错;)(2111uunS又)(3211uuC)(4311uu)(5411uu)()1(1111nnuun11111)1(nunu54,Zn,nnvku 都有定理定理2(比较审敛法比较审敛法)1,1nnu 21nnv且存在,ZN对一切,Nn 有1、若级数（2)则级数(1)2、若级数（1）则级数（2）证证:设对一切和令nSn则有收敛,也收敛;发散,也发散.分别表示级数（1）和级数（2）的部分和,nnvku 两个正项级数,(常数 k 0),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨551、若级数1nnv则有nn lim因此对一切,Zn有nS由定理 1 可知,1nnu则有2、若级数1nnu,limnnS因此,limnn这说明级数1nnv也发散.knSnk也收敛.发散,收敛,级数则有56,1时当poyx)1(1 pxyp1234由图可知nnppxdxn11pppnnS131211nnppxdxxdx1211npxdx11)11(1111pnp111p,有界即ns.级数收敛则 P57,1p因为当nxn1,11ppxn故nnppxnn1d11nnpxx1d1111)1(111ppnnp考虑强级数1121)1(1ppnnn的部分和n111)1(11ppnkkkn故强级数收敛,由比较审敛法知 p 级数收敛.时,1)1(11pn11111)1(113121211pppppnn12)若58其和分别为 绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质.*定理定理8.绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和.*定理定理9.(绝对收敛级数的乘法).S则对所有乘积 jivu1nnw按任意顺序排列得到的级数也绝对收敛,设级数1nnv1nnu与都绝对收敛,S其和为594、0lnsin2anann解：解：naunnlnsin12ln0na即aen2令aeN2时当Nn 1lnsinlnsinnana0lnsinlimnan又naunlnsin时当2nnanalnnv2nnv发散原级数条件收敛！naln