3.1.13定积分的定义性质和几何意义

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1、3.1-3 定积分的定义、性质定积分的定义、性质和几何意义和几何意义3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义定积分的定义、性质和几何意义xyo)(xfy abxyo)(xfy ab?A?A曲边梯形由连续曲线曲边梯形由连续曲线1 1、实例、实例1 1 （求曲边梯形的面积）（求曲边梯形的面积）)(xfy )0)(xf、x轴轴与与两两条条直直线线ax 、bx 所所围围成成.一、定积分问题举例一、定积分问题举例 23.1-3 定积分的定义、性质和几何意义定积分的定义、性质和几何意义abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近显然，小

2、矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积曲边梯形面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）33.1-3 定积分的定义、性质和几何意义定积分的定义、性质和几何意义观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系播放播放 43.1-3 定积分的定义、性质和几何意义定积分的定义、性质和几何意义,1210bxxxxxabann 内内插插入入若若干干个个分分点点，在在区区间间abxyoix1x1 ix1 nx;,11 iiiiixxxxxnba 长度为长度为，个小区间个小区间分成分成把区间把区间（1）分割

3、）分割iA 53.1-3 定积分的定义、性质和几何意义定积分的定义、性质和几何意义abxyoi ix1x1 ix1 nx，上任取一点上任取一点在每个小区间在每个小区间iiixx,1 iiixfA )(小小矩矩形形面面积积来来近近似似，即即为为高高的的为为底底，的的面面积积可可用用以以个个小小曲曲边边梯梯形形第第)(,1iiifxxi （2）近似）近似 )()()()(2211nniixfxfxfxfA （3 3）求和）求和 63.1-3 定积分的定义、性质和几何意义定积分的定义、性质和几何意义iniixfA )(lim10 时时，趋趋近近于于零零即即小小区区间间的的最最大大长长度度当当分分割割

4、无无限限加加细细)0(,max,21 nxxx曲边梯形面积为曲边梯形面积为（4 4）取极限取极限 以上四个步骤可以概括为一句话：以上四个步骤可以概括为一句话：“分割取近似，求和取极限分割取近似，求和取极限。”73.1-3 定积分的定义、性质和几何意义定积分的定义、性质和几何意义2 2、实例、实例2 2 （求变速直线运动的路程）（求变速直线运动的路程）思路思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得

5、路程的精确值分过程求得路程的精确值 83.1-3 定积分的定义、性质和几何意义定积分的定义、性质和几何意义（1）分割）分割btttttann 12101 iiittt部分路程值部分路程值某时刻的速度某时刻的速度（3）求和）求和iinitvs )(1 （4）取极限）取极限,max21nttt iniitvs )(lim10 路程的精确值路程的精确值（2）取近似）取近似iiitvs )(93.1-3 定积分的定义、性质和几何意义定积分的定义、性质和几何意义 上述两个实例，一个是几何学中的面积问题，上述两个实例，一个是几何学中的面积问题，一个是物理学中的路程问题，尽管它们的实际意一个是物理学中的路程

6、问题，尽管它们的实际意义完全不同，但是从抽象的数量关系来看，它们义完全不同，但是从抽象的数量关系来看，它们的分析结构形式完全一样，都是的分析结构形式完全一样，都是 函数在区间上具函数在区间上具有特殊结构的和式的极限有特殊结构的和式的极限 ，对于这种和式的极限，对于这种和式的极限，可以抽象出新的数学概念可以抽象出新的数学概念 定积分定积分 。103.1-3 定积分的定义、性质和几何意义定积分的定义、性质和几何意义记记,max21nxxx ，bxxxxxann 1210作和作和式式iinixfS )(1，1、定义、定义二、二、定积分的定义定积分的定义 113.1-3 定积分的定义、性质和几何意义定

7、积分的定义、性质和几何意义 baIdxxf)(iinixf )(lim10 被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积积分分区区间间,ba积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和 123.1-3 定积分的定义、性质和几何意义定积分的定义、性质和几何意义 133.1-3 定积分的定义、性质和几何意义定积分的定义、性质和几何意义2 2定积分定义的剖析定积分定义的剖析 bababaduufdttfdxxf )()()(143.1-3 定积分的定义、性质和几何意义定积分的定义、性质和几何意义3 3三类可积函数三类可积函数（即定积分的存在性）（即定积分的存在性）153.1-3 定积分的定

8、义、性质和几何意义定积分的定义、性质和几何意义例例1 1 利用定义计算定积分利用定义计算定积分.102dxx iinixf )(1 iinix 21 iniixx 12nnini121 163.1-3 定积分的定义、性质和几何意义定积分的定义、性质和几何意义nnini121 niin12316)12)(1(13 nnnn,121161 nndxx 102iinix 210lim nnn121161lim.31 173.1-3 定积分的定义、性质和几何意义定积分的定义、性质和几何意义 183.1-3 定积分的定义、性质和几何意义定积分的定义、性质和几何意义1 11 1 1()1(1),11nnn

9、nenenee 11 0011lim()lim(1)1.1nxiininne dxfxeee 193.1-3 定积分的定义、性质和几何意义定积分的定义、性质和几何意义.)()(babadxxfkdxxkf bababadxxgdxxfdxxgxf )()()()(bandxxfxfxf 21)()()(banbabadxxfdxxfdxxf 2 1)()()(此性质可推广到有限多个连续函数代数和的定积分，此性质可推广到有限多个连续函数代数和的定积分，三、三、定积分的性质定积分的性质 203.1-3 定积分的定义、性质和几何意义定积分的定义、性质和几何意义.)(2 1 21 bababagdxk

10、fdxkdxgkfk.)()()(bccabadxxfdxxfdxxf3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义定积分的定义、性质和几何意义xyo)(xfy ab)(xfy xyoab曲边梯形的面积的负值曲边梯形的面积的负值四、定积分的几何意义四、定积分的几何意义3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义定积分的定义、性质和几何意义231A2A3A4A4321)(AAAAdxxfba 3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义定积分的定义、性质和几何意义几何意义：几何意义：积积取取负负号号轴轴下下方方的的面面在在轴轴上上方方的的面面积积取取正正号号；在在数数和和之之间间的的各各部部分分面面积积的的代

11、代直直线线的的图图形形及及两两条条轴轴、函函数数它它是是介介于于xxbxaxxfx ,)(243.1-3 定积分的定义、性质和几何意义定积分的定义、性质和几何意义1)(xfxyoabxysinxyo-112xy 222 yxxyo 253.1-3 定积分的定义、性质和几何意义定积分的定义、性质和几何意义 babadxxgdxxf )()(26三、三、定积分的性质（续）定积分的性质（续）3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义定积分的定义、性质和几何意义 273.1-3 定积分的定义、性质和几何意义定积分的定义、性质和几何意义 )()()(abMdxxfabmba .该性质的几何解释是该性质的几

12、何解释是：xyomM)(xfy ab面积之间。面积之间。曲边梯形面积介于以区间曲边梯形面积介于以区间（此性质可用于估计积分值的大致范围）（此性质可用于估计积分值的大致范围）283.1-3 定积分的定义、性质和几何意义定积分的定义、性质和几何意义解解,sin31)(3xxf ,0 x,1sin03 x,31sin31413 x,31sin31410030dxdxxdx .3sin31403 dxx 293.1-3 定积分的定义、性质和几何意义定积分的定义、性质和几何意义由估值定理得：由估值定理得：2 22244 021(20)e(20)2.xxdxeeee 303.1-3 定积分的定义、性质和几

13、何意义定积分的定义、性质和几何意义性质性质7（定积分中值定理定积分中值定理）313.1-3 定积分的定义、性质和几何意义定积分的定义、性质和几何意义几何解释：几何解释：xyoab)(f使使得得以以区区间间,ba为为以以曲曲线线)(xfy 底底边边，为曲边的曲边梯形的面积为曲边的曲边梯形的面积等等于于同同一一底底边边而而高高为为)(f的的一一个个矩矩形形的的面面积积。323.1-3 定积分的定义、性质和几何意义定积分的定义、性质和几何意义 333.1-3 定积分的定义、性质和几何意义定积分的定义、性质和几何意义解解由积分中值定理知有由积分中值定理知有,2,xx使使dttfttxx 2)(3sin

14、),2)(3sinxxf dttfttxxx 2)(3sinlim)(3sinlim2 f)(3lim2 f.6 343.1-3 定积分的定义、性质和几何意义定积分的定义、性质和几何意义 习习 题题 一一 （P P146146）作作业业1(2)(3)1(2)(3)；2 2；3 3；4 4；5 5。3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义定积分的定义、性质和几何意义观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义定积分的定义、性质和几何意义观察下列演示过程，注意当分割加细时

15、，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义定积分的定义、性质和几何意义观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义定积分的定义、性质和几何意义观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义定积分的定义、性质和几何意义观察下列演示过程，注意当分割加细时

16、，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义定积分的定义、性质和几何意义观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义定积分的定义、性质和几何意义观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义定积分的定义、性质和几何意义观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义定积分的定义、性质和几何意义观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义定积分的定义、性质和几何意义 若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！