概率论与数理统计第六章样本与抽样分布

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1、2022年11月9日星期三2第六章 样本与抽样分布 本章主要内容1 总体与个体2 直方图与经验分布函数3 统计量及其分布2022年11月9日星期三3 1.定义定义1：一一个统计问题总有它明确的研究对象个统计问题总有它明确的研究对象.一一.总体与个体总体与个体研究某批灯泡的质量研究某批灯泡的质量研究对象的全体称为研究对象的全体称为总体总体(母体母体)，总体中每个成员称为总体中每个成员称为个体个体.总体总体 6.1 总体与个体2022年11月9日星期三42.有限总体和无限总体有限总体和无限总体定义定义2：样本中所包含的个体数目：样本中所包含的个体数目n称为称为样本容量。样本容量。注：注：当有限总体

2、包含的个体的总数很大时当有限总体包含的个体的总数很大时,可近似地可近似地将它看成是无限总体将它看成是无限总体.总体容量有限的成为总体容量有限的成为有限总体有限总体总体容量无限的称为总体容量无限的称为无限总体无限总体 6.1 总体与个体2022年11月9日星期三5 然而在统计研究中，人们关心总体仅仅是关心然而在统计研究中，人们关心总体仅仅是关心其每个个体的一项其每个个体的一项(或几项或几项)数量指标数量指标和该数量指标和该数量指标在总体中的在总体中的分布情况分布情况.这时，每个个体具有的数量这时，每个个体具有的数量指标的全体就是总体指标的全体就是总体.某批某批灯泡的寿命灯泡的寿命该批灯泡寿命的该

3、批灯泡寿命的全体就是总体全体就是总体国产轿车每公里国产轿车每公里的耗油量的耗油量国产轿车每公里耗油国产轿车每公里耗油量的全体就是总体量的全体就是总体 6.1 总体与个体2022年11月9日星期三6 由于每个个体的出现是随机的，所以相由于每个个体的出现是随机的，所以相应的数量指标的出现也带有随机性应的数量指标的出现也带有随机性.从而可从而可以把这种数量指标看作一个随机变量，因此以把这种数量指标看作一个随机变量，因此随机变量的分布就是该数量指标在总体中的随机变量的分布就是该数量指标在总体中的分布分布.这样，这样，总体就可以用一个随机变量总体就可以用一个随机变量及其分布来描述及其分布来描述.统称总体

4、统称总体X。6.1 总体与个体注意2022年11月9日星期三7 而而概率分布概率分布正是刻划这种集体性质的适当正是刻划这种集体性质的适当工具工具.因此在理论上可以把总体与概率分布等因此在理论上可以把总体与概率分布等同起来同起来.统计的任务统计的任务,是根据从总体中抽取的样本是根据从总体中抽取的样本，去推断总体的性质去推断总体的性质.由于我们关心的是总体中的个体的某项由于我们关心的是总体中的个体的某项指标指标(如人的身高、体重，灯泡的寿命如人的身高、体重，灯泡的寿命,汽车汽车的耗油量的耗油量)，所谓总体的性质所谓总体的性质，无非就是无非就是这些指标值的集体的性质这些指标值的集体的性质.6.1 总

5、体与个体2022年11月9日星期三8 例如例如:研究某批灯泡的寿命时，关心的数研究某批灯泡的寿命时，关心的数量指标就是寿命，那么，此总体就可以用随量指标就是寿命，那么，此总体就可以用随机变量机变量X表示，或用其分布函数表示，或用其分布函数F(x)表示表示.某批某批灯泡的寿命灯泡的寿命总体总体寿命寿命X可用一概可用一概率分布来刻划率分布来刻划鉴于此，常用随机变量的记号鉴于此，常用随机变量的记号或用其分布函数表示总体或用其分布函数表示总体.如如说说总体总体X或总体或总体F(x).F(x)6.1 总体与个体2022年11月9日星期三9 类似地，在研究某地区中学生的营养状类似地，在研究某地区中学生的营

6、养状况时，若关心的数量指标是身高和体重，我况时，若关心的数量指标是身高和体重，我们用们用X和和Y分别表示身高和体重，那么此总体分别表示身高和体重，那么此总体就可用二维随机变量就可用二维随机变量(X,Y)或其联合分布函数或其联合分布函数F(x,y)来表示来表示.统计中，总体这个概念统计中，总体这个概念 的要旨是：的要旨是：总体就是一个总体就是一个 概率分布概率分布.6.1 总体与个体2022年11月9日星期三10 为推断总体分布及各种特征，按一定规则从为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以获得有关总体中抽取若干个体进行观察试验，以获得有关总体的信息，这一抽取过程

7、称为总体的信息，这一抽取过程称为“抽样抽样”，所抽，所抽取的部分个体称为取的部分个体称为样本样本.样本中所包含的个体数样本中所包含的个体数目称为目称为样本容量样本容量.二二.样本样本从国产轿车中抽从国产轿车中抽5辆辆进行耗油量试验进行耗油量试验样本容量为样本容量为5 6.1 总体与个体2022年11月9日星期三11 但是，一旦取定一组样本，得到的是但是，一旦取定一组样本，得到的是n个具体的数个具体的数(x1,x2,xn)，称为样本的，称为样本的一一次观察值次观察值，简称，简称样本值样本值.样本是随机变量样本是随机变量.抽到哪抽到哪5辆是随机的辆是随机的容量为容量为n的样本可以看作的样本可以看作

8、n维随机变量维随机变量.6.1 总体与个体2022年11月9日星期三122.独立性独立性：X1,X2,Xn是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量.由于抽样的目的是为了对总体进行统计推由于抽样的目的是为了对总体进行统计推断，为了使抽取的样本能很好地反映总体的信断，为了使抽取的样本能很好地反映总体的信息，必须考虑抽样方法息，必须考虑抽样方法.最常用的一种抽样方法叫作最常用的一种抽样方法叫作“简单随机抽样简单随机抽样”，它要求抽取的样本它要求抽取的样本满足下面两点满足下面两点:1.代表性代表性：X1,X2,Xn中每一个与所考察中每一个与所考察的总体有相同的分布的总体有相同的分布.6.1 总体与个体

9、2022年11月9日星期三13 由简单随机抽样得到的样本称为由简单随机抽样得到的样本称为简单简单随机样本随机样本，它可以用与总体独立同分布的，它可以用与总体独立同分布的n个相互独立的随机变量个相互独立的随机变量X1,X2,Xn表示表示.若总体的分布函数为若总体的分布函数为F(x)，则其简单，则其简单随机样本的联合分布函数为随机样本的联合分布函数为三三.样本的概率分布样本的概率分布 6.1 总体与个体121(,)()nniiFxxxFx2022年11月9日星期三14今后，若不特别说明，就指简单随机样本今后，若不特别说明，就指简单随机样本.若连续总体的概率密度函数为f(x)，则其样本的联合概率密度

10、函数为 6.1 总体与个体11221,(nnniiiP Xx XxXxP Xx121(,)()nniifxxxfx离散时，概率函数是指分布率p(x),则其样本的联合分布率为注意2022年11月9日星期三15 事实上我们抽样后得到的资料都是具事实上我们抽样后得到的资料都是具体的、确定的值体的、确定的值.如我们从某班大学生中如我们从某班大学生中抽取抽取10人测量身高，得到人测量身高，得到10个数，它们是个数，它们是样本取到的值而不是样本样本取到的值而不是样本.我们只能观察我们只能观察到随机变量取的值到随机变量取的值.四四.总体、样本、样本值的关系总体、样本、样本值的关系 6.1 总体与个体2022

11、年11月9日星期三16总体（理论分布）总体（理论分布）？样本样本 样本值样本值 统计是从手中已有的资料统计是从手中已有的资料-样本值，去样本值，去推断总体的情况推断总体的情况-总体分布总体分布F(x)的性质的性质.总体分布决定了样本取值的概率规律，总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本值的规律，因而可以也就是样本取到样本值的规律，因而可以由由样本值去推断总体样本值去推断总体.样本是联系二者的桥梁样本是联系二者的桥梁 6.1 总体与个体2022年11月9日星期三17例例1-11-1：已知总体已知总体X服从参数为服从参数为 的泊松分布，求样本的泊松分布，求样本的联合分布律的联合分布律

12、 解解 总体总体X的分布律为的分布律为 exxXPx!，,2,1,0 x，6.1 总体与个体2022年11月9日星期三18 6.1 总体与个体2022年11月9日星期三19一、直方图一、直方图（自学）当取得一组样本值后，一般先根据样本的当取得一组样本值后，一般先根据样本的取值作出频率直方图对总体的分布情况作一个取值作出频率直方图对总体的分布情况作一个几何直观上的粗略了解，然后再进行进一步的几何直观上的粗略了解，然后再进行进一步的分析推断直方图是频数分布的图形表示，它分析推断直方图是频数分布的图形表示，它的横坐标表示所关心变量的取值区间，纵坐标的横坐标表示所关心变量的取值区间，纵坐标有三种表示方

13、法：有三种表示方法：频数，频率频数，频率，最准确的是，最准确的是频频率率/组距组距，它可使得诸长条矩形面积和为，它可使得诸长条矩形面积和为1 1。凡。凡此三种直方图的差别仅在于纵轴刻度的选择，此三种直方图的差别仅在于纵轴刻度的选择，直方图本身并无变化。直方图本身并无变化。6.2 直方图与经验分布函数2022年11月9日星期三20 6.2 直方图与经验分布函数2022年11月9日星期三21 6.2 直方图与经验分布函数2022年11月9日星期三22 6.2 直方图与经验分布函数2022年11月9日星期三23例2-1 某工厂用自动包装机包装产品，为了考察每袋产品重量的波动情况，选取100袋产品测得

14、其重量如下：(单位：kg)，根据测得的数据作出频率直方图97.894.698.9100.999.8102.797.9 98.7 97.195.599.0101.199.6102.997.795.7 99.3 102.199.5101.299.9103.198.295.899.1 100.3 98.8101.3100.0103.898.196.099.0101.4 99.9 98.9100.198.396.399.2101.5100.2104.5 99.8 100.998.596.699.3101.4100.397.898.4 102.2 99.896.799.4101.1100.496.999

15、.5101.0 98.8 102.4100.198.597.099.1101.2100.298.0 100.7 99.797.299.2101.6100.298.197.499.0 98.6 100.1101.6100.498.197.599.4101.8100.5 102.3 100.6102.0100.298.999.7100.6102.1 100.8 99.6 98.8100.4 6.2 直方图与经验分布函数2022年11月9日星期三24 6.2 直方图与经验分布函数2022年11月9日星期三25 6.2 直方图与经验分布函数2022年11月9日星期三26 6.2 直方图与经验分布函数2

16、022年11月9日星期三27二、经验分布函数二、经验分布函数 6.2 直方图与经验分布函数2022年11月9日星期三28为由为由x x1 1,x x2 2,x xn n确定的确定的经验分布函数经验分布函数.12,nx xx定义定义6 6设设x x1 1,x x2 2,x xn n是总体是总体X X的样本值，称函数的样本值，称函数(1)(2)()nxxx 6.2 直方图与经验分布函数(1)()(1)()0,(),1,2,11,nkknxXkF xXxXknnxX2022年11月9日星期三29经验分布函数与理论分布函数的关系经验分布函数与理论分布函数的关系 6.2 直方图与经验分布函数2022年1

17、1月9日星期三30()nF x()F x因此，我们可以用因此，我们可以用来近似来近似 这也是利用样本来估计和判断总体的基本理论这也是利用样本来估计和判断总体的基本理论和依据和依据 6.2 直方图与经验分布函数 例例2-2 从某总体中抽取容量为从某总体中抽取容量为5的样本，其的样本，其观测值依次为观测值依次为 -1.2，2.6，1.8，-0.7，1.8求经验分布函数，并画出的图形求经验分布函数，并画出的图形解解 将数据由小到大排列得：将数据由小到大排列得：-1.2，-0.7，1.8，1.8，2.62022年11月9日星期三31,1,5/4,5/2,5/1,0)(5xF6.26.28.18.17.

18、07.02.12.1xxxxx则经验分布函数为：则经验分布函数为：6.2 直方图与经验分布函数2022年11月9日星期三32)(5xF的图形见下图的图形见下图 6.2 直方图与经验分布函数2022年11月9日星期三33 由样本值去推断总体情况，需要对样本值进行由样本值去推断总体情况，需要对样本值进行“加工加工”，这就要构造一些样本的函数，它把样，这就要构造一些样本的函数，它把样本中所含的（某一方面）的信息集中起来本中所含的（某一方面）的信息集中起来.一、样本统计量一、样本统计量定义定义；设设 x x1 1,x x2 2,x xn n 为取自某总体的为取自某总体的样本，若样本函数样本，若样本函数

19、T T=g g(x x1 1,x x2 2,x xn n)中中不含不含有任何未知参数有任何未知参数。则称。则称T T 为为统计量统计量。它是完全由。它是完全由样本决定的量样本决定的量.统计量的分布称为抽样分布统计量的分布称为抽样分布。6.3 统计量及其分布2022年11月9日星期三34 为什么要引进统计量？为什么统计量中不能含有未知参数？答:引进统计量的目的是为了将杂乱无序的样本值归结为一个便于进行统计推断和研究分析的形式，集中样本所含信息，使之更易揭示问题实质，从而解决问题。如果统计量中仍含有未知参数，就无法依靠样本观测值求出未知参数的估计值，因而失去利用统计量估计未知参数的意义，这是违背我

20、们引进统计量的初衷的。6.3 统计量及其分布2022年11月9日星期三35 6.3 统计量及其分布2022年11月9日星期三36 几个常见统计量几个常见统计量样本均值样本均值样本方差样本方差11niiXXn2211()1niiSXXn它反映了总体均值它反映了总体均值的信息的信息它反映了总体方差它反映了总体方差的信息的信息样本标准差样本标准差2211()1niiSSXXn 6.3 统计量及其分布2022年11月9日星期三37样本样本k阶原点矩阶原点矩样本样本k阶中心矩阶中心矩11nkkiiAXn11()nkkiiBXXn k=1,2,它反映了总体它反映了总体k 阶矩阶矩的信息的信息它反映了总体它

21、反映了总体k 阶阶中心矩的信息中心矩的信息 6.3 统计量及其分布2022年11月9日星期三38 6.3 统计量及其分布2022年11月9日星期三39 上述五种统计量可统称为上述五种统计量可统称为矩统计量，矩统计量，简简称称样本矩样本矩，他们都是样本的显函数，它们的，他们都是样本的显函数，它们的观测值仍分别称为样本均值、样本方差、样观测值仍分别称为样本均值、样本方差、样本标准差、样本本标准差、样本k阶阶(原点原点)矩、样本矩、样本k阶中心阶中心矩矩 6.3 统计量及其分布2022年11月9日星期三40顺序统计量顺序统计量将样本中的各分量按由小到大的次序排列成(1)(2)()nXXX 6.3 统

22、计量及其分布2022年11月9日星期三41二、统计量的分布二、统计量的分布 统计量既然是依赖于样本的，而统计量既然是依赖于样本的，而后者又是随机变量，故统计量也是随后者又是随机变量，故统计量也是随机变量，因而就有一定的分布，这个机变量，因而就有一定的分布，这个分布叫做统计量的分布叫做统计量的“抽样分布抽样分布”.6.3 统计量及其分布2022年11月9日星期三42 抽样分布就是通常的随机变量函数的分抽样分布就是通常的随机变量函数的分布布.只是强调这一分布是由一个统计量所产只是强调这一分布是由一个统计量所产生的生的.研究统计量的性质和评价一个统计推研究统计量的性质和评价一个统计推断的优良性，完全

23、取决于其抽样分布的性质断的优良性，完全取决于其抽样分布的性质.抽样分布抽样分布精确抽样分布精确抽样分布渐近分布渐近分布（小样本问题中使用）（小样本问题中使用）（大样本问题中使用（大样本问题中使用)6.3 统计量及其分布2022年11月9日星期三43)(22n记为记为2分布分布1、定义定义:设设 相互独立相互独立,都服从正态都服从正态分布分布N(0,1),则称随机变量：则称随机变量：所服从的分布为所服从的分布为自由度为自由度为 n 的的 分布分布.nXXX,21222212nXXX22分布是由正态分布派生出来的一种分布分布是由正态分布派生出来的一种分布.6.3 统计量及其分布2022年11月9日

24、星期三44 卡方分布是由英国统计学家卡方分布是由英国统计学家Karl PearsonKarl Pearson(1857-1936)(1857-1936)于于19001900年提出来的。年提出来的。6.3 统计量及其分布2022年11月9日星期三45 自由度(degree of freedom,df)在数学中是指能够自由取值的随机变量的个数，如有3个变量x、y、z，但x+y+z=18，因此其自由度等于2。在统计学中，自由度指的是计算某一统计量时，取值不受限制的变量个数。通常df=n-k。其中n为样本含量，k为被限制的条件数或变量个数，或计算某一统计量时用到其它独立统计量的个数。自由度通常用于抽样

25、分布中。6.3 统计量及其分布2022年11月9日星期三462分布的密度函数分布的密度函数为为122210(;)2(2)00nxnxexf x nnx来定义来定义.其中伽玛函数其中伽玛函数 通过积分通过积分10(),0t xxe tdtx)(x 6.3 统计量及其分布2022年11月9日星期三47该密度函该密度函数的图像数的图像是一只取是一只取非负值的非负值的偏态分布偏态分布 6.3 统计量及其分布2022年11月9日星期三48分布的性质分布的性质2 性质性质1).(,),(),(2122221222122221221nnnn 则则立立独独并且并且设设)(2分布的可加性分布的可加性(此性质可以

26、推广到多个随机变量的情形此性质可以推广到多个随机变量的情形).(,),2,1(),(21212222mmiiiiinnnmin 则则独立独立相互相互并且并且设设 6.3 统计量及其分布2022年11月9日星期三49.2)(,)(),(2222nDnEn 则则若若性质性质2)(2分布的数学期望和方差分布的数学期望和方差 22211()()()nniiiiEEXE Xn2()1iE X22()2iD X1,2,in证明证明事实上，因事实上，因),(21212iX，故，故22211()()()2nniiiiDDXD Xn 6.3 统计量及其分布2022年11月9日星期三50.)()()(,10,22

27、22分位数（分位点）分位数（分位点）分布的上分布的上为为的点的点称满足条件称满足条件对于给定的正数对于给定的正数 nnnP.,分位点的值分位点的值得上得上可以通过查表求可以通过查表求对于不同的对于不同的 n)(22n分布的上侧分位数 6.3 统计量及其分布2022年11月9日星期三51P304附表5=0.250.100.050.0250.010.005123456789101112131415161.3232.7734.1085.3856.6267.8419.03710.21911.38912.54913.70114.84515.98417.11718.24519.3692.7064.6056

28、.2517.7799.23610.64512.01713.36214.68415.98717.27518.54919.81220.06422.30723.5423.8415.9917.8159.48811.07112.59214.06715.50716.91918.30719.67521.02622.36223.68524.99626.2965.0247.3789.34811.14312.83314.44916.01317.53519.02320.48321.92023.33724.73626.11927.48828.8456.6359.21011.34513.27715.08616.8121

29、8.47520.09021.66623.20924.72526.21727.68829.14130.57832.0007.87910.59712.83814.86016.75018.54820.27821.95523.58925.18826.75728.29929.89131.31932.80134.267n2 分布表分布表 6.3 统计量及其分布920.21)11(2025.02022年11月9日星期三52=0.9950.990.9750.950.900.75123456789101112131415160.0100.0720.2070.4120.6760.9891.3441.7352.15

30、62.6033.0743.5654.0754.6015.1420.0200.1150.2970.5540.8721.2391.6462.0882.5583.0533.5714.1074.6605.2295.8120.0010.0510.2160.4840.8311.2371.6902.1802.7003.2473.8164.4045.0095.6296.2626.9080.0040.1030.3520.7111.1451.6352.1672.7333.3253.9404.5755.2265.8926.5717.2617.9620.0160.2110.5841.0641.6102.2042.83

31、33.4904.1684.8655.5786.3047.0427.7908.5479.3120.1020.5751.2131.9232.6753.4554.2555.0715.8996.7377.5848.4389.29910.16511.03711.912n？=3.816P304附表52 分布表分布表 6.3 统计量及其分布2022年11月9日星期三53=0.250.100.050.0250.010.0051718192021222324252627282930313220.48921.60522.71823.82824.93526.03927.14128.24129.33930.43531

32、.52832.62033.71134.80035.88736.97324.76925.98927.20428.41229.61530.81332.00733.19634.38235.56336.74137.91639.08740.25641.42242.58527.58728.86930.14431.41032.67133.92435.17236.41537.65238.88540.11341.33742.55743.77344.98546.19430.19131.52632.85234.17035.47936.78138.07639.36440.64641.92343.19444.46145

33、.71246.97948.23249.48033.40934.80536.19137.56638.93240.28941.63842.98044.31445.64246.96348.27849.58850.89252.19153.48635.71837.15638.58239.99741.40142.79644.18145.55946.92848.29049.64550.99352.33653.67255.00356.328n?=36.7412 分布表分布表 6.3 统计量及其分布P304附表52022年11月9日星期三54应用中心极限定理可得，若应用中心极限定理可得，若 ，则当则当n充分大时

34、，充分大时，)(2nX若若nnX2的分布近似标准正态分布的分布近似标准正态分布.则则可以求得，可以求得，E(X)=n,D(X)=2n),(2nX若若 6.3 统计量及其分布2022年11月9日星期三55t的密度函数为：的密度函数为：212)1()2(2)1();(nnxnnnnxf记为记为tt(n).XtY n所服从的分布为所服从的分布为自由度为自由度为 n的的 t 分布分布.2、t 分布分布 定义定义:设设XN(0,1),Y ,且且X与与Y相互独立，则称变量相互独立，则称变量)(2n 6.3 统计量及其分布2022年11月9日星期三56 6.3 统计量及其分布 学生t-分布可简称为t分布。其

35、推导由威廉戈塞（William Sealy Gosset，1876.6.131937.10.16）于1908年首先发表，当时他还在都柏林的健力士酿酒厂工作。因为不能以他本人的名义发表，所以论文使用了Student这一笔名。之后t检验以及相关理论经由罗纳德费雪（Sir Ronald Aylmer Fisher,FRS，1890.2.171962.7.29）的工作发扬光大，而正是他将此分布称为学生分布。（http:/ 2时时)当当n充分大时，其图形类似于标准正态分充分大时，其图形类似于标准正态分布密度函数的图形布密度函数的图形.0);(nxfLimxt分布的密度函数关于分布的密度函数关于x=0对称

36、，且对称，且 6.3 统计量及其分布2022年11月9日星期三58图图分布的概率密度曲线如分布的概率密度曲线如t.0对称的对称的显然图形是关于显然图形是关于 t当当n充分大时充分大时,其图其图形类似于标准正态形类似于标准正态变量概率密度的图变量概率密度的图形形.,21)(lim22tneth 因为因为,)1,0(分布分布分布近似于分布近似于足够大时足够大时所以当所以当Ntn.)1,0(,分布相差很大分布相差很大分布与分布与但对于较小的但对于较小的Ntn 6.3 统计量及其分布2022年11月9日星期三59性质1 设 ,则当n2 时有性质2 设 ，是t的分布密度，则此性质说明，当 时，t分布的极

37、限分布是标分布的极限分布是标准正态分布准正态分布。()tt nt 分布具有下列性质：6.3 统计量及其分布()0E t()2nD tn()tt nn ()tt n()p t221lim()2txp te2022年11月9日星期三60).()()()(,10,或分位点或分位点分位数分位数分布的上分布的上为为的点的点称满足条件称满足条件对于给定的对于给定的 ntntnttP.分位数的值分位数的值得上得上可以通过查表求可以通过查表求 由分布的对称性知由分布的对称性知).()(1ntnt .)(,untn时当45)(ntt分布的上侧分位数 6.3 统计量及其分布2022年11月9日星期三61=0.25

38、0.100.050.0250.010.005123456789101112131415161.00000.81650.76490.74070.72670.71760.71110.70640.70270.69980.69740.69550.69380.69240.69120.69013.07771.88561.63771.53321.47591.43981.41491.39681.38301.37221.36341.35621.35021.34501.34061.33686.31382.92002.35342.13182.01501.94321.89461.85951.83311.81251.7

39、9591.78231.77091.76131.75311.745912.7062 4.3027 3.1824 2.7764 2.5706 2.4469 2.3646 2.3060 2.2622 2.2281 2.2010 2.1788 2.1604 2.1448 2.1315 2.119931.8207 6.9646 4.5407 3.7469 3.3649 3.1427 2.9980 2.8965 2.8214 2.7638 2.7181 2.6810 2.6503 2.6245 2.6025 2.583563.6574 9.9248 5.8409 4.6041 4.0322 3.7074

40、3.4995 3.3554 3.2498 3.1693 3.1058 3.0545 3.0123 2.9768 2.9467 2.9208nt分布表分布表 6.3 统计量及其分布7613.1)14(05.0t?)14(95.0tP303附表42022年11月9日星期三62P303附表4=0.250.100.050.0250.010.005123456789101112131415161.00000.81650.76490.74070.72670.71760.71110.70640.70270.69980.69740.69550.69380.69240.69120.69013.07771.885

41、61.63771.53321.47591.43981.41491.39681.38301.37221.36341.35621.35021.34501.34061.33686.31382.92002.35342.13182.01501.94321.89461.85951.83311.81251.79591.78231.77091.76131.75311.745912.7062 4.3027 3.1824 2.7764 2.5706 2.4469 2.3646 2.3060 2.2622 2.2281 2.2010 2.1788 2.1604 2.1448 2.1315 2.119931.8207

42、 6.9646 4.5407 3.7469 3.3649 3.1427 2.9980 2.8965 2.8214 2.7638 2.7181 2.6810 2.6503 2.6245 2.6025 2.583563.6574 9.9248 5.8409 4.6041 4.0322 3.7074 3.4995 3.3554 3.2498 3.1693 3.1058 3.0545 3.0123 2.9768 2.9467 2.9208n?=2.1315t分布表分布表 6.3 统计量及其分布2022年11月9日星期三63由定义可见，由定义可见，3、F分布分布2212(),(),XnYn定义定义:设设

43、 X与与Y相相互独立，则称统计量互独立，则称统计量服从自由度为服从自由度为n1及及 n2 的的F分布分布，n1称为称为第第一自由度一自由度，n2称为称为第二自由度第二自由度，记作，记作 FF(n1,n2).12X nFY n22111(,)Y nF n nFX n 6.3 统计量及其分布2022年11月9日星期三64 为了彰显英国统计学家費雪对统计的贡为了彰显英国统计学家費雪对统计的贡献，美国统计学家斯內德克（献，美国统计学家斯內德克（George Snedecor,1881-1974）提出以費雪名字开头）提出以費雪名字开头的字母，当作的字母，当作 分布的名称。分布的名称。6.3 统计量及其分

44、布2022年11月9日星期三65即它的数学期望并不依赖于第一自由度即它的数学期望并不依赖于第一自由度n1.112121211122212221222()()()10(;,)()()0 0nnnnnnnnnnnnnxxxf x n nx X的的数学期望数学期望为为:22()2nE Xn若若n22若若XF(n1,n2)，X的概率密度为的概率密度为 6.3 统计量及其分布2022年11月9日星期三66图图分布的概率密度曲线如分布的概率密度曲线如F分布有以下性质分布有以下性质F).,(1),(1221nnFFnnFF则若(1)(,)()()()(),(,)(4422222222212122222nnn

45、nnnnFDnnnFE(2)6.3 统计量及其分布2022年11月9日星期三67.,),(21可通过查表完成可通过查表完成的值的值求求nnF.),(),(),(,10,212121分位数分位数分布的上分布的上为为的点的点称满足条件称满足条件对于给定的对于给定的 nnFnnFnnFFP),(21nnFF分布的上侧分位数 6.3 统计量及其分布?)12,9(05.0F?)9,8(95.0F/147/1472022年11月9日星期三68F分布表分布表0.05 6.3 统计量及其分布n1n2123456789101112131161.4 18.51 10.13 7.71 6.61 5.99 5.59

46、5.32 5.12 4.96 4.84 4.75 4.67 2199.5 19.00 9.55 6.94 5.79 5.14 4.74 4.46 4.26 4.10 3.98 3.89 3.81 3215.7 19.16 9.28 6.59 5.41 4.76 4.35 4.07 3.86 3.71 3.59 3.49 3.41 4224.6 19.25 9.12 6.39 5.19 4.53 4.12 3.84 3.63 3.48 3.36 3.26 3.18 5230.2 19.30 9.01 6.26 5.05 4.39 3.97 3.69 3.48 3.33 3.20 3.11 3.0

47、3 6234.0 19.33 8.94 6.16 4.95 4.28 3.87 3.58 3.37 3.22 3.09 3.00 2.92 7236.8 19.35 8.89 6.09 4.88 4.21 3.79 3.50 3.29 3.14 3.01 2.91 2.83 8238.9 19.37 8.85 6.04 4.82 4.15 3.73 3.44 3.23 3.07 2.95 2.85 2.77 9240.5 19.38 8.81 6.00 4.77 4.10 3.68 3.39 3.18 3.02 2.90 2.80 2.71 10241.9 19.40 8.79 5.96 4.

48、74 4.06 3.64 3.35 3.14 2.98 2.85 2.75 2.67 80.2)12,9(05.0FP305附表52022年11月9日星期三69F分布表分布表0.05 6.3 统计量及其分布n1n2123456789101112131161.4 18.51 10.13 7.71 6.61 5.99 5.59 5.32 5.12 4.96 4.84 4.75 4.67 2199.5 19.00 9.55 6.94 5.79 5.14 4.74 4.46 4.26 4.10 3.98 3.89 3.81 3215.7 19.16 9.28 6.59 5.41 4.76 4.35 4

49、.07 3.86 3.71 3.59 3.49 3.41 4224.6 19.25 9.12 6.39 5.19 4.53 4.12 3.84 3.63 3.48 3.36 3.26 3.18 5230.2 19.30 9.01 6.26 5.05 4.39 3.97 3.69 3.48 3.33 3.20 3.11 3.03 6234.0 19.33 8.94 6.16 4.95 4.28 3.87 3.58 3.37 3.22 3.09 3.00 2.92 7236.8 19.35 8.89 6.09 4.88 4.21 3.79 3.50 3.29 3.14 3.01 2.91 2.83

50、 8238.9 19.37 8.85 6.04 4.82 4.15 3.73 3.44 3.23 3.07 2.95 2.85 2.77 9240.5 19.38 8.81 6.00 4.77 4.10 3.68 3.39 3.18 3.02 2.90 2.80 2.71 10241.9 19.40 8.79 5.96 4.74 4.06 3.64 3.35 3.14 2.98 2.85 2.75 2.67)8,9(1)9,8(05.095.0FFP305附表52022年11月9日星期三70 当总体为当总体为正态分布正态分布时，教材上给出了时，教材上给出了几个重要的抽样分布定理几个重要的抽样分

51、布定理.这4个抽样分布定理很重要，要牢固掌握。三、正态总体样本均值与方差的分布三、正态总体样本均值与方差的分布 6.3 统计量及其分布2022年11月9日星期三71 定理定理 1 (样本均值的分布样本均值的分布)设设X1,X2,Xn是取自正态总体是取自正态总体),(2 N的样本，则有的样本，则有),(2nNX )1,0(NnX 6.3 统计量及其分布2022年11月9日星期三72n取不同值时样本均值取不同值时样本均值 的分布的分布X 6.3 统计量及其分布2022年11月9日星期三73 定理定理 2 (样本方差的分布样本方差的分布)1()1()1(222nSn 设设X1,X2,Xn是取自正态总

52、体是取自正态总体),(2 N的样本的样本,2SX和分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差,则有则有.)(相互独立和22SX 6.3 统计量及其分布证明见教材附录。2022年11月9日星期三74n取不同值时取不同值时 的分布的分布22)1(Sn 6.3 统计量及其分布2022年11月9日星期三75 定理定理 3 设设X1,X2,Xn是取自正态总体是取自正态总体),(2 N的样本的样本,2SX和 分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差,则有则有)1(ntnSX 6.3 统计量及其分布2022年11月9日星期三76 定理定理 3证明：证明：22222(1)(0,1)(1)(1)/

53、(1)(1)XnSNnntXnSnt nn由TH1，TH2知 ，由 分布的定义知 6.3 统计量及其分布2022年11月9日星期三77 定理定理 4.1(两总体样本方差比的分布两总体样本方差比的分布)1,1(2122222121nnFSS ，设),(),(222211NYNXYX和分别是这两个样本的分别是这两个样本的且且X与与Y独立独立,X1,X2,1nX是取自是取自X的样本的样本,取自取自Y的样本的样本,分别是这两个样本的样本方差分别是这两个样本的样本方差,均值，均值，2221SS 和则有则有Y1,Y2,2nY是是样本样本 6.3 统计量及其分布2022年11月9日星期三78 定理定理 4.

54、1 的证明：的证明：由定理由定理2，由假设由假设 相互独立，按照相互独立，按照F分布的定义有分布的定义有 6.3 统计量及其分布22221122122212(1)(1)(1),(1)nSnSnn2212,SS2111222121122222212222(1)/(1)/(1,1)(1)/(1)nSnSSF nnnSn2022年11月9日星期三79 定理定理 4.2(两总体样本均值差的分布两总体样本均值差的分布)2(112)1()1()(21212122221121nntnnnnSnSnYX ，设),(),(2221 NYNXYX和分别是这两个样本的分别是这两个样本的且且X与与Y独立独立,X1,X

55、2,1nX是取自是取自X的样本的样本,取自取自Y的样本的样本,分别是这两个样本的样本方差分别是这两个样本的样本方差,均值均值,2221SS 和则有则有Y1,Y2,2nY是是样本样本 6.3 统计量及其分布2022年11月9日星期三80 定理定理 4.2 的证明：由第四章，的证明：由第四章，6.3 统计量及其分布2212121212222211221222122221122122212121212122()()(,),(0,1)11(1)(1)(1),(1),(1)(1)(2)()()=(2)./(2)11wwXYXYNUNnnnnnSnSnnnSnSVnnUXYt nnVnnSnnS相 互 独

56、 立，由 F分 布 的 定 义其 中22112212(1)(1)2nSnSnn2022年11月9日星期三81 上面的定理说明了当方差相等时抽样分布服从自上面的定理说明了当方差相等时抽样分布服从自由度为由度为n1+n2-2的的t分布。但是，当方差未知且不等时，分布。但是，当方差未知且不等时，抽样分布近似服从自由度为抽样分布近似服从自由度为DF的的t分布：分布：6.3 统计量及其分布22212122222121212()()()SSnnd fSSnnnn2022年11月9日星期三82例1 设随机变量 和 相互独立，且都服从 ，而 和 为分别来自总体X和总体Y的样本，试分析下面的统计量服从什么分布？

57、6.3 统计量及其分布XY(0,16)N1216,XXX1216,Y YY1 611 621iijjXUY2022年11月9日星期三83解：由TH1，又Y的标准化变量根据t分布的定义有 6.3 统计量及其分布(0,1)XN16162221101(0,1),()(16)4416而iiiiiYYNY161161616222211116(16)16()/16()/1644iijjjjjjXXXUtYYY2022年11月9日星期三84例2 设 ，试分析下面的随机变量服从什么分布？解：6.3 统计量及其分布2(,)XN21()niiXXU2221122211()()11(1)nniiiiXXnUXXnnSn2022年11月9日星期三85例3 设 ，现从两总体中分别抽样，有 ，。试求概率的值。解：根据题意，由定理4有 6.3 统计量及其分布221122(,),(,)XNYN2118,8.75nS22210,2.66nS2212()P22112222(7,9)SFS2222222111122222122222112222/()(1)()/(3.289)1(7,9)3.289)/10.050.95SSPPPSSSPPFS