积分变换课后答案

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1、1-11.试证：若 f (t)满足 Fourier积分定理中的条件，则有f (t )=J+8 a (o)cos o t do + J+8 b (o)sin o t do其中 a (o) =1J+8 f G )cos ot dT, b (o) =1J+8 f G )sin ot dT. -8 -8分析：由Fourier积分的复数形式和三角形式都可以证明此题，请读者试 用三角形式证明.证明：利用Fourier积分的复数形式，有f (t )= -1 J+8J+8 f (t)e 一 jo t lejot do2冗-8 L -8丁2 -8=1 卜 1 j+ (t )(cos 皿- j sin 皿)dx=

2、1 J* a (o)- jb (o) (cos ot + j sin ot ilo2 _/由于 a (o)=a (-o), b (o)=-b(-o),所以f (t)=1J+8 a(o)cos o t do +1 J+8 b(o)sin o tdo2 -82 -8=J+8 a (o)cos o t do + J+8b (o)sin o t do 02.求下列函数的Fourier积分：1 t2, t2 11) f (t)2) f (t)X.0, -8 v t v -13) f (t)1 V 01, 0 v t v 1、0, 1 v t v +80, 、e-t sin2t, t 0分析：由Fouri

3、er积分的复数形式和三角形式都可以解此题，请读者试用三 角形式解.解：1)函数f (t)=1 一 12, 12 1F (O ) = F f (t)=-12)cos otdt+8 f (t )e- jot dt = 2 J 用/ (t )cos otdt =-802t cos st 2sin st 12 sin st-k + -J1 =徊典-scoss)(偶函数)ft)的Fourier积分为f (t) = 1 J+Q尸(s)ejstds = 1 J+Q尸(s)cos stds 2n Qn 04 |*+8 (sinsscoss),=_ J cos srdsn 02)所给函数为连续函数，其Fouri

4、er变换为F G)= F / (t )= J* Qf (t )e-jst dt = JT e -1 sin2te-jst dt-80=Jo+8e2tie 2tj e-jstdt = J +8e(-1+2j-js)t 一 e-(i+2j+js)t dt2j2j 0 l12j+8e(-1+2j - js) te-(1+2j + js) t!l - +2 -1+(2 一 s)j1+(2-s )j 2 G-s 2)- 2s j25 一 6s 2 +s 4(实部为偶函数，虚+ -1 + 2j - js 1 + 2j + js数为奇函数)f (t)的Fourier变换为+8F (s )ejf ds-81+

5、8 2 = J2n -8 25-6s2 +s4C5s2) 2s j (cos s t - jsin s t )ds1 j+8(5-s 2 )cos s t + 2s sin s t d1J+8(5-s 2 )sin s t 一 2s cos s t d25 - 6s 2 +s 425 - 6s 2 +s 4n -825一6s2 +s4n -8 -一 25 - 6s 2 +s 42( +8 X-s 2 /cos s t + 2s sin s t =Jdsn 0这里用到奇偶函数的积分性质.3)所给函数有间断点-1，0，1且f-t)=-ft)是奇函数，其Fourier变换为F (s)=歹f (t)=

6、 J +8 f (t)e-jstdt = -2j J +8 f (t)sin stdt -80= -2j J11 sin tdt = 2j(cos -1)(奇函数) 0J(l)的Fourier积分为f (t) = f+F ()ejf d =J+F ()sin td 2n 0n 02( +81 - cos .=Jsin tdn 0其中t丰-1, 0, 1 (在间断点t0处，右边ft)应以f 0 + 0)； f。-0)代替).3求下列函数的Fourier变换，并推证下列积分结果：1) f (t )=e-M (p 0),证明：J： d = & e-。;0 p 2 +22p2) f (t) = e -

7、1 cos t,证明：J+82 + 2 cos td = e-cos t;0 4 + 423)f (t)=sint, |t| n证明：J+8 sin n sin t 01 - 2d= =2 11+j-jo 1-j-jo -1 + j-jo 1 + j-jo I o4 + 4再由Fourier变换公式得1 +81(* +81(* +8 2+2f (t) =JF (o)ejtdw = -JF (o)costd = Jcosotdo2n -8n 0n 0 o 4 + 4+8o 2 + 2, n Icos o tdo = e-4 cos t 0 o 4 + 423)给出的函数为奇函数，其Fourier

8、变换为F (o) = J+8 f (t)e-jotdt = Jn sinte-jotdt = Jn sint (cosot - jsinot)dt-8 n n=-2j J n sin t sin o tdt = jJ ncos (o +1) 0sin (o +1) t n sinko+10 (o-1)t o-1t 一 cos (-1) t dt-sin ok 一 sin ok、】o +1 一 o-1 2jsin oko 2 1F -1LF (o) = J+8 F (o)ejordo = J+8 2jsin on (cos ot + jsin ot )do 2n 一82n 一8 o 2 -10,

9、 V2 sin t ,|t| 0, t 0)的Fourier正弦积分表达式和Fourier余弦积分表达式.解：根据Fourier正弦积分公式，并用分部积分法，有f (t )= J+8J+8 f G )sin or dz I sin otdo n 0 L 0=88 e_& sin r dx n 0 L 0e px(p sin r - cos t)P 2 + 2+80sin td_2 f+8J n 0 P2 +2sin td.根据Fourier余弦积分公式，用分部积分法，有f (t)= - J+8 n 0+8 f G )cos r dr 1 cos td0a+8卜n 0 l 0e_p t cos

10、r dr cos td2 f+8 n 0e-pr(p sin r - cos t)P 2 + 2+80cos tdcos td.P 2 +21-2A一 0 V t Vr1求矩形脉冲函数f (t) J 2：一的Fourier变换.0,其他解：F ( ) Ff (t) = f +8f (t )e_ j t dt_8=frAe_jtdt 工 f0Lj0A(1 e_ jtj2.设F()是函数f (t)的Fourier变换，证明F()与f (t)有相同的奇偶性.证明：F()与f (t)是一个Fourier变换对，即F ( )= f+8f (t)e_jtdt，f (t)= f+8F ()ejtd -82n

11、 -8如果F()为奇函数，即F(y)=_F()，则f (_t )= f+8F()ej(_t)d - f +8 (_F (_)ej(_)td2n 一82n 一8(令 一=u ) = 2- j F (u)ej“tdu(换积分变量u为3)=- 2- J+；F ()ej而=- f (t)所以f G)亦为奇函数.如果f G)为奇函数，即f (-1 )=-f (t)，则F (-)=J +七(t)e-j(Ydt = j +8 一 f (t)e-jq)dt88(令t = u ) =j 8f (u )e-jttudu+8(换积分变量 u 为 t) = j+ f (t)e-jfdt = F (切)8所以F ()亦

12、为奇函数.同理可证f (t)与F ()同为偶函数.4.求函数f (t)=e-1 (t 20)的Fourier正弦变换，并推证J+8 sin ao do = ea(a 0 ) 01+ O22解：由Fourier正弦变换公式，有+8 e -1 sin o t dt 0F (o) = f (t) = J+8 f (t)sino tdt = Jet (一 sin ot -o cos ot)1 + o 2由Fourier正弦逆变换公式，有f (t)=FiF (o)= - J+8F (o)sinotdo = - j+OsinO0 do s sn 0 sn 01 + O 2由此，当t =a 0时，可得J+8

13、 sin ao do = n f (a)= n ea(a 0)01+ 02225.设 F f (t) = F(co),试证明:1) f G)为实值函数的充要条件是F(-) = F(j ；2) f G)为虚值函数的充要条件是F(-)=-丽).cos t jsin t dti证明：在一般情况下，记f。)=f G)+ f)其中f (t)和f G)均为t的 实值函数，且分别为f (t)的实部与虚部.因此8F (必)=J +8f (t)emdt = J+8 f (t)+ j f 0)L 88 r i JJ+88f (t )cos t + f (t )sin ot dt jJ+8f (t )sin t f

14、 (t )cos 11 dt=Re F (o)+j ImF (o)其中 ReF (o) = J+8-8f (t)cos ot + f (t)sin ot dt，(a )ImF (o) = J+00 f (t )sin ot f (t)cos ot dt(b )1)若f (t)为t的实值函数，即f (t)= f G), f (t)= 0 .此时，(a)式和(b)式 分别为ReF (o) = J +： f (t )cos otdtIm F (o) = J+： f (t)sinotdt所以F (o)= Re F (o) + jIm F (o)=Re F (o)jIm F (o) = F (o)反之，

15、若已知F (o)= F (o)，则有Re F (o) + jIm F (o) = Re F (o) jIm F (o)此即表明F (o)的实部是关于o的偶函数；F (o)的虚部是关于o的奇函数.因 此，必定有F (o)= J+8f (t)cosotdt -jJ+8f (t)sin otdt -8 r-8 r亦即表明f (t)= f (t)为t的实值函数.从而结论1)获证. r2)若f (t)为t的虚值函数，即f (t)=f (t), f (t) = 0.此时，(，)式和&)式分别为ReF (o) = J+； f (t)sinotdtIm IF (o) = J +8 f (t )cos otdt

16、 -8 i所以F (-o)= Re F (-o) + jIm F (-o)=- Re F (o) + jIm F (o) 切 | F (o) - jIm F (o)-F (o)反之，若已知F (-)=- F (o)，则有Re F (-) + jIm F (-o) = - Re F (o) + jIm F (o)此即表明F (o)的实部是关于o的奇函数；F (o)的虚部是关于o的偶函数.因此，必定有F (o)= J+8f (t)sinotdt + jJ+8 f (t)cosotdt， -8 i-8 i亦即表明f (t )=f (r)为t的虚值函数.从而结论2)获证.6.已知某函数的Fourier

17、变换F(o)=亨，求该函数f(t).解：F(0 =譬为连续的偶函数,由公式有nt+81( +8 sin of (t )= JF (o)ejo( do = Jcos o tdo2 -8n 0 o1 +8 sin (1+t)o1 f+8 sin (1 -t)o=Jdo +Jdo2n 0 o2n 0 o但由于当a 0时+8 sin ao +8 sin ao+8 sin t nJ 00 do = J o o d(ao) = J o dt =-当a v 0时+8 sin ao+8 sin( - a )onJ 0 o do = -J 0do = -当a = 0时,J浩do=0，所以得/ GH1 ,t| v

18、 1 214，t = 10,|t| 17已知某函数的Fourier变换为F伍妇+气九8(o-o0),求该 函数f (t).解：由函数8(t-1 )g(t)dt = g(t。)，易知f (t )= J+8F (o)ejot do2 n -8=J+n8 (o + o )ejot d2n -8o + 土J+8n8(o-o )ejotdo2n -801=ejot21+ ejot o = -o20=cos o to =o 008.求符号函数(又称正负号函数)sgn(t)= 0解：容易看出 sgnG)= u(t)-u(-1)，而F u(t) = F(o)-二 + n8(o). joFourier9.求函数

19、 f (t)= 8G+a)+ 8(t-a)+ 8变换.解：F ()= F-+88 (+a )+ 8 ( a )+ 8(t+a:+ 8(ta 8k 2)k 2)/。)=2e-炒d=i + 5+ e*2t = at = a10 .求函数 f (t)=costsint的 Fourier 变换.解：已知F sin 气 t = jn 8 ( + 气)-8 (一气)由 f (t ) = cos t sin t = 1sin2t 有 F f (t) = nj 8 ( + 2) 8 (o 2)2211.求函数 f (t )=sin31 的 Fourier 变换.解:已知 Fej吨=2n8Q气),由f (t )

20、 = sin31 = j(e3j t 3ejt + 3e-jt e3j t) 8即得歹f (t) = n 8 (-3) 38 如1)+ 38 ( +1) 8 ( + 3 )一12,求函数 f (t)= sin 5t + 三的 Fouriier变换.解：由于f (t )=sin(s n)1 . e 焰巴5t + J = 2sin51 + 亍8略 t故Ff (t) = ?80 + 5)-8(o-5) +学8(d + 5)+ 8(-5).14.证明：若Fe网)=F ()，其中9 C)为一实数，则F cos 9(t)=1 F ()+ F (-)2 L-1F sin9 (t) = 2 f ()-F (-

21、o)其中Ft-O)为f (o )的共轭函数.证明：因为 F(o)=jgeM) e-jotdt-8F (-o)= J+8 ej9(t )ejo t dt = J+8e-抑。) e - jot dt-8-82 f (o)+s=J+8 印)+ e j e-jot dt = J+8cos9 (t)e-jotdt =歹cos9 (t)-82-8同理可证另一等式.17.求作如图的锯齿形波的频谱图.(图形见教科书).1 一解：o =容,f (t )=Jfht，0 t T0 0,其他C = - J T f (t)dt = - J T - htdt =-0 T 0T 0 T 2C = FGo )=1JTf (Q

22、e-jnvdt = 1JT-te-jno01 dt = J T te - jn01 dt n0 T 00 T 0 TT 2 00T 2 -jno 1-0 e - jno01J T e-jno0t dt = j-2nn-no n0 n=-8n# 0F (o)= ?2n6(o)+ 艺 2_. 2沛(o-no )=nhS(o)+ 艺 6(o- no ).n =-8n 01-3a, p是常数，证明(线性性1.若 F1(o) = F f#), F2(o) = F f2(t),质)：=a F (o) +p F (o)12Faf (t) +Pf (t) 12F-1 aF (o) + pF (o)=af (t

23、) + P f (t)1212分析：根据Fourier变换的定义很容易证明.证明：根据Fourier变换与逆变换的公式分别有歹af (t) + P f (t)= J+8a f (t) + P f (t)egdt-8+8 f (t)e-jotdt + p J+8 f (t)e-jotdt-81-821212=a J=a F ()+ P F (o)F-1aF (o) +PF (o)= J+8aF (o) +PF (o)1 ejotdo122n12=a2 _ +8 F (o )ejotdo +P8J+8 F (o)ejotdo 2n -8 2、=af (t) +P f (t)126.若 F (o)

24、= F f (t),证明(翻转性质)：F (-o) = F f (-1) 分析：根据Fourier变换的定义，再进行变量代换即可证明.证明：歹f (-1) =8 f (-1)e - jot dt一8(令-t = u)= J+8 f (u)e一jo(-u)du-8(换u 为 t)= J+8 f (t)e-j(-o)tdt-8=F (-o )9.设函数f (t)=L 机* WI田mm在房 f日歹sint n,| 1L t0,|o| 1证明：F f (t) = J+8f (t)e-jotdt =J1 e - jot dt -8-11 sin ot ,=J 1cos o t dt = J1dt00 o

25、由对称性质：F f (t) = F ()，则 F F(t) = 2f(-),有sin tt=2nf (-o)sin t if ) n，lol 112.利用能量积分J+8-8(t )12 dt = 2Lf+8 |F (o)|2 d-8o，求下列积分的值:3) J+8 / 1 T dx ; 4) J+8Z x2 J dx.-8 1 + x 2 T 2 2 2 2 -8-8 V1 + x 2 T-8 x22if!2 x 解: 1)J+8 1 -cosx dx 小 dx一82 dt(令 =t) =H 半2-8 I t 7妇 sin tF=1 n 2d = n2丸一 i2) J+8 simxdx 小皿

26、xG-cos2 x)dx-8 x 2-82 dx+8(sin x cos x )2 dx=n -1H 罕)2 -8 k t J2dtn n n- = 2 22 dt = J+8 f |-L J2冗 一8 1 + 12 J2d,X dx=J+8RJ_ -8 M + x 2 z2-8 k 1 + 12=J +8- e-jotdt = 2f+8 os dt = 2-e-J = ne-LI 一8 1 +120 1 +122从而j+8一8兀。一机2 d =1J+8 n2e_2ado = n J2 e_2o+8= n0 一24) J+8吁dx = J+8 x2 +1 一1 dx =J+8 1 dx J+8

27、1dx-8 V1 + x 2 T2-8 k1 + x 2 T2-8 1 + x 2-8 V1 + x 2 J2n n n 丸 n=arctan x+8_|_=+ =1-41.证明下列各式:2) fiG) *6)f 0) f0=f 0) f0 衩(/)；L 23L123舟 f (t)f (t 牛 d f (t)f (t)=f()4 f()； dt L“ i2dt i 2 idt 210) f (t)泗(t)=t f(T)dTB分析：根据卷积的定义证明.证明：2) f (t) Lf (t) 奴)=j+Bf (t)f (t -T) f (t -T) L 23b 1 L 23= J+B f)f (u)

28、f (t - B 1 L B 32= f+Bf+Bf (t)f (u)f (t T U)dudT -B B 132= J+BPf+B f (T) f (t - u -T)dx f (u )du B L B 12J 3=J+bT f (t - u) f。- u) f (u)du b L 123=G)f*) f3 (t)d f1 o)f G )=d 匕匕(t)-匕(t -T)dTu6)BB BdxT 一 u )du=y f (t) f J) dT= f (t)d f (t),B dt L 121dt 2d l f (t x f (t )=d rj+B f J), f (x)dxi dtL 12 d

29、t Lb 12=J +B f (t -T) - f (T )dT = / G) f (t).B dt 12d 1210) f (t) u(t)=J+B / (T)u (t-T)dTB(t-t)J1, T V t0, T t)=J t f (T)dT .B2.若f1 (t) =e-tu 0),f2 (t )=sin tu (t),求 f1 (t) f (t).注意：不能随意调换/ (t)和f2 (t)的位置.解：由 f (t)= e-atu(t)=ef，, 0, f G) = sintu(。=(皿,10, t 0, f G)工0；t -T 0, f (t -T),0 .即必须满足厂 0 ,即厂0

30、,因此2111 -T 0It 0.解由定义知S (必)=J +8 r (j )e- jfflz dx = - J+M e -2 a I b-jg dt-84 -8e2 at e- jx dx +J +8 e -2 ax e - jg dx4 01 e(2 a-j 就 04 2a - jo+ -81 e-(2a+j就 +84 -(2a + jo) 0a4a 2 +o 29.求函数f (t) =e-atu (t), (a 0)的能量谱密度.解：因为 f (t)=e-atu0)= 0, 0, t -x0,t 0时，f(t)f(t +x)r0的区间为(0, +8)，所以f (t +x) =e-a(t+

31、x)u (t +x ) = JR(x)=J+8 f (t) f (t +x )dt = J+8 e-a t e-a(t +x)dt -80e-ax J +8 e-2a t dt = eaxe2a t0-2a+81=e-ax0-2a当x 0时，f (t) f (t +x)g的区间为(,+8)，所以R (x)= J+8 f (t) f (t +x )dt = J+8e-at e-aG+x)dt-8-x=e-ax J +8 e-2atdt1e-ax e-2at-2a+8=e-ace2ac = eaz2a2a因此，R6,现在可以求得/G)的能量谱密度，即S (必)=J +8 R G)e-j cdc =

32、 J+%-al le-jg dc-82a -8=A0e(a-j就 dc +8 e-(a+j)c dce(a-j 融0 + f e-(a+舟-8 -(a + j)+80ia 2 + 21-51.求微分方程 x，(t)+ x (t ) = 5 (t),( -8 t +8)的解.分析：求解微分、积分方程的步骤：1) 对微分、积分方程取Fourier变换得象函数的代数方程;2) 解代数方程得象函数；3) 取Fourier逆变换得象原函数(方程的解).解：设F x (t) = X (),对方程两边取Fourier变换，得 j 切 X (刃)+ X ()=1.即X (0)=焉-其逆变换为x(t)=0，t

33、0V4.求解下列积分方程：1) J+8 d c= (0 a e-，其中，记歹f (t) = e-?，则 f(t)=d e-:，2n上式中第二项可利用微分性质歹f ff(t )=(抑歹f (t ) = se-：，则F-1因此皿(j)2 e- 2=f ”(t )=靠尾 e -: t2e - 2t22y (t )=n.5.求下列微分方程的解x (t):ax(t)+时 gxG)f (t-T)dc = ch(t) -8其中f (t),h(t)为已知函数，a,b,c均为已知常数.解：设F f (t ) = F (), F h (t ) = H (co), F x (t ) = X ().对方程两边取Fou

34、rier变换，可得ajo X ()+bX () F ()=cH ()即X(o)= CH(O),ajo+bF (o)从而x (t )=歹-1X (o) = I +x cHejot do.2n y ajo+bF (o)211.求下列函数的Laplace变换，并给出其收敛域，再用查表的方法来验证 结果.1)f (t ) = sin ；.2分析：用Laplace变换的定义解题.=J+0解:sin t e-s也=1 J+| -e-j+s)+e2-s)2 2j 0 i12j二-1= 2(Re(s) 0). s - j s + j| 4s 2+122 I2) f G)=e-2t.解：L e -& = Jg

35、e -2t e wt = J+” e-(2+。也=- (Re( s) -2).00s + 23) f (t )=12.解:12 = J+0t 2e - st dt = -LJ+812d(e - st)= s 0s!-St0112e 一就|+8-2 J+” te-她0 o-J+s2 0td(e - st)=-耳 te - st s 2 _|+-J+ e-st dt = (Re(s) 0).4) f (t )=sin t cos t.解：Lsintcost=J+sintcoste-stdt 0=1 J+ sin2te - st dt2 01 212 s 2 + 4s 2 + 47) f 0 )=c

36、os21.解:Lcos21 = j+8cos2 te-stdt =1+cos2t e-stdtL 002+ - J+%os2te- st dt = + - J+002 s 2 02 s 4 0e(2j+ e-(2j+s dt-+ - L + 工2 s4 s - 2j s + 2js 2 + 2s xs 2 + 42.求下列函数的Laplace变换：3, 0 t v 21) f (t ) = -1, 2 4解：lf (t) = J+o f (t)e-stdt = 3J2e-stdt - J4e-哂002=-3 e-2+1 e-4=1 (3 - 4e -2 s+e -4 s, s 0 s 2 s2

37、) f (t)n3, t v2 n cos t, t 2解：f (t) = J+o f (t )e - st dt =3 J 2e-st dt +00J+o cos te - st dt n23=e- sts+0 ejt + e-jtn23-e- st dt = 1e -s(宓)11 eG-s)t e-G+s)tk 2 J 21 j - s +-(j + s)+02(一，、- i e-(j+s) -1e - ns + 2sk 2) 2 j+skeG-s); I 3_E1=s 1 -e、皿2J3) f (t )=e2t + 58 (t)解：L f (t) = J+O 0e21 + 58 (t)e

38、 - st dt = J+o e(2-s)tdt + 5 J+o 8 (t -st dt002j I j + s j- s1 - & =)Il1 ,+ 5e-=5 +(Re(s) 2). s - 2t=os - 24) f (jt)=cost - & (t)-sint - u (t)解.L f (t) = J+G (t)cos t - u (t)sin t )e - st dt = J+a)S (t)cos te-st dt - J+a)sin te - st dt 000, tr ()1e(Me-G+s +8+0 j + s 0+8=cos te- st | 0 -万 J+8 愉一 e-j4

39、-stdt = 1 -面 221. 求下列函数的Laplace变换式.1) f (t )=12 + 3t + 2.解:由L tm = m* 及l!=!有Lt2 + 3t + 21.L sm+1s Ls 3 s 2 s2) f (t )=1 - tet.解 lt=,lLte-t=f %、lLi-1e-11 = -一( 1 .s2 L &+ 1)2 L s (s - 1)23) f G)=(/-1et.解.Arr L(t-1)2et = L L12et - 2tet + et221s 2 - 4 s + 5+ = T一用一E 扪一(5) f (t)=t cos at.解：由微分性质有:ds I s

40、 2 + a 2L t cos at = - L cos at = - d ds6) f (t )=5sin21 - 3cos21解：已知L sint = 一, L cost =-,则 s 2 + 2s 2 + 2L 5 sin2t - 3cos2t = 52 - 32 = 1 s 2 + 4s 2 + 4 s 2 + 48) f 0) =e-4t cos41.解：由Lcos4t=总及位移性质有s+4L e -41 cos4t 1 _.(s+4) 2 +163.若Lf G) = F (s)，证明(象函数的微分性质)：FG)(s)=(-1Ltnf G), Re(s)c特别地，Ltf (t) =

41、-Fr(s)，或f (t)=-L-iF*s)，并利用此结论计 t算下列各式：1)f (t)=te-31 sin21，求F (s).解：L-31sin2t)= G+ 3)2 + 2=2 =( s+3 )2 + 4L 饨-31 血呼- |s3q-2 2 (s + 3) _4 (s + 3)G +3 ) + 42G +3 )2 + 422) f (t) = 11 t e-31 sin2tdt，求F (s). 0t _ _ 1 1 c _ -I 12Jte-3tsin2tdt =一L e-31sin2t =- Le-31 sin2tdtos s s + 3 )2 + 43) F (s)= In1，求

42、f G). s -1解:F(s)=ln拦,令顼F G) = f G),F (s)= = 1 一 = L -te)= L % ()= L (-f (t)故 LtF(s) = f (t)=些.tM F (s )ds s4.若L f (t) = F (s)，证明(象函数的积分性质)： L f F=8f (s)ds，或 f (t)=tL-1 并利用此结论计算下列各式：1) f (t)=业，求F (s).t解：L(sinkt)=二。=广 E，(sin kt) f k f 1(s) s g n sL1- =卜一ds = Jgd - = arctan-g = -arctan-I t ； S S2 + k 2

43、s (s V Ik)k s 2k1 + kIk J2) f (t)= e-3t，求F(s).解:L (e-31 sin2t)= 2,s + 3 )2 + 4e-31 sin2tt=M：ds = n-arctan 兰s (s + 3 )2 + 4222-31.设f (),f2 (t)均满足Laplace变换存在定理的条件(若它们的增长指数 均为 c),且 L f (/ ) = F (s), L f (t ) = F (s),则乘积 f (t ) f (t)的 112212Laplace变换一定存在，且Lf (t).f (t)1=上F (q)F (s - q)dq1FQ=(s-a丸-b)-2nj

44、B-g i 2其中 P c,Re(s) B + c.证明：已知f G)f (t)均满足Laplace变换存在定理的条件且其增长指 数均为c ,由Laplace变换存在定理知f (t)-f2(t)也满足Laplace变换存在定 理的条件且f (). f2(t)=|fi(t)| |f2(t) Meet -Meet = M2e2ct,0 2c上一定存在，且右端积分在Re(s)P+ c(P c)上绝对且一致收敛，并且在Re(s) 2c的半平面内，F G)为解析函数.根据Lf1 (t) = F1 (s)，则f1 (t)的Laplace反演积分公式为f。)=二也F (q)eqtdq12 nj P-j8 1从而Lf (t). f (t) = J+8f (t)f (t)e-stdt12012