第五章5.3概率的计算公式..

全班共有全班共有50个学生，其中数学成绩优秀者个学生，其中数学成绩优秀者15人，语人，语文成绩优秀者文成绩优秀者10人，数学与语文成绩优秀者人，数学与语文成绩优秀者5人人,求求数学或语文成绩优秀者的概率数学或语文成绩优秀者的概率 案例案例 解：解：设设A=A=数学成绩优秀者，数学成绩优秀者，B=B=语文成绩优秀者语文成绩优秀者 则数学与语文成绩优秀者=AB 数学或语文成绩优秀者=A+B51510AB505501050155051015)BA(P)()()(ABPBPAP（一）概率的加法公式（一）概率的加法公式 )()()()(ABPBPAPBAP对任意两个事件A与B，有特别地，特别地，（1 1）若）若A A与与B B互不相容，则互不相容，则)()()(BPAPBAP（2）若A与B为对立事件，则)()()(1APAPAAP可推广到有限多个互不相容事件：若A1，A2，An两两之间互不相容，则)()()()(2121nnAPAPAPAAAP)(1)(APAP)()()()(ABPAPBAPBAP3.0)(BP6.0)(BAP)(BAPAB例例1 1 设 、为两事件，且设 ，求解)()()()(ABPBPAPBAP而)()()()(ABPAPBPBAP所以3.03.06.0)(BAP于是例例2 2：某商店销售的某种商品由甲厂与乙厂供货，历某商店销售的某种商品由甲厂与乙厂供货，历年供货资料表明，甲厂按时供货的概率为年供货资料表明，甲厂按时供货的概率为0.80.8，乙厂，乙厂供货的概率为供货的概率为0.70.7，甲乙厂供货的概率为，甲乙厂供货的概率为0.60.6，求此，求此种商品在该商店货架上不断档的概率种商品在该商店货架上不断档的概率 例例3 3：某人选购了两支股票据专家预测，在未来的某人选购了两支股票据专家预测，在未来的一段时间里，第一支股票能赚钱的概率为一段时间里，第一支股票能赚钱的概率为2/32/3，第二，第二支股票能赚钱的概率为支股票能赚钱的概率为3/43/4，两支股票都能赚钱胡概，两支股票都能赚钱胡概率为率为3/53/5，求此人购买这两支股票中，至少有一支能，求此人购买这两支股票中，至少有一支能赚钱的概率赚钱的概率 例例4 4：某家庭中有两个孩子，已有一个孩子是女孩的条件下，求另一个也是女孩的概率 解：解：=男男，男女，女男，女女 B=已有一个孩子是女孩在事件B已经发生的条件下，求事件A发生的概率，通常称为条件概率，记为P(A|B).从而)B(P)AB(P)B|A(P 314341（二）条件概率和乘法公式（二）条件概率和乘法公式 A=另一个也是女孩=男女，女男，女女=女女则有所求概率为则有所求概率为,8.0)(AP因为因为.)()()(APABPABP,4.0)(BP.218.04.0 )()()(APABPABP 所以所以由于由于B A,所以所以P(AB)=P(B),)()()(APABPABP)()()(BPBAPABP 则则有有且且为为事事件件设设推推广广,0)(,:121321 AAPAAA).()()()(213121321AAAPAAPAPAAAP 事实上事实上)()(321321AAAPAAAP 且且,0)()(211 AAPAP由于由于)()(21321AAAPAAP).()()(213121AAAPAAPAP 可进一步推广如下可进一步推广如下:右侧的条件概率均有意义右侧的条件概率均有意义,).()(.)()()()(12122112112121 nnnnnAAAAPAAAAPAAAPAAPAPAAAP则则有有且且,0)(121 nAAAP,2,:221 nnAAAn个个事事件件为为设设推推广广%,96)(1)(APAP%75)(ABP)()(ABPBP)()(ABPAP.72.01007510096 321211AAAAAAB)(BP)|()|()()|()()(2131211211AAAPAAPAPAAPAPAP )()()(321211AAAPAAPAP .103819810991109101 )|()|()()|()()(2131211211AAAPAAPAPAAPAPAP 53314354415451 )(BP课堂练习课堂练习 设某光学仪器厂制造的透镜设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破第一次落下时打破的概率为的概率为1/2,1/2,若第一次落下未打破若第一次落下未打破,第二次落下打破第二次落下打破的概率为的概率为7/10,7/10,若前两次落下未打破若前两次落下未打破,第三次落下第三次落下打破的概率为打破的概率为9/10.9/10.试求透镜落下三次而未打破的概试求透镜落下三次而未打破的概率率.解解B“透镜落下三次而未打破透镜落下三次而未打破”.,321AAAB 因因为为)()(321AAAPBP 所所以以)()()(213121AAAPAAPAP)1091)(1071)(211(.2003)3,2,1(,iiAi次次落落下下打打破破透透镜镜第第设设一场精彩的足球赛将要举行，一场精彩的足球赛将要举行，5 5个球迷好不容易才搞到一张入场券个球迷好不容易才搞到一张入场券.大家都想去大家都想去,只好用抽签的方法来解决只好用抽签的方法来解决.入场入场券券5张同样的卡片，只有一张上写有张同样的卡片，只有一张上写有“入场券入场券”，其余的什么，其余的什么也没写也没写.将它们放在一起，洗匀，让将它们放在一起，洗匀，让5个人依次抽取个人依次抽取.“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大.”后抽比先抽的确实吃亏吗？后抽比先抽的确实吃亏吗？到底谁说的对呢？让我们用概到底谁说的对呢？让我们用概率论的知识来计算一下率论的知识来计算一下,每个人抽每个人抽到到“入场券入场券”的概率到底有多大的概率到底有多大?“大家不必争先恐后，你们一个一个大家不必争先恐后，你们一个一个按次序来，谁抽到按次序来，谁抽到入场券入场券的机会都的机会都一样大一样大.”“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率复杂事件的概率,它们实质上是加法公式和乘法它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用公式的综合运用.综合运用综合运用加法公式加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥互斥乘法公式乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)0（三）全概率公式与贝叶斯公式（三）全概率公式与贝叶斯公式设设nAAA,21为为一一个个完完备备事事件件组组,对对任任一一事事件件B,有有 BB 显然显然BABABAn,21也两两也两两互互不相容，不相容，,21BABABAn BAAAn)(21 A1A2A3A4A6A7A5A8B由概率的由概率的可加性可加性及及乘法公式乘法公式,有有 )()(21BABABAPBPn niiBAP1)(.)|()(1 niiiABPAP这个公式称为这个公式称为全概率公式全概率公式，它是概率论的基本公式，它是概率论的基本公式.设设nAAA,21为为一一个个完完备备事事件件组组,对对任任一一事事件件B,有有 BB 显然显然BABABAn,21也两两也两两互互不相容，不相容，,21BABABAn BAAAn)(21 niiiABPAPBP1)|()()(利用全概率公式，可以把较复杂事件概率的利用全概率公式，可以把较复杂事件概率的计算问题，化为若干互不相容的较简单情形，分计算问题，化为若干互不相容的较简单情形，分别求概率然后求和别求概率然后求和 例例8 8 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品产品,已知三家工厂的市场占有率分别为已知三家工厂的市场占有率分别为3030、2020、5050,且三家工厂的次品率分别为且三家工厂的次品率分别为 3 3、3 3、1 1 ，试 求 市 场 上 该 品 牌 产 品 的 次 品 率，试 求 市 场 上 该 品 牌 产 品 的 次 品 率.设设A1 1、A2 2、A3 3分别表示买到一件甲、乙、丙的产品分别表示买到一件甲、乙、丙的产品；B表示买到一件次品表示买到一件次品，解解.02.001.05.003.02.003.03.0 ,5.0)(,2.0)(,3.0)(321 APAPAP加权平均加权平均显然显然A1 1、A2 2、A3 3 构成一个完备构成一个完备事件组事件组，由题意有由题意有 31)|()()(iiiABPAPBP,01.0)|(,03.0)|(,03.0)|(321 ABPABPABP由全概率公式，由全概率公式，例例9 9 袋中有袋中有a个白球个白球b个黑球，不放回摸球两次，问个黑球，不放回摸球两次，问第二次摸出白球的概率为多少？第二次摸出白球的概率为多少？解解 分别记分别记A,B为第一次、第二次摸到白球，为第一次、第二次摸到白球，由全概率公式由全概率公式,)|()()|()()(ABPAPABPAPBP baa .baa 可可以以想想见见，第第三三次次、第第四四次次摸摸出出白白球球的的概概率率仍仍为为baa，这这体体现现了了抽抽签签好好坏坏与与先先后后次次序序无无关关的的公公平平性性.11 baabab 1 baa 在上面例在上面例8 8中，如买到一件次品，问它是甲厂生产中，如买到一件次品，问它是甲厂生产的概率为多大？这就要用到贝叶斯公式的概率为多大？这就要用到贝叶斯公式.)()()|(BPBAPBAPkk,)|()()|()(1 niiikkABPAPABPAP),2,1(nk 设设nAAA,21为为一一个个完完备备事事件件组组,定理定理0)(iAP,ni,1 ,对对任任一一事事件件B,若若0)(BP,有有 niiikkkABPAPABPAPBAP1)|()()|()()|(该公式于该公式于17631763年由贝叶斯年由贝叶斯(Bayes)给出给出.它是在它是在观察到事件观察到事件B已发生的条件下，寻找导致已发生的条件下，寻找导致B发生的发生的每个原因每个原因Ak的概率的概率.),2,1(nk)()|()()|(111BPABPAPBAP,3.002.003.02.0)|(2 BAP.25.002.001.05.0)|(3 BAP所以这件商品最有可能是甲厂生产的所以这件商品最有可能是甲厂生产的.例例1010 已知三家工厂的市场占有率分别为已知三家工厂的市场占有率分别为3030、2020、5050,次品率分别为次品率分别为3 3、3 3、1 1.如果买了一件商如果买了一件商品，发现是次品，问它是甲、乙、丙厂生产的概率分品，发现是次品，问它是甲、乙、丙厂生产的概率分别为多少别为多少?,45.002.003.03.0 :)(iAP0.3,0.2,0.5:)|(BAPi0.45,0.3,0.25解解 全概率公式可看成全概率公式可看成“由原因推结果由原因推结果”,而贝叶斯公式的而贝叶斯公式的作用在于作用在于“由结果推原因由结果推原因”:现在一个现在一个“结果结果”A 已经发已经发生了，在众多可能的生了，在众多可能的“原因原因”中中,到底是哪一个导致了这一到底是哪一个导致了这一结果？结果？故故贝叶斯公式贝叶斯公式也称为也称为“逆概公式逆概公式”.在不了解案情细节在不了解案情细节(事件事件A)之前，之前，侦破人员根据过去的前科，对侦破人员根据过去的前科，对他们作案的可能性有一个估计，他们作案的可能性有一个估计，设为设为比如原来认为作案可能性较小的某丙，现在变成了重比如原来认为作案可能性较小的某丙，现在变成了重点嫌疑犯点嫌疑犯.例如，某地发生了一个案件，怀疑例如，某地发生了一个案件，怀疑对象有甲、乙、丙三人对象有甲、乙、丙三人.丙丙乙乙甲甲P(A1)P(A2)P(A3)但在知道案情细节后但在知道案情细节后,这个估计就有了变化这个估计就有了变化.P(A1|B)知道知道B发生后发生后P(A2|B)P(A3|B)偏偏小小最最大大解解设设iA为第一次取到为第一次取到 i 个新球，个新球，2,1,0 i，例例1111 1010个乒乓球有个乒乓球有7 7个新球个新球3 3个旧球个旧球.第一次比赛时第一次比赛时随机取出随机取出2 2个，用过后放回个，用过后放回.现在第二次比赛现在第二次比赛 又取出又取出 2 2个，问第二次取到几个新球的概率最大？个，问第二次取到几个新球的概率最大？jB为为第第二二次次取取到到 i 个个新新球球，2,1,0 j，210,AAA构构成成一一个个完完备备事事件件组组，210237)(CCCAPiii ，2,1,0 i,210237)|(CCCABPjijiij ，2,1,0,ji，210237)(CCCAPiii ，210237)|(CCCABPjijiij ，2,1,0,ji，具体计算得具体计算得 151)(0 AP，157)(1 AP，157)(2 AP,151)|(00 ABP，152)|(10 ABP，92)|(20 ABP,157)|(01 ABP，158)|(11 ABP，95)|(21 ABP,157)|(02 ABP，31)|(12 ABP，92)|(22 ABP，由全概率公式，由全概率公式，2000)|()()(iiiABPAPBP,17.092157152157151151 ,54.095157158157157151)(1 BP,29.09215731157157151)(2 BP所以第二次取到一个新球的概率最大所以第二次取到一个新球的概率最大.（四）（四）独立事件的概率公式独立事件的概率公式由条件概率，知由条件概率，知)()()(BPABPBAP 一般地，一般地，)()(APBAP 这意味着：事件这意味着：事件B的发生对事件的发生对事件A发生的概发生的概率有影响率有影响.然而，在有些情形下又会出现：然而，在有些情形下又会出现：)()(APBAP,.,),23(5取取到到绿绿球球第第二二次次抽抽取取取取到到绿绿球球第第一一次次抽抽取取记记有有放放回回地地取取两两次次每每次次取取出出一一个个红红绿绿个个球球盒盒中中有有 BA则有则有)(ABP.发发生生的的可可能能性性大大小小的的发发生生并并不不影影响响它它表表示示BA)()(BPABP)()()(BPAPABP 53)(BP，则，则若若0)(AP.,)()()(,独独立立简简称称相相互互独独立立则则称称事事件件如如果果满满足足等等式式是是两两事事件件设设BABABPAPABPBA 注注.1则则若若,0)(AP)()(BPABP)()()(BPAPABP 说明说明 事件事件 A 与与 B 相互独立相互独立,是指事件是指事件 A 的发生与事件的发生与事件 B 发生的概率无关发生的概率无关.独立与互斥的关系独立与互斥的关系这是两个不同的概念这是两个不同的概念.两事件相互独立两事件相互独立)()()(BPAPABP 两事件互斥两事件互斥 AB,21)(,21)(BPAP若若).()()(BPAPABP 则则例如例如二者之间没二者之间没有必然联系有必然联系独立是事独立是事件间的概件间的概率属性率属性互斥是事互斥是事件间本身件间本身的关系的关系11ABAB由此可见由此可见两事件两事件相互独立相互独立但两事件但两事件不互斥不互斥.两事件两事件相互独立相互独立两事件两事件互斥互斥.AB)(21)(,21)(如如图图若若 BPAP)()()(BPAPABP 故故由此可见由此可见两事件两事件互斥互斥但但不独立不独立.,0)(ABP则则,41)()(BPAP又如：又如：两事件两事件相互独立相互独立.两事件两事件互斥互斥若若A与与B互斥，则互斥，则 AB=B发生时，发生时，A一定不发生一定不发生.0)(BAP这表明这表明:B的发生会影响的发生会影响 A发生的可能性发生的可能性(造成造成A不发生不发生),即即B的发生造成的发生造成 A发生的概率为零发生的概率为零.所以所以A与与B不独立不独立.理解理解:BA若事件若事件A与与B相互独立相互独立,则以下三对事件则以下三对事件也相互独立也相互独立.；与与 BA；与与 BA.BA 与与注注 称此为二事件的独立性称此为二事件的独立性 关于逆运算封闭关于逆运算封闭.甲甲,乙两人乙两人同时同时向敌人炮击向敌人炮击,已知甲击已知甲击中敌机的概率为中敌机的概率为0.6,0.6,乙击中敌机的概乙击中敌机的概率为率为0.5,0.5,求敌机被击中的概率求敌机被击中的概率.解解设设 A=甲击中敌机甲击中敌机 B=乙击中敌机乙击中敌机 C=敌机被击中敌机被击中.BAC 则则依题设依题设,5.0)(,6.0)(BPAP A与与B不互斥不互斥 (P(A)+P(B)=1.11P(A B)由于由于 甲，乙甲，乙同时同时射击，甲击中敌机并不射击，甲击中敌机并不影响乙击中敌机的可能性，所以影响乙击中敌机的可能性，所以 A与与B独独立立,进而进而.独独立立与与 BABAC BA)(1)(CPCP )()(1BPAP )(1)(11BPAP )5.01)(6.01(1 =0.8三事件三事件两两两两相互独立的概念相互独立的概念定义定义.,),()()(),()()(),()()(,两两相互独立两两相互独立则称事件则称事件如果满足等式如果满足等式是三个事件是三个事件设设CBACPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA 设设 A1，A2，An为为n 个事件个事件，若对于任意若对于任意k(1kn),及及 1i 1 i 2 i kn 定义定义 若事件若事件 A1，A2，An 中任意两个事件中任意两个事件相互独立，即对于一切相互独立，即对于一切 1 i j n,有有)()()(jijiAPAPAAP.21两两两两相相互互独独立立，则则称称nAAA.12)11(1032个式子个式子共共nCCCCCnnnnnnnn 定义定义)()()()(2121kkiiiiiiAPAPAPAAAP 有有.21相相互互独独立立，则则称称nAAA.)2(,)2(,.121个事件也是相互独立个事件也是相互独立其中任意其中任意则则相互独立相互独立若事件若事件nkknAAAn 12122.,(2),.()nnnA AA nA AAn 若个事件相互独立则将中任意多个事件换成它们的对立事件 所得的个事件仍相独立性关于独立运算封闭互n 个独立事件和的概率公式个独立事件和的概率公式:nAAA,21设设事件事件 相互独立相互独立,则则）nAAAP211()(121nAAAP )()()(nAPAPAP211也相互独立也相互独立nAAA,21即即 n个独立事件至少有一个发生的概率等于个独立事件至少有一个发生的概率等于1减去各自对立事件概率的乘积减去各自对立事件概率的乘积.)(nAAAP21结论的应用结论的应用nAAA,21则则“至少有一个发生至少有一个发生”的概率为的概率为 P(A1 An)=1-(1-p1)(1-pn)()()(121nAPAPAP,1npp nAAA,21若设若设n个独立事件个独立事件发生的概率发生的概率分别为分别为类似可以得出：类似可以得出：nAAA,21至少有一个不发生至少有一个不发生”的概率为的概率为“)(nAAAP21=1-p1 pn 对独立事件，许多概率计算可得到简化：对独立事件，许多概率计算可得到简化：例例1313 三人独立地去破译一份密码，已知各人三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为能译出的概率分别为1/51/5，1/31/3，1/41/4，问三人，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？中至少有一人能将密码译出的概率是多少？解：将三人编号为解：将三人编号为1 1，2 2，3 3，所求为所求为 P(A1+A2+A3)记记 Ai=第第i个人破译出密码个人破译出密码 i=1,2,3记记 Ai=第第i个人破译出密码个人破译出密码 i=1,2,312所求为所求为 P(A1+A2+A3)已知已知,P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4 P(A1+A2+A3)(121nAAAP)(1321AAAP)()()(1321APAPAP =1-1-P(A1)1-P(A2)1-P(A3)6.05343325413nAAA,21则则“至少有一个发生至少有一个发生”的概率为的概率为 P(A1+An)=1-(1-p1)(1-pn)()()(121nAPAPAP,1npp nAAA,21若设若设n个独立事件个独立事件发生的概率发生的概率分别为分别为类似可以得出：类似可以得出：nAAA,21至少有一个不发生至少有一个不发生”的概率为的概率为“)(21nAAAP=1-p1 pn 例例 1313 加工某一零件共需经过四道工序加工某一零件共需经过四道工序,设第一、设第一、二、三、四道工序的次品率二、三、四道工序的次品率3%,3%,假定各道工序是互不影响的假定各道工序是互不影响的,求加工出来的求加工出来的零件的次品率零件的次品率.解解 本题应先计算合格品率本题应先计算合格品率,这样可以使计算简便这样可以使计算简便.设设4321,AAAA为四道工序发生次品事件为四道工序发生次品事件,加工出来的零件为次品的事件加工出来的零件为次品的事件,的事件的事件,则则D为产品合格为产品合格故有故有D为为,4321AAAAD 分别是分别是2%,3%,5%,2%,3%,5%,)()()()()(4321APAPAPAPDP 例例 1313 加工某一零件共需经过四道工序加工某一零件共需经过四道工序,设第一、设第一、二、三、四道工序的次品率二、三、四道工序的次品率3%,3%,假定各道工序是互不影响的假定各道工序是互不影响的,求加工出来的求加工出来的零件的次品率零件的次品率.解解 本题应先计算合格品率本题应先计算合格品率,这样可以使计算简便这样可以使计算简便.分别是分别是2%,3%,5%,2%,3%,5%,)()()()()(4321APAPAPAPDP%)31%)(51%)(31%)(21(%;60.87%59779.87 )(1)(DPDP%.40.12%60.871 则称这则称这n次重复试验为次重复试验为n重贝努里试验，简称为重贝努里试验，简称为贝努里概型贝努里概型.若若n 次重复试验具有下列次重复试验具有下列特点：特点：1)每次试验的可能结果只有两个每次试验的可能结果只有两个A 或或,ApAPpAP 1)(,)(且且2)各次试验的结果相互独立，各次试验的结果相互独立，(在各次试验中在各次试验中p是常数，保持不变）是常数，保持不变）一般地，对于一般地，对于贝努里概型贝努里概型，有如下公式：，有如下公式：定理定理 如果在贝努里试验中，事件如果在贝努里试验中，事件A出现的出现的概率为概率为p(0p1),则在则在n次试验中，次试验中，A恰好出现恰好出现 k 次的概率为：次的概率为：knkknnppCkP )1()()1;,2,1,0(pqnk knkknqpC .1)(0 nknkP且且,发发生生的的次次数数重重伯伯努努利利试试验验中中事事件件表表示示若若AnX所所有有可可能能取取的的值值为为则则 X.,2,1,0n推导如下：推导如下：,)0(时时当当nkkX .次次次试验中发生了次试验中发生了在在即即knA 次次kAAA,次次knAAA 次次1 kAAAA A 次次1 knAAA次次的的方方式式共共有有次次试试验验中中发发生生在在得得knA,种种knC且两两互不相容且两两互不相容.称上式为称上式为二项分布二项分布.记为记为).,(pnBX次次的的概概率率为为次次试试验验中中发发生生在在因因此此knAknkknppC )1(pq 1记记knkknqpC 例例1414 某种小树移栽后的成活率为某种小树移栽后的成活率为90%,90%,区移栽了区移栽了2020棵棵,一居民小一居民小求能成活求能成活1818棵的概率棵的概率.解解 观察一棵小树是否成活是随机试验观察一棵小树是否成活是随机试验,E每棵小每棵小树只有树只有“成活成活”)(A或或“没成活没成活”)(A两种可能结果两种可能结果,且且.9.0)(AP可以认为可以认为,小树成活与否是彼此独立的小树成活与否是彼此独立的,因此观察因此观察20 20 棵小树是否成活棵小树是否成活设所求概率为设所求概率为),(BP则由伯努利公式可得则由伯努利公式可得.285.01.09.0)(2181820 CBP努利试验努利试验.9.0 P的的2020重伯重伯可以看成是可以看成是