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1、专题19 常见数列通项公式的求解一、题型选讲题型一、 公式法若已知一个数列是等差数列或者等比数列则直接运用通项公式求，即可。例1、已知是各项均为正数的等差数列，其前项和为，且则数列的通项公式 ；【答案】【解析】 因为数列是正项等差数列，设首项为，公差为，所以 解得，所以题型二、用an，将递推关系转化为仅含有an的关系式(如果转化为an不能解决问题，则考虑转化为仅含有Sn的关系式，特别注意当n2时，SnSn1an，。例2、(2018苏锡常镇调研）已知Sn是数列an的前n项和，a13，且2Snan13(nN*)(1) 求数列an的通项公式；规范解答 (1) 2Snan13，2Sn1an3(n2)，
2、两式相减，得2anan1an.即当n2时，an13an.(2分) 由a1S13，得6a23，即a29，满足a23a1.所以对nN*，都有an13an，即3.所以数列an是首项为3，公比为3的等比数列，通项公式an3n.(4分)题型二、累加法若已知连续两项差的形式，形如anan1f(n)(nN*且n2)。则运用累加法进行求数列的通项。即：n2时，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1例3、(2019南京学情调研）在数列an中，已知a11，an1an(nN*)，则a10的值为_【答案】【解析】 由an1an得an1an，故a2a11，a3a2，a4a3，a10a9，所以a10.例4、
3、已知数列满足，当，时，（1）求数列的通项公式；【解析】 当，时，把上面个等式左右两边分别相加，得，整理，得 当时，满足 题型三、叠乘法若已知连续两项的商的形式，形如f(n)(nN*且n2)，则运用叠乘法进行求数列的通项。即 ：n2时，ana1例5、（2018徐州期末）已知数列an中，a11，an2nan1(nN*且n2)，则an 【答案】an2解析由题意，2n，2n1，22，叠乘得2n2n1222，所以an2(n2)，a11也符合所以an2题型四、构造法若一个数列既不是等差数列页不是等比数列，则考虑次数列加减一个实数或者变量，或者进行其它变形的处理得当一个特殊数列。形如anpan1q (nN*
4、且n2，p1) 化为anp(an1)形式令bnan，即得bnpbn1，转化成bn为等比数列，从而求数列an的通项公式例6、设数列的前项和为.已知,.求数列的通项公式.【解析】 ,. . 当时, . 由,得 . ,.,数列是以首项为,公差为1的等差数列. . 当时,上式显然成立. .例7、已知数列an中，a11，且an13an40，nN*.(1) 求证：an1是等比数列，并求数列an的通项公式；(2) 数列an中是否存在不同的三项按照一定顺序重新排列后，构成等差数列？若存在，求满足条件的项；若不存在，说明理由规范解答 (1) 由an13an40得an113(an1)，nN*.(2分)其中a11，
5、所以a1120，可得an10，nN*.(4分)所以3，nN*，所以an1是以2为首项，3为公比的等比数列(6分)所以an12(3)n1，即an2(3)n11，则数列an的通项公式为an2(3)n11，nN*.(8分)(2)若数列an中存在三项am，an，ak(mn0)，因为a12，a2a4a1qa1q364，解得q2，则an2n.(1分)当n1时，a1b12，则b11；(2分)当n2时，a1b1a2b2anbn(n1)2n12，a1b1a2b2an1bn1(n2)2n2，得anbnn2n，则bnn.综上，bnn.(4分)题型六、通项公式中奇偶性的讨论形如anan1f(n)或anan1f(n)形
6、式列出，两式作差得an2anf(n1)f(n)，即找到隔项间的关系例9、 已知正项数列的前项和为，且，（1）求数列的通项公式；（2）若对于，都有成立，求实数取值范围解 （1）当时，故；当时，所以，即，又，所以，所以，故 二、达标训练1、(2018盐城三模）设数列的前项和为，若，则数列的通项公式为 【答案】： 【解析】：因为，当时，即；当时，即，所以，即，所以数列为首项，公比的等比数列，所以，即.2、(2019无锡期末）设等比数列an的公比为q(q0，q1)，前n项和为Sn，且2a1a3a4，数列bn的前n项和Tn满足2Tnn(bn1)，n N*，b2 1.(1) 求数列 an，bn的通项公式；
7、解：(1) 因为2a1a3a4，所以2a1a1q2a1q3，所以a1，所以anqn1qn.(2分)因为2Tnn(bn1)，nN*所以2Tn1(n1)(bn11)，nN，得2Tn12Tn(n1)bn1nbn(n1)n，nN*.所以2bn1(n1)bn1nbn(n1)n.所以(n1)bn1nbn1，nN*，(4分)所以nbn2(n1)bn11，nN，得nbn2(n1)bn1(n1)bn1nbn，nN*所以nbn2nbn2nbn1，nN*，所以bn2bn2bn1，所以bn2bn1bn1bn，所以bn为等差数列因为n1时b11，又b21.所以公差为2，所以bn2n3.(6分)3、(2018南京学情调研
8、）已知数列an的各项均为正数，记数列an的前n项和为Sn，数列a的前n项和为Tn，且3TnS2Sn，nN*.(1) 求a1的值；(2) 求数列an的通项公式；规范解答 (1) 由3T1S2S1，得3aa2a1，即aa10.因为a10，所以a11.(2分)(2) 因为3TnS2Sn，所以3Tn1S2Sn1，得3aSS2an1，即3a(Sn1Sn)(Sn1Sn)2an1，即3a(Sn1Sn)an12an1，因为an10，所以3an1Sn1Sn2，(5分)所以3an2Sn2Sn12，得3an23an1an2an1，即an22an1，所以当n2时，2.(8分)又由3T2S2S2，得3(1a)(1a2)
9、22(1a2)，即a2a20.因为a20，所以a22，所以2，所以对nN*，都有2成立，所以数列an的通项公式为an2n1，nN*.(10分)4、(2018扬州期末）已知各项都是正数的数列an的前n项和为Sn，且2Snaan，数列bn满足b1，2bn1bn.(1) 求数列an，bn的通项公式；规范解答 (1) 2Snaan，2Sn1aan1，得2an1aaan1an，即(an1an)(an1an1)0.因为an是正数数列，所以an1an10，即an1an1，所以an是等差数列，其中公差为1.在2Snaan中，令n1，得a11，所以ann.(2分)由2bn1bn得，所以数列是等比数列，其中首项为
10、，公比为，所以，即bn.(5分)5、(2018苏锡常镇调研）已知Sn是数列an的前n项和，a13，且2Snan13(nN*)(1) 求数列an的通项公式；规范解答 (1) 2Snan13，2Sn1an3(n2)，两式相减，得2anan1an.即当n2时，an13an.(2分) 由a1S13，得6a23，即a29，满足a23a1.所以对nN*，都有an13an，即3.所以数列an是首项为3，公比为3的等比数列，通项公式an3n.(4分)6、 已知各项均为正数的数列的首项, 是数列的前项和,且满足 (nN*)(1)求证：是等差数列；(2)求数列的通项解 （1）因为，所以，即，所以数列是以2为首项，为公差的等差数列（2）由（1）可知，即， 当n2时， 得，即，所以 (n2)，所以是常数列，且为，所以
专题19常见数列通项公式的求解（解析版）
