奇数和偶数相关练习

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1、2、奇数和偶数知识点：整数可以分成奇数和偶数两大类.能被 2 整除的数叫做偶数，不能被 2 整除的 数叫做奇数。偶数通常可以用 2kk 为整数表示，奇数那么可以用 2k+1k 为整数表 示。特别注意，因为 0 能被 2 整除，所以 0 是偶数。性质 1：偶数偶数=偶数，奇数奇数=偶数。性质 2：偶数奇数=奇数。性质 3：偶数个奇数相加得偶数。性质 4：奇数个奇数相加得奇数。性质 5：偶数奇数=偶数，奇数奇数=奇数。利用奇数与偶数的这些性质，我们可以巧妙地解决许多实际问题。1、 1+2+3+1993 的和是奇数？还是偶数？2、 一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差 150， 这个数

2、是多少？3、 元旦前夕，同学们相互送贺年卡.每人只要接到对方贺年卡就一 定回赠贺年卡，那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数，还是偶数？为 什么？4、 a、b、c 中有一个是 5，一个是 6，一个是 7。求证 a-1，b-2， c-3 的乘积一定是偶数。5、 任意改变某一个三位数的各位数字的顺序得到一个新数.试证新 数与原数之和不能等于 999。6、 桌上有 9 只杯子，全部口朝上，每次将其中 6 只同时“翻转. 请说明：无论经过多少次这样的“翻转，都不能使9 只杯子全部口 朝下。7、 假设 n 盏有拉线开关的灯亮着，规定每次拉动n-1个开关， 能否把所有的灯都关上？请证明此结论，或给出一种关灯的方

3、法。8、 在圆周上有 1987 个珠子，给每一珠子染两次颜色，或两次全红， 或两次全蓝，或一次红、一次蓝.最后统计有 1987 次染红，1987 次 染蓝。求证至少有一珠子被染上过红、蓝两种颜色。9、 某校六年级学生参加区数学竞赛，试题共 40 道，评分标准是： 答对一题给 3 分，答错一题倒扣 1 分.某题不答给 1 分，请说明该校 六年级参赛学生得分总和一定是偶数。10、 某学校一年级一班共有 25 名同学，教室座位恰好排成 5 行，每 行 5 个座位.把每一个座位的前、后、左、右的座位叫做原座位的邻 位.问：让这 25 个学生都离开原座位坐到原座位的邻位，是否可行？11、 在中国象棋盘任

4、意取定的一个位置上放置着一颗棋子“马， 按中国象棋的走法，当棋盘上没有其他棋子时，这只“马跳了假设 干步后回到原处，问：“马所跳的步数是奇数还是偶数？12、 线段 AB 有两个端点，一个端点染红色，另一个端点染蓝色.在 这个 AB 线段中间插入 n 个交点，或染红色，或染蓝色，得到n1 条 小线段不重叠的线段.试证：两个端点不同色的小线段的条数一 定是奇数。13、有 100 个自然数，它们的和是偶数.在这 100 个自然数中，奇数 的个数比偶数的个数多.问：这些数中至多有多少个偶数？14、有一串数，最前面的四个数依次是 1、9、8、7.从第五个数起， 每一个数都是它前面相邻四个数之和的个位数字

5、.问：在这一串数中， 会依次出现 1、9、8、8 这四个数吗？15、求证：四个连续奇数的和一定是 8 的倍数。16、把任意 6 个整数分别填入右图中的 6 个小方格内，试说明一定有 一个矩形，它的四个角上四个小方格中的四个数之和为偶数。17、如果两个人通一次 ，每人都记通话一次，在 24 小时以内，全 世界通话次数是奇数的那些人的总数为_。A必为奇数， B必为偶数， C可能是奇数，也可 能是偶数。18、一次宴会上，客人们相互握手.问握手次数是奇数的那些人的总 人数是奇数还是偶数。19、有 12 张卡片，其中有 3 张上面写着 1，有 3 张上面写着 3，有 3 张上面写着 5，有 3 张上面写

6、着 7。你能否从中选出五张，使它们上 面的数字和为 20？为什么？20、有 10 只杯子全部口朝下放在盘子里.你能否每次翻动 4 只杯子， 经过假设干次翻动后将杯子全部翻成口朝上？21、电影厅每排有 19 个座位，共 23 排，要求每一观众都仅和它邻近 即前、后、左、右一人交换位置.问：这种交换方法是否可行？第 7 讲 奇偶性一整数按照能不能被 2 整除，可以分为两类：1能被 2 整除的自然数叫偶数 ，例如0， 2， 4， 6， 8， 10， 12， 14， 16，2不能被 2 整除的自然数叫奇数 ，例如1，3，5，7，9，11，13，15，17，整数由小到大排列，奇、偶数是交替出现的。相邻两

7、个整数大小相差 1，所以肯 定是一奇一偶。因为偶数能被 2 整除，所以偶数可以表示为 2n 的形式，其中 n 为整数；因为奇数不能被 2 整除，所以奇数可以表示为 2n+1 的形式，其中 n 为 整数。每一个整数不是奇数就是偶数，这个属性叫做这个数的奇偶性。奇偶数有如下一 些重要性质：1两个奇偶性相同的数的和或差一定是偶数；两个奇偶性不同的数的 和或差一定是奇数。反过来，两个数的和或差是偶数，这两个数奇偶 性相同；两个数的和或差是奇数，这两个数肯定是一奇一偶。2奇数个奇数的和或差是奇数；偶数个奇数的和或差是偶数。任 意多个偶数的和或差是偶数。3两个奇数的乘积是奇数，一个奇数与一个偶数的乘积一定

8、是偶数。 4假设干个数相乘，如果其中有一个因数是偶数，那么积必是偶数；如果所有因数都是奇数，那么积就是奇数。反过来，如果假设干个数的积是偶数， 那么因数中至少有一个是偶数；如果假设干个数的积是奇数，那么所有的因数 都是奇数。5在能整除的情况下，偶数除以奇数得偶数；偶数除以偶数可能得偶数， 也可能得奇数。奇数肯定不能被偶数整除。6偶数的平方能被 4 整除；奇数的平方除以 4 的余数是 1。因为2n2=4n2=4n2，所以2n2能被 4 整除；因为2n+12=4n2+4n+1=4n2+n+1，所以2n+12 除以 4 余 1。 7相邻两个自然数的乘积必是偶数，其和必是奇数。8如果一个整数有奇数个约

9、数包括 1 和这个数本身，那么这个数一 定是平方数；如果一个整数有偶数个约数，那么这个数一定不是平方数。整数的奇偶性能解决许多与奇偶性有关的问题。有些问题外表看来似乎与奇 偶性一点关系也没有，例如染色问题、覆盖问题、棋类问题等，但只要想方法编 上号码，成为整数问题，便可利用整数的奇偶性加以解决。例 1 下式的和是奇数还是偶数？1+2+3+4+1997+1998。分析与解 ：此题当然可以先求出算式的和，再来判断这个和的奇偶性。但如 果能不计算，直接分析判断出和的奇偶性，那么解法将更加简洁。根据奇偶数的 性质2，和的奇偶性只与加数中奇数的个数有关，与加数中的偶数无关。1 1998 中共有 999

10、个奇数，999 是奇数，奇数个奇数之和是奇数。所以，此题要求 的和是奇数。例 2 能否在下式的中填上“+或“-，使得等式成立？123456789=66。分析与解 ：等号左端共有 9 个数参加加、减运算，其中有 5 个奇数，4 个偶 数。5 个奇数的和或差仍是奇数，4 个偶数的和或差仍是偶数，因为“奇数+偶数 =奇数，所以题目的要求做不到。例 3 任意给出一个五位数，将组成这个五位数的 5 个数码的顺序任意改变， 得到一个新的五位数。那么，这两个五位数的和能不能等于 99999？分析与解 ：假设这两个五位数的和等于 99999，那么有下式：其中组成两个加数的 5 个数码完全相同。因为两个个位数相

11、加，和不会大于 9+9=18，竖式中和的个位数是 9，所以个位相加没有向上进位，即两个个位数之 和等于 9。同理，十位、百位、千位、万位数字的和也都等于 9。所以组成两个 加数的 10 个数码之和等于 9+9+9+9+9=45，是奇数。另一方面，因为组成两个加数的 5 个数码完全相同，所以组成两个加数的 10 个数码之和，等于组成第一个加数的 5 个数码之和的 2 倍，是偶数。奇数偶数，矛盾的产生在于假设这两个五位数的和等于 99999，所以假设 不成立，即这两个数的和不能等于 99999。例 4 在一次校友聚会上，久别重逢的老同学互相频频握手。请问：握过奇 数次手的人数是奇数还是偶数？请说明

12、理由。分析与解 ：通常握手是两人的事。甲、乙两人握手，对于甲是握手1 次，对 于乙也是握手 1 次，两人握手次数的和是 2。所以一群人握手，不管人数是奇数 还是偶数，握手的总次数一定是偶数。把聚会的人分成两类：A 类是握手次数是偶数的人，B 类是握手次数是奇数 的人。A 类中每人握手的次数都是偶数，所以 A 类人握手的总次数也是偶数。又因 为所有人握手的总次数也是偶数，偶数-偶数=偶数，所以 B 类人握手的总次数也 是偶数。握奇数次手的那局部人即 B 类人的人数是奇数还是偶数呢？如果是奇数，那 么因为“奇数个奇数之和是奇数，所以得到 B 类人握手的总次数是奇数，与前 面得到的结论矛盾，所以 B

13、 类人即握过奇数次手的人数是偶数。例 5 五2班局部学生参加镇里举办的数学竞赛，每张试卷有 50 道试题。 评分标准是：答对一道给 3 分，不答的题，每道给 1 分，答错一道扣 1 分。试问： 这局部学生得分的总和能不能确定是奇数还是偶数？分析与解 ：此题要求出这局部学生的总成绩是不可能的，所以应从每个人得 分的情况入手分析。因为每道题无论答对、不答或答错，得分或扣分都是奇数， 共有 50 道题，50 个奇数相加减，结果是偶数，所以每个人的得分都是偶数。因 为任意个偶数之和是偶数，所以这局部学生的总分必是偶数。奇数与偶数作业一、填空题1、五个连续奇数的和是 85，其中最大的数是_,最小的数是_

14、。2、三个质数 、 、 ，如果 1, + = ,那么 =_。3、 a、b、c 都是质数，且 a+b=c，那么 a b c 的最小值是_。4、a、b、c、d 都是不同的质数，a+b+c=d，那么 a bc d 的最小值 是_。5、a、b、c 都是质数,c 是一位数,且 a b+c=1993,那么 a+b+c=_。6、 三个质数之积恰好等于它们和的 7 倍,那么这三个质数为_。7、 如果两个两位数的差是 30,下面第_种说法有可能是对的。 (1)这两个数的和是 57。(2)这两个数的四个数字之和是 19。(3)这两个数的四个数字之和是 14。8、 一本书共 186 页,那么数字 1,3,5,7,9

15、 在页码中一共出现了_ 次。9、 筐中有 60 个苹果,将它们全部取出来,分成偶数堆,使得每堆的个 数相同,那么有_种分法。10、从 1 至 9 这九个数字中挑出六个不同的数,填在以下图所示的六 个圆圈内,使任意相邻两个圆圈内数字之和都是质数.那么最多能找 出_种不同的挑法来.(六个数字相同,排列次序不同算同一种)二、解答题1、能否从四个 3、三个 5、两个 7 中选出 5 个数，使这 5 个数的和等 于 22？2、任意交换一个三位数的数字，得一个新的三位数，一位同学将原 三位数与新的三位数相加，和是 999。这位同学的计算有没有错？3、甲、乙两人做游戏。任意指定七个整数允许有相同数，甲将 这

16、七个整数以任意的顺序填在以下图第一行的方格内，乙将这七个整 数以任意的顺序填在图中的第二行方格里，然后计算出所有同一列的 两个数的差大数减小数，再将这七个差相乘。游戏规那么是：假 设积是偶数，那么甲胜；假设积是奇数，那么乙胜。请说明谁将获胜。4、某班学生毕业后相约彼此通信，每两人间的通信量相等，即甲给 乙写几封信，乙也要给甲写几封信。问：写了奇数封信的毕业生人数 是奇数还是偶数？5、A 市举办五年级小学生“春晖杯数学竞赛，竞赛题 30 道，记分 方法是：底分 15 分，每答对一道加 5 分，不答的题，每道加 1 分， 答错一道扣 1 分。如果有 333 名学生参赛，那么他们的总得分是奇数 还是

17、偶数？6、把以下图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。是否有可能使得在同一 条直线上的红圈数都是奇数？试讲出理由。7、红星影院有 1999 个座位，上、下午各放映一场电影。有两所学校 各有 1999 名学生包场看这两场电影，那么一定有这样的座位，上、 下午在这个座位上坐的是两所不同学校的学生，为什么？8、 在一张 9 行 9 列的方格纸上，把每个方格所在的行数和列数加起来，填在这个方格中，例如 a 还是偶数多?=5+3=8.问:填入的 81 个数字中,奇数多1 2 3 4 5 6 7 8 91234567899、能不能在下式:1 2 3 4 5 6 7 8 9=10 的每个方框中,分别填入加 号或减号

18、,使等式成立?10、 在八个房间中,有七个房间开着灯,一个房间关着灯.如果每次同 时拨动四个房间的开关,能不能把全部房间的灯关上?为什么?11、一个工人将零件装进两种盒子中,每个大盒子装 12 只零件,每个 小盒子装 5 只零件,恰好装完.如果零件一共是 99 只,盒子个数大于 10,这两种盒子各有多少个?第 8 讲 奇偶性二例 1 用 09 这十个数码组成五个两位数，每个数字只用一次，要求它们的 和是奇数，那么这五个两位数的和最大是多少？分析与解 ：有时题目的要求比较多，可先考虑满足局部要求，然后再调整， 使最后结果到达全部要求。这道题的几个要求中，满足“和最大是最容易的。暂时不考虑这五个数

19、的 和是奇数的要求。要使组成的五个两位数的和最大，应该把十个数码中最大的五个分别放在十 位上，即十位上放 5，6，7，8，9，而个位上放 0，1，2，3，4。根据奇数的定 义，这样组成的五个两位数中，有两个是奇数，即个位是 1 和 3 的两个两位数。要满足这五个两位数的和是奇数，根据奇、偶数相加减的运算规律，这五个 数中应有奇数个奇数。现有两个奇数，即个位数是 1，3 的两位数。所以五个数 的和是偶数，不合要求，必须调整。调整的方法是交换十位与个位上的数字。要 使五个数有奇数个奇数，并且五个数的和尽可能最大，只要将个位和十位上的一 个奇数与一个偶数交换，并且交换的两个的数码之差尽可能小，由此得

20、到交换 5 与 4 的位置。满足题设要求的五个两位数的十位上的数码是 4，6，7，8，9，个 位上的数码是 0，1，2，3，5，所求这五个数的和是4+6+7+8+910+0+1+2+3+5 =351。例 2 7 只杯子全部杯口朝上放在桌子上，每次翻转其中的 2 只杯子。能否 经过假设干次翻转，使得 7 只杯子全部杯口朝下？分析与解 ：盲目的试验，可能总也找不到要领。如果我们分析一下每次翻转 后杯口朝上的杯子数的奇偶性，就会发现问题所在。一开始杯口朝上的杯子有 7 只，是奇数；第一次翻转后，杯口朝上的变为 5 只，仍是奇数；再继续翻转，因 为只能翻转两只杯子，即只有两只杯子改变了上、下方向，所以

21、杯口朝上的杯子 数仍是奇数。类似的分析可以得到，无论翻转多少次，杯口朝上的杯子数永远是 奇数，不可能是偶数 0。也就是说，不可能使 7 只杯子全部杯口朝下。例 3 有 mm2只杯子全部口朝下放在桌子上，每次翻转其中的m-1 只杯子。经过假设干次翻转，能使杯口全部朝上吗？分析与解 ：当 m 是奇数时，m-1是偶数。由例 2 的分析知，如果每次翻 转偶数只杯子，那么无论经过多少次翻转，杯口朝上下的杯子数的奇偶性不 会改变。一开始 m 只杯子全部杯口朝下，即杯口朝下的杯子数是奇数，每次翻转 m-1即偶数只杯子。无论翻转多少次，杯口朝下的杯子数永远是奇数，不可 能全部朝上。当 m 是偶数时，m-1是奇

22、数。为了直观，我们先从 m= 4 的情形入手观察， 在下表中用表示杯口朝上，表示杯口朝下，每次翻转 3 只杯子，保持不动的 杯子用*号标记。翻转情况如下：由上表看出，只要翻转 4 次，并且依次保持第 1，2，3，4 只杯子不动，就 可到达要求。一般来说，对于一只杯子，要改变它的初始状态，需要翻奇数次。 对于 m 只杯子，当 m 是偶数时，因为m-1是奇数，所以每只杯子翻转m-1 次，就可使全部杯子改变状态。要做到这一点，只需要翻转m 次，并且依次保持 第 1，2，m 只杯子不动，这样在 m 次翻转中，每只杯子都有一次没有翻转， 即都翻转了m-1次。综上所述：m 只杯子放在桌子上，每次翻转m-1

23、只。当 m 是奇数时，无论翻 转多少次，m 只杯子不可能全部改变初始状态；当 m 是偶数时，翻转 m 次，可以 使 m 只杯子全部改变初始状态。例 4 一本论文集编入 15 篇文章，这些文章排版后的页数分别是 1，2，3， 15 页。如果将这些文章按某种次序装订成册，并统一编上页码，那么每篇文章 的第一面是奇数页码的最多有几篇？分析与解 ：可以先研究排版一本书，各篇文章页数是奇数或偶数时的规律。 一篇有奇数页的文章，它的第一面和最后一面所在的页码的奇偶性是相同的，即 排版奇数页的文章，第一面是奇数页码，最后一面也是奇数页码，而接下去的另 一篇文章的第一面是排在偶数页码上。一篇有偶数页的文章，它

24、的第一面和最后 一面所在的页码的奇偶性是相异的，即排版偶数页的文章，第一面是奇偶数 页码，最后一面应是偶奇数页码，而紧接的另一篇文章的第一面又是排在奇 偶数页码上。以上说明此题的解答主要是根据奇偶特点来处理。题目要求第一面排在奇数页码的文章尽量多。首先考虑有偶数页的文章，只 要这样的第一篇文章的第一面排在奇数页码上如第 1 页，那么接着每一篇有 偶数页的文章都会是第一面排在奇数页码上，共有 7 篇这样的文章。然后考虑有 奇数页的文章，第一篇的第一面排在奇数页码上，第二篇的第一面就会排在偶数 页码上，第三篇的第一面排在奇数页码上，如此等等。在 8 篇奇数页的文章中， 有 4 篇的第一面排在奇数页

25、码上。因此最多有 7+4=11篇文章的第一面排在 奇数页码上。例 5 有大、小两个盒子，其中大盒内装 1001 枚白棋子和 1000 枚同样大小 的黑棋子，小盒内装有足够多的黑棋子。阿花每次从大盒内随意摸出两枚棋子， 假设摸出的两枚棋子同色，那么从小盒内取一枚黑棋子放入大盒内；假设摸出的 两枚棋子异色，那么把其中白棋子放回大盒内。问：从大盒内摸了 1999 次棋子 后，大盒内还剩几枚棋子？它们都是什么颜色？分析与解 ：大盒内装有黑、白棋子共 1001+1000=2001枚。因为每次都是摸出 2 枚棋子放回 1 枚棋子，所以每摸一次少 1 枚棋子，摸了 1999 次后，还剩 2001-1999=

26、2枚棋子。从大盒内每次摸 2 枚棋子有以下两种情况：1所摸到的两枚棋子是同颜色的。此时从小盒内取一枚黑棋子放入大盒 内。当所摸两枚棋子同是黑色，这时大盒内少了一枚黑棋子；当所摸两枚棋子同 是白色，这时大盒内多了一枚黑棋子。2所摸到的两枚棋子是不同颜色的，即一黑一白。这时要把拿出的白棋 子放回到大盒，大盒内少了一枚黑棋子。综合12，每摸一次，大盒内的黑棋子总数不是少一枚就是多一枚， 即改变了黑棋子数的奇偶性。原来大盒内有 1000 枚即偶数枚黑棋子，摸了 1999 次，即改变了 1999 次奇偶性后，还剩奇数枚黑棋子。因为大盒内只剩下 2 枚棋 子，所以最后剩下的两枚棋子是一黑一白。例 6 一串

27、数排成一行：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，到这串数的第 1000 个数为止，共有多少个偶数？分析与解 ：首先分析这串数的组成规律和奇偶数情况。1+1=2，2+3=5，3+5=8， 5+8=13，这串数的规律是，从第三项起，每一个数等于前两个数的和。根据奇偶数的 加法性质，可以得出这串数的奇偶性：奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，容易看出，这串数是按“奇，奇，偶每三个数为一组周期变化的。 1000 3=3331，这串数的前 1000 个数有 333 组又 1 个数，每组的三个数中有 1 个偶数，并且是第 3 个数，所以这串数到第 1000 个数时，共有 333 个偶数。练习1

28、、在 11，111，1111，11111，这些数中，任何一个数都不会是某 一个自然数的平方。这样说对吗？2、一本书由 17 个故事组成，各个故事的篇幅分别是 1，2，3， 17 页。这 17 个故事有各种编排法，但无论怎样编排，故事正文都从 第 1 页开始，以后每一个故事都从新一页码开始。如果要求安排在奇 数页码开始的故事尽量少，那么最少有多少个故事是从奇数页码开始 的？3、桌子上放着 6 只杯子，其中 3 只杯口朝上，3 只杯口朝下。如果 每次翻转 5 只杯子，那么至少翻转多少次，才能使 6 只杯子都杯口朝 上？4、70 个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的 3 倍都恰好 等于它两边

29、的两个数的和，这一行数的最左边的几个数是这样的：0， 1，3，8，21，问：最右边的一个数是奇数还是偶数？5、学校组织运动会，小明领回自己的运发动号码后，小玲问他：“今 天发放的运发动号码加起来是奇数还是偶数？小明说：“除开我的 号码，把今天发的其它号码加起来，再减去我的号码，恰好是 100。 今天发放的运发动号码加起来，到底是奇数还是偶数？6、在黑板上写出三个整数，然后擦去一个换成所剩两数之和，这样 继续操作下去，最后得到 88，66，99。问：原来写的三个整数能否 是 1，3，5？7、将 888 件礼品分给假设干个小朋友。问：分到奇数件礼品的小朋 友是奇数还是偶数？第 9 讲 奇偶性三利用

30、奇、偶数的性质，上两讲已经解决了许多有关奇偶性的问题。本讲将继 续利用奇偶性研究一些外表上似乎与奇偶性无关的问题。例 1 在 77 的正方形的方格表中，以左上角与右下角所连对角线为轴对称 地放置棋子，要求每个方格中放置不多于 1 枚棋子，且每行正好放 3 枚棋子，那 么在这条对角线上的格子里至少放有一枚棋子，这是为什么？分析与解 ：题目说在指定的这条对角线上的格子里必定至少放有一枚棋子， 假设这个说法不对，即对角线上没放棋子。如以下图所示，因为题目要求摆放的 棋子以 MN 为对称轴，所以对于 MN 左下方的任意一格 A，总有 MN 右上方的一格 A， A 与 A关于 MN 对称，所以 A 与

31、A要么都放有棋子，要么都没放棋子。由此推 知方格表中放置棋子的总枚数应是偶数。而题设每行放 3 枚棋子，7 行共放棋子 37=21枚，21 是奇数，与上面的推论矛盾。所以假设不成立，即在指定的 对角线上的格子中必定至少有一枚棋子。例 2 对于左下表，每次使其中的任意两个数减去或加上同一个数，能否经 过假设干次后各次减去或加上的数可以不同，变为右下表？为什么？分析与解 ：因为每次有两个数同时被加上或减去同一个数，所以表中九个数 码的总和经过变化后，等于原来的总和加上或减去那个数的 2 倍，因此总和的奇 偶性没有改变。原来九个数的总和为 1+2+9=45，是奇数，经过假设干次变化 后，总和仍应是奇

32、数，与右上表九个数的总和是 4 矛盾。所以不可能变成右上表。例 3 左以下图是一套房子的平面图，图中的方格代表房间，每个房间都有 通向任何一个邻室的门。有人想从某个房间开始，依次不重复地走遍每一个房间， 他的想法能实现吗？分析与解 ：如右上图所示，将相邻的房间黑、白相间染色。无论从哪个房间 开始走，因为总是黑白相间地走过各房间，所以走过的黑、白房间数最多相差 1。 而右上图有 7 黑 5 白，所以不可能不重复地走遍每一个房间。例 4 左以下图是由 14 个大小相同的方格组成的图形。试问能不能剪裁成 7 个由相邻两方格组成的长方形？分析与解 ：将这 14 个小方格黑白相间染色见右上图，有 8 个

33、黑格，6 个白格。相邻两个方格必然是一黑一白，如果能剪裁成 7 个小长方形，那么 14 个格应当是黑、白各 7 个，与实际情况不符，所以不能剪裁成 7 个由相邻两个方 格组成的长方形。例 5 在右图的每个中填入一个自然数可以相同，使得任意两个相邻 的中的数字之差大数减小数恰好等于它们之间所标的数字。能否办到？为 什么？分析与解 ：假定图中 5 与 1 之间的中的数是奇数，按顺时针加上或减去标 出的数字，依次得到各个中的数的奇偶性如下：因为上图两端是同一个中的数，不可能既是奇数又是偶数，所以 5 与 1 之间的中的数不是奇数。同理，假定 5 与 1 之间的中的数是偶数，也将推出矛盾。所以，题目的

34、要求办不到。例 6 下页上图是半张中国象棋盘，棋盘上已放有一只马。众所周知，马是 走“日字的。请问：这只马能否不重复地走遍这半张棋盘上的每一个点，然后 回到出发点？分析与解 ：马走“日字，在中国象棋盘上走有什么规律呢？为方便研究规律，如以下图所示，先在棋盘各交点处相间标上和，图中 共有 22 个和 23 个。因为马走“日字，每步只能从跳到，或由跳到 ，所以马从某点跳到同色的点指或，要跳偶数步；跳到不同色的点， 要跳奇数步。现在马在点，要跳回这一点，应跳偶数步，可是棋盘上共有 23+22=45个点，不可能做到不重复地走遍所有的点后回到出发点。讨论：如果马的出发点不是在点上而是在点上，那么这只马能

35、不能不重 复地走遍这半张棋盘上的每个点，最后回到出发点上呢？按照上面的分析，显然 也是不可能的。但是如果放弃“回到出发点的要求，那么情况就不一样了。从 某点出发，跳遍半张棋盘上除起点以外的其它 44 点，要跳 44 步，44 是偶数， 所以起点和终点应是同色的点指或。因为 44 步跳过的点与点各 22 个，所以起点必是，终点也是。也就说是，当不要求回到出发点时，只要从 出发，就可以不重复地走遍半张棋盘上的所有点。练习：1、教室里有 5 排椅子，每排 5 张，每张椅子上坐一个学生。一周后， 每个学生都必须和他相邻前、后、左、右的某一同学交换座位。 问：能不能换成？为什么？2、房间里有 5 盏灯，

36、全部关着。每次拉两盏灯的开关，这样做假设 干次后，有没有可能使 5 盏灯全部是亮的？3、左以下图是由 40 个小正方形组成的图形，能否将它剪裁成 20 个 相同的长方形？4、一个正方形果园里种有 48 棵果树，加上右下角的一间小屋，整齐 地排列成七行七列见右上图。守园人从小屋出发经过每一棵树， 不重复也不遗漏不许斜走，最后又回到小屋。可以做到吗？5、红光小学五年级一次乒乓球赛，共有男女学生17 人报名参加。为 节省时间不打循环赛，而采取以下方式：每人只打5 场比赛，每两人 之间用抽签的方法决定只打一场或不赛。然后根据每人得分决定出前 5 名。这种比赛方式是否可行？6、如以下图所示，将 112

37、顺次排成一圈。如果报出一个数 a在 1 12 之间，那么就从数 a 的位置顺时针走 a 个数的位置。例如 a=3， 就从 3 的位置顺时针走 3 个数的位置到达 6 的位置；a=11，就从 11 的位置顺时针走 11 个数的位置到达 10 的位置。问：a 是多少时，可 以走到 7 的位置？奇数偶数与奇偶性分析【奇数和偶数】例 1 用 l、2、3、4、5 这五个数两两相乘，可以得到 10 个不同的乘积。问 乘积中是偶数多还是奇数多？全国第二届“华杯赛决赛口试试题讲析：如果两个整数的积是奇数，那么这两个整数都必须是奇数。在这五个 数中，只有三个奇数，两两相乘可以得到 3 个不同的奇数积。而偶数积共

38、有 7 个。所以，乘积中是偶数的多。例 2 有两组数，甲组：1、3、5、7、9、23；乙组：2、4、6、8、10、 24，从甲组任意选一个数与乙组任意选出一个数相加，能得到_个不同的和。?现代小学数学?邀请赛试题讲析：甲组有 12 个奇数，乙组有 12 个偶数。甲组中任意一个数与乙组中任 意一个数相加的和，必为奇数，其中最大是 47，最小是 3。从 3 到 47 不同的奇数共有 23 个。所以，能得到 23 个不同的和。此题中，我们不能认为 12 个奇数与 12 个偶数任意搭配相加，会得到 12 12=144个不同的和。因为其中有很多是相同的。【奇偶性分析】例 1 某班同学参加学校的数学竞赛。

39、试题共 50 道。评分标准是：答对一道 给 3 分，不答给 1 分，答错倒扣 1 分。请你说明：该班同学得分总和一定是偶数。全国第三届?从小爱数学?邀请赛试题讲析：如果 50 道题都答对，共可得 150 分，是一个偶数。每答错一道题， 就要相差 4 分，不管答错多少道题，4 的倍数总是偶数。150 减偶数，差仍然是 一个偶数。同理，每不答一道题，就相差 2 分，不管有多少道题不答，2 的倍数总是偶 数，偶数加偶数之和为偶数。所以，全班每个同学的分数都是偶数。那么全班同学的得分之和也一定是个 偶数。例 2 5 只杯子杯口全都朝上。规定每次翻转 4 只杯子，经过假设干次后，能 否使杯口全部朝下？美

40、国小学数学奥林匹克通讯赛试题讲析：一只杯口朝上的杯子，要想使杯口朝下，必须翻转奇数次。要想 5 只杯口全都朝上的杯子，杯口全都朝下，那么翻动的总次数也一定是奇数次才能 办得到。现在每次只翻转 4 只杯子，无论翻多少回，总次数一定是偶数。所以，不能使杯口全部朝下。例 3 某班共有 25 个同学。坐成 5 行 5 列的方阵。我们想让每个同学都坐到 与他相邻的座位上去。指前、后、左、右，能否做得到？广州市小学数学竞赛预赛试题讲析：如图 5.44，为了方便，我们将每一格用 A 或 B 表示，也就是与 A 相 邻的用 B 表示，与 B 相邻的用 A 表示。要想使每位同学都坐到相邻座位上去，也就是说坐 A

41、 座位的同学都要坐到 B 座位上去，而坐 B 座位上的同学都要坐到 A 座位上去。但是，A 座位共 13 个，而 B 座位共 12 个，所以，不管怎样坐，要想坐 A 座 位的同学都坐到 B 座位上去，是办不到的。例 4 线段 AB 的两个端点，一个标以红色，一个标以蓝色。在线段中间插入 1991 个分点，每个分点随意标上红色或蓝色。这样分得 1992 条不重叠的小线段， 如果把两端点颜色不同的小线段叫做标准线段，那么标准线段的条数是奇数还是 偶数？1992 年长沙市小学数学竞赛预选赛试题讲析：每插入一个点，无论其颜色怎样，其非标准线段的条数增加 0 条或 2 条，所以插入 1991 个点后，非标准线段增加总数是一个偶数。又原非标准线段 条数为 1，是一个奇数，故最后得到的非标准线段必为奇数。非标准线段条数+标准线段条数=1992 条。所以，标准线段的条数是奇数。奥数专题练习 奇数与偶数