2023年初中数学竞赛辅导讲义及习题解答由常量数学到变量数学

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1、第八讲 由常量数学到变量数学 数学漫长发展历史大体历经四个时期：以自然数、分数体系形成萌芽期；以代数符号体系形成常量数学时期；以函数概念产生变量数学时期；以集合论为标志当代数学时期 函数是数学中最重要概念之一，它是变量数学标志，“函数”是从量侧面去描述客观世界运动变化、互相联系，从量侧面反映了客观世界动态和它们互相制约性 函数基本知识有：与平面直角坐标系有关概念、函数概念、函数表达法、函数图象概念及画法 在坐标平面内，由点坐标找点和由点求坐标是“数”与“形”互相转换最基本形式点坐标是解决函数问题基本，函数解析式是解决函数问题核心，因此，求点坐标、探求函数解析式是研究函数两大重要课题【例题求解】

2、【例1】 在平面直角坐标系内，已知点A(2，2)，B(2，-3)，点P在y轴上，且APB为直角三角形，则点P个数为 思绪点拨 先在直角坐标平面内描出A、B两点，连结AB，因题设中未指明APB哪个角是直角，故应分别就A、B、C为直角来讨论，设点P(0，x)，运用几何知识建立x方程注： 点坐标是数与形结合桥梁，求点坐标基本办法有： (1)运用几何计算求； (2)通过解析式求；(3)解由解析式联立方程组求【例2】 如图，向放在水槽底部烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽水槽中水面上升高度与注水时间之间函数关系，大体是下列图象中( ) 思绪点拨 向烧杯注水需要时间，并且水槽中水面上

3、升高注： 实际生活中量与量之间关系可以形象地通过图象直观地体现出来，如心电图、，股市行情走势图等，图象中涉及着丰富图象信息，要善于从图象形状、位置、发展变化趋势等关于信息中获得启示【例3】 南方A市欲将一批容易变质水果运往B市销售，共有飞机、火车、汽车三种运送方式，现只可选取其中一种，这三种运送方式重要参照数据如下表所示：运送工具途中速度(千米时) 途中费用(元千米)装卸费用(元)装卸时间(小时)飞机2001610002火车10044汽车50810002 若这批水果在运送(涉及装卸)过程中损耗为200元/小时，记A、B两市间距离为x千米 (1)假如用Wl、W2、W3分别表达使用飞机、火车、汽车

4、运送时总支出费用(涉及损耗)，求出Wl、W2、W3与小x间函数关系式 (2)应采用哪种运送方式，才使运送时总支出费用最小? 思绪点拨 每种运送工具总支出费用途中所需费用(含装卸费用)+损花费用；总支出费用随距离变化而变化，由WlW20，W2一W3=0，先拟定自变量特定值，通过讨论选取最佳运送方式【例4】 已知在菱形ABCD中，BAD60，把它放在直角坐标系中，使AD边在y轴上，点C坐标为(2，8) (1)画出符合题目条件菱形与直角坐标系； (2)写出A、B两点坐标；(3)设菱形ABCD对角线交点为P问：在y轴上与否存在一点F，使得点P与点F关于菱形ABCD某条边所在直线对称，假如存在，写出点F

5、坐标；假如不存在，请阐明理由 思绪点拨 (1)核心是探求点A是在y轴正半轴上、负半轴上还是坐标原点，只须判断COy与CAD大小；(2)运用解直角三角形求A，B两点坐标；(3)设轴上存在点F(0，y)，则P与F只也许关于直线DC对称注：建立函数关系式，事实上都是依照具体实际问题和某些特殊关系、数据而抽象、归纳建立函数模型 【例5】 如图，已知在RtABC中，B90，BC4cm，AB8cm，D、E、F分别为AB、AC、BC边上中点，若P为AB边上一种动点，PQBC，且交AC于点Q，以PQ为一边，在点A右侧作正方形PQMN，记PQMN与矩形EDBF公共某些面积为y (1)当AP3cm时，求值； (2

6、)设AP=cm时，求y与x函数关系式； (3)当y=2cm2，试拟定点P位置(天津市中考题)思绪点拨 对于(2)，由于点P位置不同，y与x之间存在不同函数关系，故需分类讨论；对于(3)，由相应函数解析式求x值注：拟定几何元素间函数关系式，一方面是借助几何知识与办法把相应线段用自变量表达，再代入相应等量关系式，需要注意是： (1)当图形运动导致图形之间位置发生变化，需要分类讨论； (2)拟定自变量几何意义，惯用到运动变化、考虑极端情形、特殊情形等思想办法学力训练1 如图，在直角坐标系中，已知点A(4，0)、B(4，4)，OAB90，有直角三角形与RtABO全等且以AB为公共边，请写出这些直角三角

7、形未知顶点坐标 2在直角坐标系中有两点A(4，0)，B(0，2)，假如点C在x轴上(C与A不重叠)，当点C坐标为 时，使得由点B、O、C构成三角形与AOB相似(至少找出两个满足条件点坐标) 3依照指令S，A(S0，0A180)，机器人在平面上能完毕下列动作：先原地逆时针旋转角度A，再朝其面对方向沿直线行走距离S现机器人在直角坐标系坐标原点，且面对x轴正方向，(1)若给机器人下了一种指令4，60，则机器人应移动到点 ；(2)请你给机器人下一种指令 ，使其移动到点(一5，5) 4如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴夹角为60，且点A坐标为(一2，0)，点B在x轴上方，设AB，那么点B横坐标为(

8、 ) A B C D 5一天，小军和爸爸去登山，已知山脚到山顶路程为300米，小军先走了一段路程，爸爸才开始出发图中两条线段分别表达小军和爸爸离开山脚登山路程(米)与登山所用时间(分钟关系)(从爸爸开始登山时计时)，依照图象，下列说法错误是( ) A爸爸登山时，小军已走了50米 B爸爸走了5分钟，小军仍在爸爸前面 C小军比爸爸晚到山顶 D爸爸前10分钟登山速度比小军慢，10分钟之后登山速度比小军快6若函数自变量取值范畴为一切实数，则取值范畴是( ) Aml Dm17如图，在直角坐标系中，已知点A(4，0)、点B(0，3)，若有一种直角三角形与RtABO全等，且它们有一条公共边，请写出这个直角三

9、角形未知顶点坐标(不必写出计算过程)8如图，用同样规格黑白两色正方形瓷砖铺设矩形地面，请观测下列图形并解答关于问题：（1）设铺设地面所用瓷砖总块数为，请写出与(表达第个图形)函数关系式；(2)按上述铺设方案，铺一块这样矩形地面共用了506块瓷砖，求此时值；(3)若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题(2)中，共需花多少元钱购买瓷砖? (4)与否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等情形?请通过计算阐明为什么?9如图，在平面直角坐标系中有一种正方形ABCD，它4个顶点为A(10，0)，B (0，10)，C(一10，0)，D(0，一10)，则该正方形内及边界上共有 个整点(即纵横坐标都是整数点)10如图，已

10、知边长为l正方形OABC在直角坐标系中，A、B两点在第一象限内，OA与轴夹角为30，那么点B坐标是 11如图，一种粒子在第一象限运动，在第一分钟内它从原点运动到(1，0)，而后它接着按图所示在与轴、轴平行方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么在1989分钟后这个粒子所处位置为 12在直角坐标系中，已知A(1，1)，在轴上拟定点P，使AOP为等腰三角形，则符合条件点P共有( ) A1个 B2个 C 3个 D4个 13已知点P坐标是(l，)，这里、是有理数，PA、PB分别是点P到轴和轴垂线段，且矩形OAPB面积为，则P点也许浮现象限有（ ） A1个 B2个 C3个 D4个 14甲、乙二人同

11、步从A地出发，沿同一条道路去B地，途中都使用两种不同速度Vl与V2(ViV2)，甲用一半路程使用速度Vl、另一半路程使用速度V2；关于甲乙二人从A地到达B地路程与时间函数图象及关系，有图中4个不同图示分析其中横轴表达时间，纵轴表达路程，其中对的图示分析为( ) A图(1) B图(1)或图(2) C图(3) D图(4) 15依法纳税是每个公民应尽义务中华人民共和国个人所得税法规定，公民每月工资、薪金收入不超过800元，不需交税；超过800元某些为全月应纳税所得额，都应交税，且依照超过某些多少按不同税率交税，具体税率如下表：级别全月应纳税所得额税率()1不超过500元某些52超过500元至元某些1

12、03超过元至5000元某些15(1)某公民10月总收人为1350元，问她应交税款多少元?(2)设表达每月收入(单位：元)，表达应交税款(单位：元)，当1300x2800时，请写出关于函数关系式；(3)某公司高档职工11月应交税款55元，问该月她总收入是多少元? 16如图，在ABC中，C90，AC3，BC4，点D是AB上任意一点(A、B两点除外)，过D作AB垂线与ABC直角边相交于E，设AD=，ADE面积为，当点D在AB上移动时，求关于之间函数关系式17现筹划把甲种货品1240吨和乙种货品880吨用一列货车运往某地，已知这列货车挂有A、B两种不同规格货车厢共40节，使用A型车厢每节费用6000元

13、，使用月型车厢每节费用为8000元(1)设运送这批货品总费用为万元，这列货车挂A型车厢节，试写出与之间函数关系式； (2)假如每节A型车厢最多可装甲种货品35吨和乙种货品15吨，每节月型B车厢最多可装甲种货品25吨和乙种货品35吨，装货时按此规定安排A、B两种车厢节数，那么共有哪几种安排车厢方案? (3)在上述方案中，哪个方案运费最高?至少运费为多少元? 18如图，梯形OABC中，O为直角坐标系原点，A、B、C坐标分别为(14，0)，(14，3)，(4，3)点P、Q同步从原点出发，分别作匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位；点Q沿OC、CB向终点B运动，当这两点中有一点到达自己终点时，另一点也停止运动 (1)设从出发起运动了秒，假如点Q速度为每秒2个单位，试分别写出这时点Q在OC上或在CB上时坐标(用含代数式表达)；(2)设从出发起运动了秒，假如点P与点Q所通过路程之和正好为梯形OABC周长一半，试用含代数式表达这时点Q所通过路程和它速度；试问：这时直线PQ与否也许同步把梯形OABC面积也提成相等两某些?如有也许，求出相应值和P、Q坐标；如不也许，请阐明理由 参照答案