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1、FFT 是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个信号变换到频域。有些信号在时域上是很难看出什么特征的，但是如果变换到频域之后，就很容易看出特征了。这就是很多信号分析采用 FFT 变换的原因。另外，FFT 可以将一个信号的频谱提取出来，这在频谱分析方面也是经常用的。虽然很多人都知道 FFT 是什么，可以用来做什么，怎么去做，但是却不知道 FFT 之后的结果是什意思、如何决定要使用多少点来做FFT。现在圈圈就根据实际经验来说说 FFT 结果的具体物理意义。一个模拟信号，经过 ADC 采样之后，就变成了数字信号。采样定理告诉我们，采样频率要大于信号频率的两倍，这些我就不在此罗嗦了。采样得到的数字信号，
2、就可以做 FFT 变换了。N 个采样点，经过FFT 之后，就可以得到 N 个点的 FFT 结果。为了方便进行 FFT 运算，通常 N 取 2 的整数次方。假设采样频率为 Fs,信号频率 F,采样点数为 N。那么 FFT 之后结果就是一个为 N 点的复数。每一个点就对应着一个频率点。这个点的模值，就是该频率值下的幅度特性。具体跟原始信号的幅度有什么关系呢？假设原始信号的峰值为 A，那么 FFT 的结果的每个点(除了第一个点直流分量之外)的模值就是 A 的 N/2 倍。而第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量的 N 倍。而每个点的相位呢，就是在该频率下的信号的相位。第一个点表示直流分量(即 O
3、Hz),而最后一个点 N 的再下一个点(实际上这个点是不存在的，这里是假设的第 N+1 个点，也可以看做是将第一个点分做两半分，另一半移到最后)则表示采样频率 Fs,这中间被 N-1 个点平均分成 N 等份，每个点的频率依次增加。例如某点n 所表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N。由上面的公式可以看出，Fn 所能分辨到频率为为 Fs/N,如果采样频率 Fs 为 1024Hz，采样点数为 1024点，则可以分辨到 1Hz。1024Hz 的采样率采样 1024 点，刚好是 1秒，也就是说，采样 1 秒时间的信号并做 FFT,则结果可以分析到 1Hz,如果采样 2 秒时间的信号并做 FFT,则结
4、果可以分析到 0.5Hz。如果要提高频率分辨力，则必须增加采样点数，也即采样时间。频率分辨率和采样时间是倒数关系。假设 FFT 之后某点 n 用复数 a+bi 表示，那么这个复数的模就是人口人口=根号 a*a+b*b,相位就是 Pn=atan2(b,a)。根据以上的结果，就可以计算出 n 点(n1 且 n=N/2)对应的信号的表达式为：An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn),即 2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。对于 n=1点的信号，是直流分量，幅度即为 A1/N。由于 FFT 结果的对称性，通常我们只使用前半部分的结果，即小于采样频率一半的结果。好了，说了半天，
5、看着公式也晕，下面圈圈以一个实际的信号来做说明。假设我们有一个信号，它含有 2V 的直流分量，频率为 50Hz、相位为-30 度、幅度为 3V 的交流信号，以及一个频率为 75Hz、相位为 90度、幅度为 1.5V 的交流信号。用数学表达式就是如下：S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)式中 cos 参数为弧度，所以-30 度和 90 度要分别换算成弧度。我们以 256Hz 的采样率对这个信号进行采样，总共采样 256 点。按照我们上面的分析，Fn=(n-1)*Fs/N,我们可以知道，每两个点之间的间距就是1Hz,
6、第 n 个点的频率就是 n-1。我们的信号有 3 个频率：OHz、50Hz、75Hz，应该分别在第 1 个点、第 51 个点、第 76 个点上出现峰值，其它各点应该接近 0。实际情况如何呢？我们来看看 FFT 的结果的模值如图所示。图 1FFT 结果从图中我们可以看到，在第 1 点、第 51 点、和第 76 点附近有比较大的值。我们分别将这三个点附近的数据拿上来细看：1 点：512+0i2 点：-2.6195E-14-1.4162E-13i3 点：-2.8586E-14-1.1898E-13i50 点：-6.2076E-13-2.1713E-12i51 点：332.55-192i52 点：-1
7、.6707E-12-1.5241E-12i75 点：-2.2199E-13-1.0076E-12i76 点：3.4315E-12+192i77 点：-3.0263E-14+7.5609E-13i很明显，1 点、51 点、76 点的值都比较大，它附近的点值都很小，可以认为是 0，即在那些频率点上的信号幅度为 0。接着，我们来计算各点的幅度值。分别计算这三个点的模值，结果如下：1 点：51251 点：38476 点：192按照公式，可以计算出直流分量为：512/N=512/256=2；50Hz 信号的幅度为：384/(N/2)=384/(256/2)=3；75Hz 信号的幅度为192/(N/2)=
8、192/(256/2)=1.5。可见，从频谱分析出来的幅度是正确的。然后再来计算相位信息。直流信号没有相位可言，不用管它。先计算50Hz 信号的相位，atan2(-192,332.55)=-0.5236,结果是弧度，换算为角度就是 180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再计算 75Hz 信号的相位，atan2(192,3.4315E-12)=1.5708 弧度，换算成角度就是180*1.5708/pi=90.0002。可见，相位也是对的。根据 FFT 结果以及上面的分析计算，我们就可以写出信号的表达式了，它就是我们开始提供的信号。总结：假设采样频率为 Fs,采样点数为 N，做 F
9、FT 之后，某一点n(n 从 1 开始)表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N；该点的模值除以 N/2就是对应该频率下的信号的幅度(对于直流信号是除以 N)；该点的相位即是对应该频率下的信号的相位。相位的计算可用函数 atan2(b,a)计算。atan2(b,a)是求坐标为(a,b)点的角度值，范围从-pi 到 pi。要精确到xHz，则需要采样长度为 1/x 秒的信号，并做 FFT。要提高频率分辨率，就需要增加采样点数，这在一些实际的应用中是不现实的，需要在较短的时间内完成分析。解决这个问题的方法有频率细分法，比较简单的方法是采样比较短时间的信号，然后在后面补充一定数量的 0，使其长度达到需
10、要的点数，再做 FFT，这在一定程度上能够提高频率分辨力。具体的频率细分法可参考相关文献。附录：本测试数据使用的 matlab 程序closeall;%先关闭所有图片Adc=2;%直流分量幅度 A1=3;%频率 F1 信号的幅度 A2=1.5;%频率 F2 信号的幅度 F1=50;%信号 1 频率(Hz)F2=75;%信号 2 频率(Hz)Fs=256;%采样频率(Hz)P1=-30;%信号 1 相位(度)P2=90;%信号相位(度)N=256;%采样点数 t=0:1/Fs:N/Fs;%采样时刻%信号S=Adc+A1*cos(2*pi*F1*t+pi*P1/180)+A2*cos(2*pi*F
11、2*t+pi*P2/180);%显示原始信号plot(S);title(原始信号)；figure;Y=fft(S,N);%做 FFT 变换Ayy=(abs(Y)；%取模plot(Ayy(1:N);%显示原始的 FFT 模值结果 title(FFT 模值);figure;Ayy=Ayy/(N/2);%换算成实际的幅度Ayy(1)=Ayy(1)/2;F=(1:N-1)*Fs/N;%换算成实际的频率值plot(F(1:N/2),Ayy(1:N/2);%显示换算后的 FFT 模值结果 title(幅度-频率曲线图)；figure;Pyy=1:N/2;fori=1:N/2Pyy(i)=phase(Y(i);%计算相位Pyy(i)=Pyy(i)*180/pi;%换算为角度end;plot(F(1:N/2),Pyy(1:N/2);%显示相位图title(相位-频率曲线图)；
FFT是离散傅立叶变换的快速算法
