等比数列教学设计(共2课时)

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1、等比数列教学设计(共2课时) - 等比数列教学设计共2课时 成都航天中学 刘杨勇 一、教材分析p ： 1、内容简析： 本节主要内容是等比数列的概念及通项公式，它是继等差数列后有一个特殊数列，是研究数列的重要载体，与实际生活有亲密的联络，如细胞分裂、银行贷款问题等都要用等比数列的知识来解决，在研究过程中表达了由特殊到一般的数学思想、函数思想和方程思想，在高考中占有重要地位。 2、教学目的确定： 从知识构造来看，本节核心内容是等比数列的概念及通项公式，可从等比数列的“等比”的特点入手，结合详细的例子来学习等比数列的概念，同时，还要注意“比”的特性。在学习等比数列的定义的根底上，导出等比数列的通项公

2、式以及一些常用的性质。从而可以确定如下教学目的三维目的： 第一课时： 1理解等比数列的概念 ，掌握等比数列的通项公式及公式的推导 2在教学过程中浸透方程、函数、特殊到一般等数学思想，进步学生观察、归纳、猜测、证明等逻辑思维才能 3通过对等比数列通项公式的推导，培养学生发现意识、创新意识 第二课时： 1加深对等比数列概念理解，灵敏运用等比数列的定义及通项公式，理解等比中项概念，掌握等比数列的性质 2运用等比数列的定义及通项公式解决问题，增强学生的应用 3、教学重点与难点： 第一课时： 重点：等比数列的定义及通项公式 难点：应用等比数列的定义及通项公式，解决相关简单问题 第二课时： 重点：等比中项

3、的理解与运用，及等比数列定义及通项公式的应用 难点：灵敏应用等比数列的定义及通项公式、性质解决相关问题 二、学情分析p ： 从整个中学数学教材体系安排分析p ，前面已安排了函数知识的学习，以及等差数列的有关知识的学习，但是对于国际象棋故事中的问题，学生还是不能解决，存在疑问。本课正是由此入手来引发学生的认知冲突，产生求知的欲望。而矛盾解决的关键仍然依赖于学生原有的认知构造在研究等差数列中用到的思想方法，于是从几个特殊的对应观察、分析p 、归纳、概括得出等比数列的定义及通项公式。 高一学生正处于从初中到高中的过度阶段，对数学思想和方法的认识还不够，思维才能比拟欠缺，他们重视详细问题的运算而轻视对

4、问题的抽象分析p 。同时，高一阶段又是学生形成良好的思维才能的关键时期。因此，本节教学设计一方面遵循从特殊到一般的认知规律，另一方面也加强观察、分析p 、归纳、概括才能培养。 多数学生愿意积极参与，积极考虑，表现自我。所以老师可以把尽可能多的时间、空间让给学生，让学生在参与的过程中，学习的自信心和学习热情等个性心理品质得到很好的培养。这也表达了教学工作中学生的主体作用。 三、教法选择与学法指导： 由于等比数列与等差数列仅一字之差，在知识内容上是平行的，可用比拟法来学习等比数列的相关知识。在深入理解等差数列与等比数列的区别与联络的根底上，结实掌握数列的相关知识。因此，在教法和学法上可做如下考虑：

5、 1、教法：采用问题启发与比拟探究式相结合的教学方法 教法构思如下：提出问题-引发认知冲突-?观察分析p -归纳概括-?得出结论-?总结进步。在老师的精心组织下，对学生各种才能进展培养，并以促进学生开展，又以学生的开展带动其学习。同时，它也能促进学生学会如何学习，因此特别有利于培养学生的探究才能。 2、学法指导： 学生学习的目的在于学会学习、考虑，到达创新的目的，掌握科学有效的学习方法，可增强学生的学习信心，培养其学习兴趣，进步学习效率，从而激发强烈的学习积极性。我考虑从以下几方面来进展学法指导： 1 把隐含在教材中的思想方法显化。如等比数列通项公式的推导表达了从特殊到一般的方法。其通项公式a

6、n?a1qn?1是以n为字变量的函数，可利用函数思想来解决数列有关问题。思想方法的显化对进步学生数学修养有帮助。 2 注重从科学方法论的高度指导学生的学习。通过提问、分析p 、解答、总结，培养学生发现问题、分析p 问题、解决问题的才能。训练逻辑思维的严密性和深入性的目的。 四、教学过程设计： 第一课时 1、创设情境，提出问题 阅读本章引言并打出幻灯片 情境1：本章引言内容 提出问题：同学们，国王有才能满足创造者的要求吗？ 引导学生写出各个格子里的麦粒数依次为： 1，2，2,2,2, -，2 1 于是创造者要求的麦粒总数是 1+2+22+23+-+263情境2：某人从银行贷款10000元人民币，

7、年利率为r，假设此人一年后还款，二年后还款，三年后还款，-，还款数额依次满足什么规律？ 10000(1+r),10000(1?r),10000(1?r),- 2 情境3：将长度为1米的木棒取其一半，将所得的一半再取其一半，再将所得的木棒继2323463作用于原来的认知构造在原有认知的根底上分析p 在特殊情况下一般情况下例题和练习111,- 3 24817问：你能算出第7次取一半后的长度是多少吗？观察、归纳、猜测得 22、自主探究，找出规律： 学生对数列1，2，3分析p 讨论，发现共同特点：从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一常数。也就是说这些数列从第二项起，每一项与前一项的比都具有“相等”

8、的特点。于是得到等比数列的定义： 一般地，假如一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常续取其一半，-各次获得的木棒长度依次为多少？数，那么这个数列叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比常用字母q(q?0)表示，即an:an?1?q(n?N,n?2,q?0)。 1 2点评：等比数列与等差数列仅一字之差，比照知从第二项起，每一项与前一项之“差”为常数，那么为等差数列，之“比”为常数，那么为等比数列，此常数称为“公差”或“公比”。 3、观察判断，分析p 总结： 观察以下数列，判断它是否为等比数列，假设是，找出公比，假设不是，说出理由，然后答复下面问题： 1，3，9，27，- 1

9、11?1,?,?,?,- 2481，-2，4，-8，- -1，-1，-1，-1，- 1，0，1，0，- 如数列1，2，3都是等比数列，它们的公比依次是2，1+r,考虑：公比q能为0吗？为什么？首项能为0吗？ 公比q?1是什么数列？ q?0数列递增吗？q?0数列递减吗？ 等比数列的定义也恰好给出了等比数列的递推关系式： 这一递推式正是我们证明等比数列的重要工具。 选题分析p ；因为等差数列公差d可以取任意实数，所以学生对公比q往往忘却它不能取0和能取1的特殊情况，以致于在不为详细数字即为字母运算时不会讨论以上两种情况，故给出问题以提醒学生对公比q有防患意识，问题是让学生明白q要注意与等差数列的区

10、别。 ?0时等比数列的单调性不定，而q?0时数列为摆动数列，备选题：x?R那么x,x2,x3,-xn，-成等比数列的从要条件是什么？ 4、观察猜测，求通项： 方法1：由定义知道a2?a1q,a3?a2q?a1q2,a4?a3q?a1q3,-归纳得：等比数列的通项公式为：an?a1qn?1(n?N?) 说明：推得结论的这一方法称为归纳法，不是公式的证明，要想对这一方式的结论给出严格的证明，需在学习数学归纳法后完成，现阶段我们只成认它是正确的就可以了 方法2：迭代法 根据等比数列的定义有 an?an?1?q?an?2?q2?an?3?q3-a2?qn?2?a1?qn?1 方法3：由递推关系式或定义

11、写出：aaa2a?q,3?q,4?q,-n?q，通过观a1a2a3an?1察发现aa2a3a4-?n?q?q?q-q?qn?1 a1a2a3an?1 ?an?qn?1，即：an?a1qn?1(n?N?) a1 此证明方法称为“累商法”，在以后的数列证明中有重要应用 公式an?a1qn?1(n?N?)的特征及构造分析p ： 1 公式中有四个根本量：a1,n,q,an，可“知三求一”，表达方程思想。 2 a1的下标与的qn?1上标之和1?(n?1)?n，恰是an的下标，即q的指数比项数少1。 5、问题探究：通项公式的应用 例、数列?an?是等比数列，a3-2,a8?64，求a14的值。 44备选题

12、：数列?an?满足条件：an?pn，且a4-。求a8的值 5256、课堂演练：教材138页1、2题 5 备选题1：数列?an?为等比数列，a1?a3?10,a4?a6?，求a4的值 4 备选题2：公差不为0的等差数列?an?中，a2,a3,a6依次成等比数列， 那么公比等于 7、归纳总结： 1等比数列的定义，即an?qn?1(q?0) a1 2等比数列的通项公式an?a1qn?1(n?N?)及推导过程。 8、课后作业： 必作：教材138页练习4；习题1242、3、4、5 选作：1、数列?an?为等比数列，且a1?a2?a3?7,a1a2a3?8，求an 2、数列?an?满足a1?1,an?1?

13、2an?1 1求证：?an?1?是等比数列；。 2求?an?的通项an。 第二课时 1、复习回忆： 上节课，我们学习了-打出幻灯片 1 等比数列定义：an:an?1?q(n?N,n?2,q?0) 2 通项公式：an?a1qn?1(n?N?,q?0) 3假设n?1n?1ann?1)对不对？ ，数列?an?是等比数列吗？an?a1?(?nan?1n注意：考虑公比q为常数 2、尝试练习： 在等比数列?an?中 1a2?18,a4?8，求a1,q 2a5?a1?15,a4?a2?6,求an 3在2与8之间插入一个数A，使2，A，8成等比数列，求A 鼓励学生尝试用不同的方法求解，互相讨论分析p 不同的解

14、法，然后归纳出等比数列的性质 3、性质探究： 1假设a,G,b成等比数列，那么G2?ab有，称G为a,b的等比中项， 即G-ab(a与b同号； 考虑：a2是谁的等比中项？a3呢？an呢？ 总结归纳得到性质2 2 2an?an?1?an?1(n?2) 2 逆向考虑：假设数列?an?满足an?an?1?an?1(n?2)，它一定是等比数列吗？ 3假设m?n?p?q，那么am?an?ap?aq(m,n,p,q为正整数 4an?am?qn?m(n?m,n,m?N?) 4、灵敏运用： 下面我们来看应用等比数列性质可以解决那些问题。 例1、 在等比数列?an?中，a3?a5?100，求a4 变式1、等比数

15、列?an?中，假设a2?2,a6?162，那么a10? 变式2、等比数列?an?中，假设a7?a12?5，那么a8?a9?a10?a11? 变式3、等比数列?an?中，假设a1?a2?a3?7,a1?a2?a3?8，那么an 例2、 数列?an?,?bn?是项数一样的等比数列，求证：?an?bn?是等比数列。 变式1、数列?an?,?bn?是项数一样的等比数列，问数列?an?bn?是等比数列吗？ 变式2、数列?an?是等比数列，假设取出所有偶数项组成一个新数列，此数列还是等比数列吗？假设是，它的首项和公比分别为多少？ 变式3、数列?an?是等比数列，假设取出a10,a20,a30,-组成一个新

16、数列，此数列还是等比数列吗？假设是，它的首项和公比分别为多少？ 变式4、数列?an?是等比数列，假设每一项乘以非零常数C组成一个新数列，此数列还是等比数列吗？假设是，它的首项和公比分别为多少？ 通过上述问题的讨论求解，归纳、总结、推广得出等比数列的一些性质 例3、 三个数成等比数列，它们的和为14，它们的积为64，求这三个数。 备选题、有四个数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数成等差数列，其和为12，求这四个数。 5、课堂演练： 教材138页3、4、5 备选题：数列?an?为等比数列，且an?0,a2a4?2a3a5?a4a6?25那么a3?a5? 备选题：有四个数，前三个数成等比数列

17、，后三个数成等差数列，首末两项和为21，中间两项的和为18，求这四个数。 6、归纳总结： 1等比中项的概念 2等比数列有关性质 7、课后作业： 必作：教材139页习题6、7、10、11 选作：1、在数列?an?,?bn?中，an?0,bn?0，且an,bn,an?1成等差数列，bn,an?1,bn?1成等比数列，a1?1,b1?2,a2?3，求an:bn的值。 x?yx,y,2、设x?y?2，且x?y, y能按某种顺序构成等比数列，求这个等比数列。 x变式3、等比数列?an?中，假设a1?a2?a3?7,a1?a2?a3?8，那么an 例2、 数列?an?,?bn?是项数一样的等比数列，求证：

18、?an?bn?是等比数列。 变式1、数列?an?,?bn?是项数一样的等比数列，问数列?an?bn?是等比数列吗？ 变式2、数列?an?是等比数列，假设取出所有偶数项组成一个新数列，此数列还是等比数列吗？假设是，它的首项和公比分别为多少？ 变式3、数列?an?是等比数列，假设取出a10,a20,a30,-组成一个新数列，此数列还是等比数列吗？假设是，它的首项和公比分别为多少？ 变式4、数列?an?是等比数列，假设每一项乘以非零常数C组成一个新数列，此数列还是等比数列吗？假设是，它的首项和公比分别为多少？ 通过上述问题的讨论求解，归纳、总结、推广得出等比数列的一些性质 例3、 三个数成等比数列，

19、它们的和为14，它们的积为64，求这三个数。 备选题、有四个数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数成等差数列，其和为12，求这四个数。 5、课堂演练： 教材138页3、4、5 备选题：数列?an?为等比数列，且an?0,a2a4?2a3a5?a4a6?25那么a3?a5? 备选题：有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项和为21，中间两项的和为18，求这四个数。 6、归纳总结： 1等比中项的概念 2等比数列有关性质 7、课后作业： 必作：教材139页习题6、7、10、11 选作：1、在数列?an?,?bn?中，an?0,bn?0，且an,bn,an?1成等差数列，bn,an?1,bn?1成等比数列，a1?1,b1?2,a2?3，求an:bn的值。 x?yx,y,2、设x?y?2，且x?y, y能按某种顺序构成等比数列，求这个等比数列。 x第 15 页 共 15 页