2023年电大工程数学期末重点要点整理汇总

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1、最新电大工程数学期末重点、要点整理汇总 1、设都是n阶方阵,则下面命题对的的是(A)、A、 5、设是来自正态总体的样本,则C是无偏估计、 C、 11、设为矩阵,为矩阵,当为B矩阵时,乘积故意义、B、 18、设线性方程组有惟一解,则相应的齐次方程组A、A、 只有0解19、设为随机事件,下面等式成立的是D、D、 1、设为三阶可逆矩阵,且,则下式(B)成立、B、3、设为阶矩阵,则下面等式成立的是C、C、 1、设均为阶可逆矩阵,则下面等式成立的是、A、 设均为阶可逆矩阵,则下面运算关系对的的是B、B、 设均为阶方阵,且,则下面等式对的的是D、D、 9、设A,为阶矩阵,既是又是的特点值,既是又是的属于的

2、特点向量,则结论成立、是A+B的属于的特点向量10、设,为阶矩阵,若等式成立,则称和相似、3、设,那么A的特点值是(D) D、-4,63、设矩阵的特点值为0,2,则3A的特点值为、B、0,6 4、设A,B是两事件,其中A,B互不相容6、设A是矩阵,是矩阵,且故意义,则是(B、 )矩阵、7、设矩阵,则A的相应于特点值的一个特点向量=C、1,1,011、设是来自正态总体的样本,则是的无偏估计、C、 10、设是来自正态总体的样本,则B是记录量、B、设均为阶可逆矩阵,则D、D、 设均为阶可逆矩阵,则下面等式成立的是A、 设向量组为,则B是极大无关组、B、 6、设随机变量,且,则参数和分别是A、A、 6

3、, 0、8 7、设为连续型随机变量的密度函数,则对任意的,A、A、 8、在下面函数中可以作为分布密度函数的是B、B、9、设连续型随机变量的密度函数为,分布函数为,则对任意的区间,则D、D、 10、设为随机变量,当C时,有、 C、 设是来自正态总体均未知的样本,则A是记录量、A、 设是来自正态总体均未知的样本,则记录量D不是的无偏估计D、 设,则D、D、 6若,则A、A、 1/2 1、若,则A、A、36、若是对称矩阵,则等式B成立、 B、 8、若A成立,则元线性方程组有唯一解、A、9、若条件C成立,则随机事件,互为对立事件、 C、且13、若线性方程组的增广矩阵为,则当D时线性方程组有无穷多解、

4、D、1/2 16、若都是n阶矩阵,则等式B成立、 B、 7、若事件和互斥,则下面等式中对的的是、A、8、若事件A,B满足,则A和B一定A、 A、不互斥9、设,是两个互相独立的事件,已知则BB、2/3若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解,则该线性方程组A、也许无解 4、若满足B,则和是互相独立、B、 5、若随机变量的盼望和方差分别为和,则等式D成立、 D、 5、若随机变量X和Y互相独立,则方差=、D、 9、下面事件运算关系对的的是、A、10、若随机变量,则随机变量N2、,3、D、 若向量组线性相关,则向量组内A可被该向量组内其它向量线性表出、 A、 至少有一个向量 7、若X1、X2是线性

5、方程组AX=B的解,而是方程组AX=O的解,则是AX=B的解、A、12、向量组的极大线性无关组是A、A、17、向量组的秩是C、C、 3向量组的秩为A、A、 3 2、向量组的秩是B、B、 33、元线性方程组有解的充足必要条件是A、A、 4、袋中有3个红球,2个白球,第一次取出一球后放回,第二次再取一球,则两球都是红球的概率是D、D、 9/257、D、D、 10、对来自正态总体未知的一个样本,记,则下面各式中C不是记录量、C、 15、在对单正态总体的假设检查问题中,检查法解决的问题是B、B、未知方差,检查均值2、下面命题对的的是C、C、向量组, ,O的秩至多是 下面结论对的的是A、A、 若是正交矩

6、阵,则也是正交矩阵5、下面命题中错误的是D、D、A的特点向量的线性组合仍为A的特点向量4、矩阵A适合条件D时,它的秩为r、D、A中线性无关的列有且最多达r列 矩阵的随着矩阵为、C、 6、掷两颗均匀的骰子,事件”点数之和为3”的概率是B、 B、1/1 14、掷两颗均匀的骰子,事件”点数之和为4”的概率是C、C、1/122、已知2维向量组,则至多是B、B 22、方程组相容的充足必要条件是,其中,、B、3则下面等式中是错误的、C、 12、对给定的正态总体的一个样本,未知,求的置信区间,选用的样本函数服从、B、t分布 乘积矩阵中元素C、 10 方阵可逆的充足必要条件是B、B、 消元法得的解为C、C、

7、线性方程组B、B、 有唯一解 为两个事件,则B成立、 B、 和分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵,若这个方程组无解,则D、D、 秩秩以下结论对的的是D、D、 齐次线性方程组一定有解假如C成立,则事件和互为对立事件、C、且 10张奖券中具有3张中奖的奖券,每人购买1张,则前3个购买者中恰有1人中奖的概率为D、 D、 4、对于事件,命题C是对的的、C、 假如对立,则对立某随机实验的成功率为,则在3次反复实验中至少失败1次的概率为D、D、二、填空题每小题3分,共15分1、设均为3阶方阵,则-18、2、设为n阶方阵,若存在数l和非零n维向量,使得,则称l为的特点值、3设随机变量,则a=0、3、

8、4、设为随机变量,已知,此时27 、5、设是未知参数的一个无偏估计量,则有、6、设均为3阶方阵,则8、7、设为n阶方阵,若存在数l和非零n维向量,使得,则称为相应于特点值l的特点向量、8、若,则0、3、9、假如随机变量的盼望,那么20、10、不含未知参数的样本函数称为记录量、11、设均为3阶矩阵,且,则-8、12、设,、213、设是三个事件,那么发生,但至少有一个不发生的事件表达为、14、设随机变量,则15、15、设是来自正态总体的一个样本,则16、设是3阶矩阵,其中,则12、17、当=1 时,方程组有无穷多解、18、若,则0、2、19、若连续型随机变量的密度函数的是,则2/3、20、若参数的

9、估计量满足,则称为的无偏估计、1、行列式的元素的代数余子式的值为= -56、2、已知矩阵满足,则和分别是阶矩阵、3、设均为二阶可逆矩阵,则AS、4、线性方程组通常解的自由未知量的个数为 2、5、设4元线性方程组AX=B有解且rA=1,那么AX=B的相应齐次方程组的基础解系具有 3 个解向量、6、设A,B为两个事件,若PAB=PAPB,则称A和B 互相独立 、0 1 2a 0、2 0、57、设随机变量的概率分布为则a=0、3 、8、设随机变量,则0、9、9、设为随机变量,已知,那么8、10、矿砂的5个样本中,经测得其铜含量为,百分数,设铜含量服从N,未知,在下,检查,则取记录量 、1、设均为n阶

10、可逆矩阵,逆矩阵分别为,则、2、向量组线性相关,则、3、已知,则、4、已知随机变量,那么、5、设是来自正态总体的一个样本,则、1、设,则的根是 2、设向量可由向量组线性表达,则表达方法唯一的充足必要条件是、 线性无关3、若事件A,B满足,则PA-B=4、设随机变量的概率密度函数为,则常数k=5、若样本来自总体,且,则7、设三阶矩阵的行列式,则=28、若向量组:,能构成R3一个基,则数k 、9、设4元线性方程组AX=B有解且rA=1,那么AX=B的相应齐次方程组的基础解系具有 3 个解向量、10、设互不相容,且,则0 、11、若随机变量X,则1/3、12、设是未知参数的一个估计,且满足,则称为的

11、无偏估计、7 、是关于的一个一次多项式,则该多项式一次项的系数是 2 、若为矩阵,为矩阵,切乘积故意义,则为 54 矩阵、二阶矩阵、设,则设均为3阶矩阵,且,则72 、设均为3阶矩阵,且,则 3 、若为正交矩阵,则 0 、矩阵的秩为 2 、设是两个可逆矩阵,则、当1时,齐次线性方程组有非零解、向量组线性 相关 、向量组的秩 、设齐次线性方程组的系数行列式,则这个方程组有 无穷多 解,且系数列向量是线性 相关 的、向量组的极大线性无关组是、向量组的秩和矩阵的秩 相同 、设线性方程组中有5个未知量,且秩,则其基础解系中线性无关的解向量有 2 个、设线性方程组有解,是它的一个特解,且的基础解系为,则

12、的通解为、9、若是的特点值,则是方程的根、10、若矩阵满足,则称为正交矩阵、从数字1,2,3,4,5中任取3个,组成没有反复数字的三位数,则这个三位数是偶数的概率为2/5、2、已知,则当事件互不相容时, 0、8 , 0、3 、3、为两个事件,且,则、4、已知,则、5、若事件互相独立,且,则、6、已知,则当事件互相独立时, 0、65 , 0、3 、7、设随机变量,则的分布函数、8、若,则6 、9、若,则、10、称为二维随机变量的 协方差 、1、记录量就是不含未知参数的样本函数 、2、参数估计的两种方法是 点估计 和 区间估计 、常用的参数点估计有 矩估计法 和最大似然估 两种方法、3、比较估计量

13、好坏的两个重要标准是无偏性,有效性 、4、设是来自正态总体已知的样本值,按给定的显著性水平检查,需选取记录量、5、假设检查中的显著性水平为事件u为临界值发生的概率、三、每小题16分,共64分A1、设矩阵,且有,求、解:运用初等行变换得即由矩阵乘法和转置运算得2、设矩阵,求、解:运用初等行变换得即由矩阵乘法得3、已知,其中,求、解:运用初等行变换得即由矩阵乘法运算得4、设矩阵,是3阶单位矩阵,且有,求、1、解:由矩阵减法运算得运用初等行变换得即由矩阵乘法运算得5、设矩阵,求1；2、1=2由于=所以=、6、设矩阵,解矩阵方程、解:由于,得所以、7设矩阵,求1,2、解12运用初等行变换得即8 9、设

14、矩阵,求:1；2、解:1由于所以、2由于所以、10、已知矩阵方程,其中,求、解:由于,且即所以11、设向量组,求这个向量组的秩以及它的一个极大线性无关组、解:由于=所以,r=3、它的一个极大线性无关组是或、 1设,求、解:13写出4阶行列式中元素的代数余子式,并求其值、:14求矩阵的秩、解15、用消元法解线性方程组方程组解为A2、求线性方程组的所有解、解:将方程组的增广矩阵化为阶梯形方程组的通常解为其中为自由未知量令=0,得到方程的一个特解、方程组相应的齐方程的通常解为其中为自由未知量令=1,得到方程的一个基础解系、于是,方程组的所有解为其中为任意常数2、当取何值时,线性方程组有解,在有解的情

15、况下求方程组的所有解、解:将方程组的增广矩阵化为阶梯形由此可知当时,方程组无解.当时,方程组有解.7分此时齐次方程组化为分别令及,得齐次方程组的一个基础解系令,得非齐次方程组的一个特解由此得原方程组的所有解为其中为任意常数16分3、求线性方程组的所有解、解:将方程组的增广矩阵化为阶梯形方程组的通常解为其中为自由未知量令=0,得到方程的一个特解、方程组相应的齐次方程的通常解为其中为自由未知量令=1,得到方程的一个基础解系、于是,方程组的所有解为其中为任意常数4、求线性方程组的所有解、解:将方程组的增广矩阵化为阶梯形此时相应齐次方程组的通常解为是自由未知量令,得齐次方程组的一个基础解系令,得非齐次

16、方程组的一个特解由此得原方程组的所有解为其中为任意常数5、设齐次线性方程组的系数矩阵通过初等行变换,得求此齐次线性方程组的一个基础解系和通解、 由于得通常解:其是自由元令,得；令,得、所以,是方程组的一个基础解系、方程组的通解为:,其中是任意常数、6、设齐次线性方程组,为什么值时方程组有非零解?在有非零解时,解:由于A=时,所以方程组有非零解、方程组的通常解为:,其中为自由元、令=1得X1=,则方程组的基础解系为X1、通解为k1X1,其中k1为任意常数、求出通解、7、 当取何值时,线性方程组有解,在有解的情况下求方程组的所有解、解:将方程组的增广矩阵化为阶梯形由此可知当时,方程组无解.当时,方

17、程组有解.8分此时相应齐次方程组的通常解为是自由未知量分别令及,得齐次方程组的一个基础解系令,得非齐次方程组的一个特解由此得原方程组的所有解为8、k为什么值时,线性方程组、9、求齐次线性方程组的通解、解:A=通常解为,其中x2,x4是自由元令x2=1,x4=0,得X1=；x2=0,x4=3,得X2=所以原方程组的一个基础解系为X1,X2、原方程组的通解为:,其中k1,k2是任意常数、10、设有线性方程组为什么值时,方程组有唯一解?或有无穷多解?解:当且时,方程组有唯一解当时,方程组有无穷多解11、判断向量能否由向量组线性表出,若能,写出一种表出方法、其中解:向量能否由向量组线性表出,当且仅当方

18、程组有解这里方程组无解不能由向量线性表出12、计算下面向量组的秩,并且1判断该向量组是否线性相关 解:该向量组线性相关 13、求齐次线性方程组的一个基础解系、解:方程组的通常解为令,得基础解系14、求下面线性方程组的所有解、解:方程组通常解为令,这里,为任意常数,得方程组通解A3、设,试求: (1)；(2)、已知解:1(22、设,试求:(1)；(2)已知解:(1)(23、设,求和、其中,解:设=4、设,试求；、已知解:5、某射手射击一次命中靶心的概率是0、8,该射手连续射击5次,求:1命中靶心的概率； 2至少4次命中靶心的概率、解:射手连续射击5次,命中靶心的次数1设:”命中靶心”,则、2设:

19、”至少4次命中靶心”,则、6、设是两个随机事件,已知,求:1； 2、 解1=27、设随机变量X的密度函数为,求:(1) k； (2) E(X ),D(X)、解:1由于1=3k,所以k=(2)E(X)= = =E=D(X)=E-= 8、设随机变量X N8,4、求和、(,)、解:由于XN8,4,则N0,1、所以=0、383、=、9、 设,试求；、已知解:10、假设A,B为两件事件,己知P(A)=0、5, P(B)=0、6, P(B|)=0、4, 求P(A+B)解:P=PP(B|)=0、50、4=0、2、P(AB)=P(B)P(B)=0、60、2=0、4P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)=0

20、、7.11、设随机变量、1求；2若,求k的值、 已知、解:11=11=210、045、211即k4=-1、5,k2、5、A4、据资料分析,某厂生产的一批砖,其抗断强度,今从这批砖中随机地抽取了9块,测得抗断强度单位:kgcm2的平均值为31、12,问这批砖的抗断强度是否合格、解:零假设、由于已知,故选取样本函数已知,经计算得,由已知条件,故拒绝零假设,即这批砖的抗断强度不合格.2某车间生产滚珠,已知滚珠直径服从正态分布、今从一批产品里随机取出9个,测得直径平均值为15、1mm,若已知这批滚珠直径的方差为,试找出滚珠直径均值的置信度为0、95的置信区间、解:由于已知,故选取样本函数已知,经计算得

21、滚珠直径均值的置信度为0、95的置信区间为,又由已知条件,故此置信区间为3某一批零件重量,随机抽取4个测得重量单位:公斤为14、7, 15、1, 14、8, 15、2 可否认为这批零件的平均重量为15公斤 (已知)?解:零假设、由于已知,故选取样本函数经计算得,已知,故接受零假设,即可以认为这批零件的平均重量为15公斤4某钢厂生产了一批管材,每根标准直径100mm,今对这批管材进行检查,随机取出9根测得直径的平均值为99、9mm,样本标准差s = 0、47,已知管材直径服从正态分布,问这批管材的质量是否合格检查显著性水平,解:零假设、由于未知,故选取样本函数已知,经计算得由已知条件,故接受零假

22、设,即可以认为这批管材的质量是合格的.5、 已知某种零件重量,采纳新技术后,取了9个样品,测得重量单位:kg的平均值为14、9,已知方差不变,问平均重量是否仍为15?解:零假设、由于已知,故选取样本函数已知,经计算得,由已知条件,故接受零假设,即零件平均重量仍为15、6、某切割机在正常工作时,切割的每段金属棒长服从正态分布,且其平均长度为10、5 cm,标准差为0、15cm、从一批产品中随机地抽取4段进行测量,测得的结果如下:单位:cm10、4,10、6,10、1,10、4问:该机工作是否正常(,)?解:零假设、由于已知,故选取样本函数经计算得,由已知条件,且故接受零假设,即该机工作正常、7、

23、设对总体得到一个容量为10的样本值4、5, 2、0, 1、0, 1、5, 3、5, 4、5, 6、5, 5、0, 3、5, 4、0试分别计算样本均值和样本方差、解:8、设总体的概率密度函数为试分别用矩估计法和最大似然估计法估计参数、解:提醒教材第214页例3矩估计:最大似然估计:9、测两点之间的直线距离5次,测得距离的值为单位:m:108、5 109、0 110、0 110、5 112、0测量值可以认为是服从正态分布的,求和的估计值、并在；未知的情况下,分别求的置信度为0、95的置信区间、解:1当时,由10、95,查表得:故所求置信区间为:2当未知时,用替代,查t(4,0、05),得故所求置信

24、区间为:10、设某产品的性能指标服从正态分布,从历史资料已知,抽查10个样品,求得均值为17,取显著性水平,问原假设是否成立、解:,由,查表得:由于1、96,所以拒绝11、某零件长度服从正态分布,过去的均值为20、0,现换了新材料,从产品中随机抽取8个样品,测得的长度为单位:cm:20、0, 20、2, 20、1, 20、0, 20、2, 20、3, 19、8, 19、5问用新材料做的零件平均长度是否起了变化、解:由已知条件可求得:|T|2、62接受H0即用新材料做的零件平均长度没有变化.四、证明题本题6分1、设是阶对称矩阵,试证:也是对称矩阵、证明:是同阶矩阵,由矩阵的运算性质可知已知是对称

25、矩阵,故有,即由此可知也是对称矩阵,证毕、2设随机事件,互相独立,试证:也互相独立、证明:所以也互相独立、证毕、3、设,为随机事件,试证:、证明:由事件的关系可知而,故由概率的性质可知即证毕4设是线性无关的,证明,也线性无关、证明:设有一组数,使得成立,即,由已知线性无关,故有该方程组只有零解,得,故是线性无关的、证毕、5、设n阶矩阵A满足,则A为可逆矩阵、证明:由于,即所以,A为可逆矩阵、6、设,为随机事件,试证:证明:由事件的关系可知而,故由概率的性质可知7、设n阶矩阵A满足,则A为可逆矩阵、证明:由于,即；所以,A为可逆矩阵、8、设向量组,若线性相关,证明线性相关、证明:由于向量组线性相

26、关,故存在一组不全为0的数,使成立、于是存在不全为0的数,使9、若证明:由于所以有即,10、设,是两个随机事件,试证:证明:由事件的关系可知而,故由加法公式和乘法公式可知证毕、一单项选择题为两个事件,则B成立、A、 B、C、 D、假如C成立,则事件和互为对立事件、A、 B、C、且D、和互为对立事件10张奖券中具有3张中奖的奖券,每人购买1张,则前3个购买者中恰有1人中奖的概率为D、A、 B、 C、 D、4、对于事件,命题C是对的的、A、假如互不相容,则互不相容B、假如,则C、假如对立,则对立D、假如相容,则相容某随机实验的成功率为,则在3次反复实验中至少失败1次的概率为D、A、 B、 C、 D

27、、6、设随机变量,且,则参数和分别是A、A、6,0、8B、8,0、6C、12,0、4D、14,0、27、设为连续型随机变量的密度函数,则对任意的,A、A、 B、C、 D、8、在下面函数中可以作为分布密度函数的是B、A、 B、C、 D、9、设连续型随机变量的密度函数为,分布函数为,则对任意的区间,则D、A、 B、C、 D、10、设为随机变量,当C时,有、A、 B、C、 D、二填空题从数字1,2,3,4,5中任取3个,组成没有反复数字的三位数,则这个三位数是偶数的概率为、2、已知,则当事件互不相容时, 0、8 , 0、3 、3、为两个事件,且,则、4、已知,则、5、若事件互相独立,且,则、6、已知

28、,则当事件互相独立时, 0、65 , 0、3 、7、设随机变量,则的分布函数、8、若,则6 、9、若,则、10、称为二维随机变量的 协方差 、三解答题1、设为三个事件,试用的运算分别表达下面事件:中至少有一个发生；中只有一个发生；中至多有一个发生；中至少有两个发生；中不多于两个发生；中只有发生、解:(1) (2) (3)(4) (5) (6)2、袋中有3个红球,2个白球,现从中随机抽取2个球,求下面事件的概率:2球恰好同色；2球中至少有1红球、解:设=“2球恰好同色”, =“2球中至少有1红球”3、加工某种零件需要两道工序,第一道工序的次品率是2%,假如第一道工序出次品则此零件为次品；假如第一道工序出正品,则由第二道工序加工,第二道工序的次品率是3%,求加工出来的零件是正品的概率、解:设 “第i道工序出正品”i=1,24、市场供应的热水瓶中,甲厂产品占50%,乙厂产品占30%,丙厂产品占20%,甲、乙、丙厂产品的合格率分别为90%,85%,80%,求买到一个热水瓶是合格品的概率、解:设5、某射手连续向一目的射击,直到命中为止、已知他每发命中的概率是,求所需设计次数的概率分布、解:故X的概率分布是6、设随机变量的概率分布为试求、解:7、设随机变量具有概率密度试求、解:8、设,求、解:9、设,计算；、解:10、设是独立同分布的随机变量,已知,设,求、解: