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1、 结 合 二 次 函 数 的 图 象 ， 了 解 函 数 的 零 点 与 方 程 的 根 的 联 系 ， 判 断 一 元 二 次 方 程 根 的 存 在 性 及 根 的 个 数 结 合 具 体 函 数 的 图 象 ， 能 用 二 分 法 求 近 似 解 1 _ _ _ _ _ 20 _ _ _ _ _ _ _ _ . 3 _ ( ) _ _ _ ( ) _ _ _ _ _ 1 0 y f x y f x f x y f x y f x y f x a b y f x a b c a b c fx 对 于 函 数 ， 我 们 把 使 叫 做 函 数 的 零 点 方 程 有 实 根 函 数 的 图
2、 象 函 数 如 果 函 数 在 区 间 ， 上 的 图 象 是 连 续 不 断 的 一 条 曲 线 ， 并 且 ， 那 么 ， 函 数 在 区 间 ， 内 有 ， 即 存 在 ， ， 使 得 ， 这 个 也 就 是 零 点 方 程 函 数 的 的 根 1 0 _ _ _ . 2 a b f a f b y f x f x 对 于 在 区 间 ， 上 连 续 不 断 且 的 函 数 ， 通 过 不 断 地 把 函 数 的 零 点 所 在 区 间 ， 使 区 间 的 两 个 端 点 逐 步 逼 近 ， 进 而 得 到 零 点 近 似 值 的 方 法 叫 做 二 分 法 0 0 2 0 () (
3、) 0 ( ) 0 ( ( ) ) ( ) 0 ( ( ) ) e f x ab f a f b e a b c f c f c c f a f c b c x a c f c f b a c x c b e a b e 给 定 精 确 度 ， 用 二 分 法 求 函 数 的 零 点 近 似 值 的 步 骤 如 下 ： 第 一 步 ， 确 定 区 间 ， ， 验 证 ， 给 定 精 确 度 ； 第 二 步 ， 求 区 间 ， 的 中 点 ， ； 第 三 步 ， 计 算 ； 若 ， 则 就 是 函 数 的 零 点 ； 若 ， 则 令 此 时 零 点 ， ； 若 ， 则 令 此 时 零 点 ， 第
4、 四 步 ， 判 断 是 否 达 到 精 确 度 ： 即 若 ， 则 得 到 零 点 近 似 ()ab值 或 ； 否 则 重 复 第 二 、 三 、 四 步 0 00 f x x x f a f b f c 的 实 数 ； 与 轴 有 交 点 ； 有 零 点 ； ； 零 点 ； ； 一 分 为 二 ； 零 点 【 要 点 指 南 】 ； 二 分 法 1. ( 2012 龙岩 模拟 ) 函数 f ( x ) x 4 x 的零点为 ( ) A 0 B 2 C ( 2 , 0 ) 、 ( 2 , 0 ) D 0 , 2 ， 2 【解析】 令 f ( x ) 0 ，即 x 4 x 0 x 2 4 0
5、且 x 0 ，所 以 x 2. 易错点： 将函数的零点与点坐标混淆 . 2. ( 201 1 新课标 ) 在下列区间中 ， 函数 f ( x ) e x 4 x 3 的零点所在的区间为 ( ) A ( 1 4 ， 0 ) B ( 0 ， 1 4 ) C ( 1 4 ， 1 2 ) D ( 1 2 ， 3 4 ) 【解析】 显然 f ( x ) 为 R 上增函数，又 f ( 1 4 ) e 1 4 4 1 4 3 4 e 2 0 ， 所以在 ( 1 4 ， 1 2 ) 内有且仅有一个零点 3. 函数 f ( x ) 3 ax 1 2 a ， 在区间 ( 1 , 1 ) 上存在一个零 点 ， 则
6、a 的取值范围是 ( ) A 1 a 1 5 C a 1 5 或 a 1 D a 1 【 解析 】 令 f ( 1 ) f ( 1 ) 1 5 或 a 1 ，故选 C. 4. 如图所示 ， 函数图象与 x 轴均有公共点 ， 但 不能用二分法求公共点横坐标的是 ( ) 【解析】 由二分法定义可知选 B. 5. 用二分法求方程 x 3 2 x 5 0 在区间 2 , 3 内的 实根时 ， 取区间中点 x 0 2. 5 ， 那么下一个有根区间是 ( 2 , 2.5 ) . 【解析】 令 f ( x ) x 3 2 x 5. 又 f ( 2 ) 2 3 2 2 5 10 ， f ( 3 ) 16 0
7、， 则下一个有根区间是 ( 2 , 2.5 ) 一 函数零点的判断与求解 【例 1 】 若函数 f ( x ) 的零点与 g ( x ) 4 x 2 x 2 的零点之差 的绝对值不超过 1 4 ， 则 f ( x ) 可以是 ( ) A f ( x ) 4 x 1 B f ( x ) ( x 1 ) 2 C f ( x ) e x 1 D f ( x ) ln ( x 1 2 ) 【解析】 易知 f ( x ) 4 x 1 的零点为 x 1 4 ； f ( x ) ( x 1 ) 2 的零点为 x 1 ， f ( x ) e x 1 的零点为 x 0 ； f ( x ) ln ( x 1 2
8、) 的零点为 x 3 2 ；作出 y 1 4 x 与 y 2 2 2 x 的 图象，易知零点只有一个 x 0 ，且 g ( 0 ) 1 0 ， g ( 1 4 ) 2 1 2 2 0 ， 所以 g ( x ) 的零点 x 0 ( 1 4 ， 1 2 ) 又函数 f ( x ) 的零点与 g ( x ) 4 x 2 x 2 的零点之差的绝 对值不超过 1 4 ，只有 f ( x ) 4 x 1 的零点适合，故选 A. 【点评】 ( 1 ) 当方程的根可能存在的区间已知时，用零 点存在定理判断即可；当根可能存在的区间未知时，要构 造函数，观察图象 研究一个函数的零点，还是两个函数 图象的交点，前提
9、是函数能否易于作出图象 再如求 x | l g x | 2 的实根的个数，可考察函数 y | l g x |， y 2 x 的交点的 个数 ( 2 ) 两函数图象交点个数问题，常转化为一个函数的零 点个数问题，进而由零点存在定理判断 ，必要时要考察函 数的单调性 实数 a ， b ， c 是图象连续不断的函数 y f ( x ) 定义域中 的三个数 ， 且 a b c ， 又 f ( a ) f ( b ) 0 ， f ( b ) f ( c ) 0 ， 则函数 y f ( x ) 在区间 ( a ， c ) 上的零点的个数为 ( ) A 2 B 不小于 2 的偶数 C 不小于 2 的自然数
10、D 不小于 2 的奇数 . 素材 1 【解析】 由 f ( a ) f ( b ) 0 知， f ( x ) 在区间 ( a ， b ) 内至少有一 个零点； 由 f ( b ) f ( c ) 0 知， f ( c ) 在区间 ( b ， c ) 内至少有一个零点， 所以在 ( a ， c ) 上至少有 2 个零点，故选 C. 二 函数零点的性质的应用 【例 2 】 已知 a R ， 函数 f ( x ) x 2 2 ax 1 ， 如果 函数 y f ( x ) 在区间 1 , 1 上有零点 ， 求 a 的取值范围 【解析】 0 a 1 ， 此时当 a 1 时， x 1 1 , 1 ；当 a
11、 1 时， x 1 1 , 1 ，合乎题意 f ( x ) 在区间 1 , 1 上只有一个零点且不是 f ( x ) 0 的 重根，此时有 f ( 1 ) f ( 1 ) 1 或 a 0 f 1 0 f 1 0 1 2 a 2 0 、 0 、 0 ，即 b 2 4 ab 8 a 0 恒成立， 故 b 16 a 2 32 a 0 ，解得 0 a 2 ， 所以，实数 a 的取值范围为 ( 0 , 2 ) 三 二分法 【例 3 】 用二分法求函数 f ( x ) x 3 x 1 在区间 1 , 1.5 内的一个零点 ( 精确度为 0.1 ) 【 解析 】 由于 f ( 1 ) 1 1 1 10 ，
12、所以 f ( x ) 在区间 1 , 1.5 内存在零点，取区间 1 , 1.5 作为计 算的初始区间 用二分法逐次计算列表如下： 端 ( 中 ) 点坐标 中点函数值 符号 零点所在区间 | a n b n | 1 , 1.5 0.5 1.2 5 f ( 1.25 ) 0 1.2 5 , 1.3 75 0.1 25 1.3 125 f ( 1.3125 ) 0 1.3 12 5 , 1.3 75 0.0 625 因为 | 1.375 1.3125| 0.0625 0 ， f ( 1.406 25 ) 0.054 0 ，且 | 1.40625 1.4375| 0.03125 0.1 ，所以由二分
13、 法可知其根在区间 ( 1.40625 , 1.4375 ) 上，故选 C. 备选例题 ( 2012 杭州西湖中学 ) 定义在 R 上的奇函数 f ( x ) ， 当 x 0 时 ， f ( x ) l og 1 2 x 1 x 0 ， 1 1 | x 3| x 1 ， ， 则关于 x 的方程 f ( x ) a ( 1 a 1 ) 的所有解之和 S 1 2 a 1 1 a 0 1 2 a 0 a 1 . ( 用 含 a 的式子表示 ) 【解析】 作出函数 f ( x ) 的图象如图 当 1 a 0 时， y a 与 y f ( x ) 有五个交点， 即 f ( x ) a 依次有五个根 x
14、1 、 x 2 、 x 3 、 x 4 、 x 5 且 x 1 x 2 6 ， log 1 2 ( x 3 1 ) a ， x 4 x 5 6 ， 所以 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 3 ( 1 2 ) a 1 ； 当 0 a a 0 1 2 a 1 1 a 0 . 2 1 0( 0) 2 ax bx c a 二 次 方 程 的 根 分 布 问 题 ， 既 可 以 运 用 公 式 法 先 求 出 方 程 的 根 ， 再 列 出 等 价 条 件 组 ， 也 可 以 引 入 二 次 函 数 ， 由 函 数 的 图 象 特 征 列 出 等 价 的 条 件 组 ， 应 因 题 而 异 ，
15、 优 化 解 题 的 思 路 函 数 与 方 程 这 一 节 内 容 渗 透 了 丰 富 的 数 学 思 想 方 法 ， 解 题 时 需 具 有 敏 锐 的 观 察 力 和 较 强 的 等 价 转 化 问 题 的 能 力 ， 把 复 杂 的 问 题 化 归 为 二 次 方 程 或 二 次 函 数 问 题 ， 再 运 用 等 价 转 化 思 想 、 函 数 与 方 程 思 想 、 分 离 参 数 方 法 、 分 类 讨 论 思 想 等 解 决 问 题 3 二 分 法 求 方 程 近 似 解 的 过 程 中 ， 解 法 的 程 序 框 图 蕴 涵 着 算 法 思 想 、 符 号 化 、 模 型 化 的 思 想 这 些 思 想 是 现 代 数 学 的 重 要 思 想 ， 是 信 息 技 术 与 数 学 内 容 有 机 的 整 合 在 学 习 中 注 意 体 会 并 加 以 运 用 ， 有 利 于 我 们 数 学 能 力 的 培 养 、 综 合 素 质 的 提 高
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